考研数学（数学二）模拟试卷470

考研数学(数学二)模拟试卷470

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

Itf(jc—t)d/]

..Jo1

lim------------------------=—

1、设f(x)连续，且…-T*6,则()。

A、x=0为极大值点

B、x=0为极小值点

C、(0,f(0))为拐点

D、x=0不是极值点，(0,f(0))也不是拐点

标准答案：B

知识点解析：

由jt/(j--t)drJr-*x[/(u)d«—[得

J0J。J0

t/(x-/)drxI-Iu/(u)dwI/(u)du

..J・。。

hm--o-----：--------tlim--J-o------------J-------------lt*imJ------；---

,-0JJ

于是limA：?=2.

L。JC因为f(x)

连续，所以f(0)=0,再由极限保号性，存在3>0,当0VIxIV6时，f(x)>

0=f(0),即x=0为f(x)的极小值点，应选R.

2、xeX+Ll/2,的根的个数为().

A、没有根

B、恰有一个根

C、恰有两个根

D、有三个根

标准答案：B

知识点解析：令f(x)=xex+l-l/2,由f(x)=(x+l)ex+,=0得x=-l,r(x)=(x+2)eX+1由f'(-

1)=1>0得x=-l为最小值点，最小值为m=f(-l)=-3/2<0,由

lim/(j)=lim(J二-K)二一HmJ1

1r一-<»j•-«2•*■♦-<«»e-l/2=-l，2VO,

期1/(“)工巴("©2)=+8得方程xe/i=l/2有且仅有一个根，选B.

3、设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数,(p(x尸Jo(2(j-x)f(x-|4)d|4,则(P(X)是().

A、单调增加的奇函数

B、单调减少的奇函数

C、单调增加的偶函数

D、单调减少的偶函数

标准答案：B

<p(x)=J)(2“-x)/(x—u)du

=2uf(x—u)dw-x/(J-u)du

=-2]-u)d(z-u)+zj—u)d(x—w)

-----------2J(x-O/(r)d/4-TJ/(Odz

知识点解析:

=2(jr-/)/(/)d/-x/(r)dz

Jo0

xJ/(r)dz

f(t)&2\&

1-2\

0J0

因为夕(一］)=-/

/(—u)du—2(一«)/(—u)d(—u)

Jo

/(w)dw4-2[)du

=一Z)、所以(p(x)为奇

函数；

乂个'([)=]f(t)dt-x/Cx).

当”>0时,/(1)=『/(1)&一*/(*)=z[/(Q-门40(0

当/40时，，(/)=,，(/)市一—/(1)]<0(工<£40),

所以(p(x)为单调减少的奇函数，选B.

4、设函数f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是().

A、若f(x)只有一个零，曳，则广(x)必至少有两个零点

B、若P(x)至少有一个零点，则f(x)必至少有两个零点

C、若f(x)没有零点，则『(x)至少有一个零点

D、若r(x)没有零点，则f(x)至多有一个零点

标准答案：D

知识点解析•：若f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，f(x)至少有一个零点，故

若r(x)没有零点，则f(X)至多一个零点，选D.

5、设函数g(x,y)连续,(p(x,y)=Ix-yIg(x,y),当g(0,0尸0时，(p(x,y)在(0,0)处

().

A、连续，但不可微分

B、可偏导但不可微

C、连续，但不可偏导

D、可微

标准答案：D

由lirn^(J-•y)

知识点解析：:=(p(0,0)=0得(p(x,y)在(0,0)处连续；由

..中(工.0)一中(0・0)..|/|

lirn=iim-

广。11之蒐,0)=0得(p'x(0、0)=0,同理(p'y(0,0)=0,即(P(X,y)

在(0,0)处可偏导；.=◊(x,y)-(p(0,0)=Ix-yIg(x,y),

令p=JB+J・

-31(0,0)(]—0)—，,(0.0)(y—0)

P

后寻"集好*盘”…)*2Ig(3

显然Iim2|g(”，y)1=0,根据夹通定理得Iim乌三二「(了•》)=(),

……j,?.0v+•*y?1J

即S(x,y0在点(0,0)处可微，应选D.

、_Z^+o3)

6、设函数y=f(x)的增量函数△y=f(x+Zkx)-f(x)=】，且f(0)=兀，则f(-l)为

().

A、

B、W

*

C、六e'

D、兀b

标准答案：c

知识点解析：

由='9工+"(Ar)得为可导函数，且

14“

/="f或者.-117y=°，

14-x14-x

-f—^也

则y=/(n)=Ce-=Ce'E",因为

f(0)=兀，所以C=7C,于是f(x)=7rearctanx,故f(])Ee，选C

7、设A为mxn矩阵,且r(A)=mVn,则下列结论正确的是().

A、A的任意m阶子式都不等于零

B、A的任意m个列向量线性无关

C、方程组AX=b一定有无数个解

D、矩阵A经过初等行变换化为(En/O)

标准答案：C

知识点解析：因为A与，都是m行，所以r(A)=r(，)=m<n,所以方程组AX=b—

定有无数个解，选C

8、设A、B为三阶矩阵且A不可逆，又AB+2B=O且r(B)=2,则IA+4EI=().

A、8

B、16

C、2

D、0

标准答案：B

知识点解析:令B=®,a2,a3),由AB+2B=O得Aai=-2ai(i=l,2,3),由r(B)=2得入=2

至少为A的二重特征值，乂由r(A)V3得入3=0，故猫=入2=2,入3=4,故IA+4EI

=16,选B.

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

I-T=COSt,

9、设曲线L」y=2sin/・，则曲线L的t=；t/4对应点处的曲率为

标准答案：25

dy_dy/dt=-2"空」

dxAr/dzdXIr-f

d\二信J阴/市

(—cottYesc21

dx2dzdr/dz-sinfsinr

d2y

L7,=-4々，所求的曲率为

|y"|=4虑=471^

25

知识点解析:(l+y'2/5西

/tan(x—t)ld/

lim

xsin(jr-t)2d/

10、

标准答案：1/4

〃

xsin(x-r)2d/---xJsin/d.

o

2

Ztan(x-t)2dr--utanu:du

知识点解析:L«rJtanwdu-o

tan/du

nan(x-(Vdilan/du

则lim77----------------------lim

-0*sin(z7)2山…2sinu'du.

sinudu+xsinxsinx

tanudu〜z,sinu'duZ1

o..tanx1..sinx1

由lim------：-----=hm-----r-=—=lim--■--r-=—

x5，-。3/3.r-03x?3

rtan(x-/)2dz.

得lim----------------------T

**Jxsin(x-t)2dt

设f(x)为连续函数,且x?+y2+z2=

[―)力,则之侍+孰=

标准答案：-l/2[f(x)・f(y)]-(x+y)]

/+/+/=//(/+»-£)山两边对“求偏导得

+2Z=—/(x)*

再将＞+/+d=/f（i+»—，）也两边对y求偏导得

2y4-2z~=/(3>)•

%

“、nI/〃11两式相加得“(J—十1)■—1[/(工)—/(y—Q4-y).

知识点解析：电32

|x=d(z-sinf)._-

Q>0.04£42TO

12、摆线」:一绕x轴旋转一周所围成曲面的表面积

为。

64Ka'

标准答案：3

知识点解析：

对[工・/+dr]U[0.2na].ds—2nyJ\+/；d/,

于是s=12nyy/14-y\dx=2K[a(1—cos/)Ja'(1—cosf)24-asin^Zd/

=2V2»raj(1-cos/)'dt=272Kt/J(1—cost)df

=32xaJj\in11d(1)=^.

13、设f（x）连续，且满足以）.勺//"一"&=+'则心）二,

10-0U_32了2

标准答案：74c+公Z

由]tf(.x-r)d/rj/(“)du-ju/(“)d”得

/(z)—4[«rf/(u)d«-Juf(u)du^'=e:,»

两边对工求导得

/(j)-4f/(M)d«=2e”,

J0

两边对1再求恃得

知识点解析：/r(x)-4/(x)=4e2z.特

征方程为入2-4=0,特征值为九产-2,入2=2,F<x)-4f(x)=0的通解为f(x)=Cie-

2x2x

+C2e;令特解为fo(x)=axe2*,解得a=l,原方程的通解为f(x尸C©

2x2x2x2x2x2x

+C2e+xe,由我0尸If(0)=2,得笠=1/4©=3/4,故f(x)=l/4e+3/4e+xe.

14、设A为三阶矩阵，其特征值为猫=2,入2=九3=1，其对应的线性无关的特征向

量为&|抱2担3,令P=(4aiM-a3,a2+2a3),则P/(A*+3E)P为。

标准答案：】

知识点解析：因为A的特征值为人尸-2,入2=入3=1，所以A*的特征值为内=1,

阳=田二-2,A=3E的特征值为4,1,1,又因为4aiM-a3,a2+2a3也为A的线性无关

的特征向量，所以4ai,a2-a3,a2+2a3也是A*+3E的线性无关的特征向量，所以P

】(A*+3E)P=1

三、解答题(本题共72题，每题1.0分，共72分。)

山

设连续，且，(o)求极限f(JT—£)dz

15、f(x)f(O)=o/=2,

标准答案：改变积分次序得

du山

=£严L"山.

4/(u)(-du)=1f(u)du♦

则

f(u)du

I

71工)/((万

]广e'df]j

=T^2,e=8

知识点解析：暂无解析

16、设函数f(x)和g(x)在区间回b］上连续,'fe.且f(a)=g(b)=0,

/<e)fMdt

+yi------=o,

gy)

gz(x)<0gQ)市

,试证明存在(a,b)使

标准答案：

令夕(彳)==/(l)jg(r)dz4-g(j)|/(/)df.显然函数夕(工)在区间[a,6[上连续

,函数(p(x)在区间(a,b)内可导，且

(pf(x)=[/z(x>[g(i)df—/(j)g(.r)J4-Lg(x)/(x)4-g/(x)[/(/)d/]

=/'(工)jg(t)d/+gf(x)[f(t)dt,

另外又有fp(a)=p(b)=0.

所以根据罗尔定理可知存在36(。》)使，(6=0.即

/'(「『/(DR+/(9)，/(£)山=0,

由于g(6)=0及g\j)<0,所以区间(°,力)内必有gQ)>0•从而就有「gC)df>0・

/'(Cfu)dt

于是有

g'(C+*--=。♦

g3dz

知识点解析：暂无解析

\x--,7+2(1-A)要-6y=/

设业2di

17、用变换X32将原方程化为y关于t的微分方程。

dy_dy/市_1dy

标准答案：乙一小

吗豹/*1(1dy1d2j\1dy1dy

dx/dt2八2t2dr2tdr2>4/3d/4/'市

I1力1cfy)1dy4r

代人•得4〃\4Jdt4/2d〃3)+2(】-/)・西蕾一蒯-e

整理,得票一M—6j

知识点解析：暂无解析

18、求原方程的通解。

标准答案：

特征方程为M一久-6=0.特征值为储=-2.3=3.

方程等一学一6y=0的通解为y=。遇7'+g.g为任意常数).

atQt

令等一半一6y=e”的特解为y°=A/e，代人得A=!’故原方程的通解为

atQl3

y=ge-W+C2e"+；GeW(G.C?为任意常数).

知识点解析：暂无解析

19、设直线y=ax+b为曲线y=ln(x+2)的切线，若y=ax+b,x=0,x=4及曲线y=ln(x+2)

围成的图形面积最小，求a,b的值。

标准答案：设直线为y=ax+b为曲线y=ln(x+2)在点(xo»ln(xo+2))处的切线，

切线为y-ln(x+2)=—v-r(x—八),解得a――=\n(x+2)------

0十210十4n十/

+b—ln(j,+2)]dx=8a+46一|ln(x+2)dj

oJ0

--■1+41n(工。+2)--------―ln(x+2)cLr♦

•To+2XQ-TIJo

令S'("o)=0得了。=2.

,

当xo£(—2,2)时,S(xo)<0,当X0>2时，S，(x0)>0,则xo=2为S(xo)的最小

点，从而当a=l/4,b=ln4-l/2时，y=ax+b,x=0,x=4及曲线y=ln(x+2)围成的图形面

积最小.

知识点解析：暂无解析

20、计算二重积分

•|T(2x2+y2-2z+2y)dxdy,其中D={(H，y)I丁+*42z}

标准答案：方法一：

由对称性得『（2一+/-2I+2y）drdy=。（2尸+/-2］）didy・

u。

令产=「8孙（一74@4）,0&、&2coM，则

\y=rsinc/4L

口（2/+/-2彳也*==卜*dd[r(r24-r'cos20—2rcos^)dr

D

=['(4cos'O+4cos汨一苧cos'0)d8

J-f3

=21(4cos"夕一?cos'6)d0

Jo3

83K

o人r—r・

=83<=74

方法二：

由对称性得口（2尸+/—2」r4-2y)drdy=jj(2xz+_y'—2x)djdy,

区域D化为(i-1)'+/&1.

人-1=rcosd♦(x=14-rcosd・(

令l=「sin。或：04。42〃・0(厂W1),则

jj(2x*+y2—2x)dxdy=jj[(x,

—1)24-j24-x*-1jdrd>

DD

=£，d4

rLr2+(1+rco»0)]dr-K

=刎

(r'+r+2rcosZ?+rcos?。)dr—K

=£G+^-cos^+Jcos0)d0-

34

7912"1fT,3

=2KX-—F-sin^4--X41cos*0dO-z="-K.

43Io4Jo4

知识点解析：暂无解析

21、设z=z（x,y）由3x2-2xy+y2-yz-z2+22=0确定的二元函数，求其极值。

标准答案：3x2—2xy+y"—yz—z2+22=0对x,丫求偏导得

1=-1.=1,

令变=0,空=0得y=3i.z=4工，代人原方程得y=-3・<y=3,

%%z=7.、4.

6。奈-2伟)‘-2之言=()♦

_dzJ'z<)zBzz

-2一茬一y百一2玛茬一2z石热=0,

2-2含7言―2除)_2zg=0.

2ra

当(],>)=(—1,—3)时，将工=—1,1y=—3,N=—4,£=0,T^=0代入得

A沁4

因为AC-&=磊>0且AVO,所以(-1,-3)为z=zCr.y)的极大点,极大值为z=-4

1M1

当(z.jy)=(1,3)时,将I=l,y=3.z=4,言=0.^^=0代人得

八=“_3=小

Q

因为AC-B2=y^y>0且A>0,所以(1,3)为z=2(z,y)的极小点，极小值为z=4.

知识点解析：暂无解析

22、设f(x)在［1,+8］上连续可导，若曲线y-f(x),直线xT,x-l(t>l)与x轴围成的

平面区域绕X轴旋转一周所得的旋转体的体积为V")=勺")")一"I兀,且

f(2)=2Q,求函数y=f(x)的表达式。

标准答案：由旋转体的为积公式得MgW"'

由已知条件得=三［//3—/（1）］,即31f⑴.

JI6J।

等式两边对t求导得3/白）=2厅（£）+〃/'（£）,

于是有I=3y2—2了》•变形得案=3（,）—2餐

令上=”.则有工丁=3〃（〃-1）,分离变量并两边积分得

xdr

------=Ci，，即y-1=Cx'y♦

u

2j*

由/（2）=2得。=一1,故/（/）=­.

yI-rx

知识点解析：暂无解析

/I-21r11\

A=2-3-2,8=a-2,已知AX=B

设％-8一3'3b'有解。

23、求常数a,b

标准答案：因为NX=B有解,所以r（A：B）=r（A）,

/I-21-11\/I-21-11

由（A：B）=2-3-2a-2foI-4a+2-4

'5-8-33b''o2-886-5

/I-21-1

一卜导・・

Io1—4