第六章 第一节 平面向量的概念及其线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算

【课标解读】

【课程标准】

1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平

面向量的几何表示和基本要素.

2.掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.

3.掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的

含义

4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

【核心素养】

直观想象、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

身考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考

考向

查向量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填

考法

空题的形式考查.

预计2025年局考仍会考查线性运算，题型以选择题、填空题为

预测

主，难度属中、低档.

【必备知识・逐点夯实】

知识梳理•归纳

1.平面向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量;向量的向量由方向和长度确定，不

向量

大小称为向量的长度（模）受位置影响

零向量长度为0_的向量记作（）,其方向是任意的

与非零向量。共线的单位

单位向量长度等于1个单位长度的向量°

一向量为书

平行向量

方向相同或相反的非零向量0与任意向量平行（共线）

（共线向量）

相等向量一定是平行向量,

相等向量长度相等且方向相同的向量平行向量不一定是相等向

量

若非零向量。力互为相反

相反向量长度相等且方向相反的向量

向量，则a=-b

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

交换律:a+方=加3；

求两个向量和

加法结合律：

的运算

（a+b）+c=a+（b+c）

平行四边形法则

求〃与〃的相

减法反向量I的和a-b=a+(-b)

的运算三角形法则

I斯一回回当A>0时,觞

求实数2与向如。)=(2〃)。;(/1+“)。

与Q的方向相同;当A<0

数乘量a的积的运=za+//a;

时,〃与a的方向反；

当2=0时,2a二°

微点拨对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共

起点，连两终点，指向被减向量的终点”.

3.共线向量定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯——个实数人使得包.

微点拨只有当今0时,定理中的实数2才存在且唯一.

常用结论

1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,。为平面内任一点，

贝质二3如函.

2.若G为△A8C的重心，则有

(1)G1+GB+GC=O;

⑵市?q函+宿.

3.O7=ZOB+^OC(A,/Z为实数)，若点ABC共线，则］+〃=1.

基础诊断•自测

类型辨析改编易错高考

题号1432

1.(思考辨析)(正确的打“也错误的打"x”)

⑴若4〃仇则Q与力方向相同或相反.(X)

提示：(1)若。=0,零向量的方向任意,错误；

(2)若a//b,b//c,则Q〃c.(x)

提示:(2)取6=0,则a〃她〃c,但a,c不一定平行,错误；

⑶若a="A=c,则a=c.(7)

提示:⑶〃二〃/=G则a=c,正确;

(4)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等.(x)

提示：(4)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反,错误.

2.(2022・新高考/卷)在ZUBC中点D在边AB上,BZA2QA.记刀二孙前=〃，贝I」而二

()

A.3m-2nB.-2m+3n

C.3/n+2〃D.2m+3n

【解析】选B.如图，

因为而二刀+同二刀+；丽=4+3而_丽)二m+；而-；而，

^rl^-CF=-CD-G4,BPCS=3CD-2Cl=3n-2m.

22

3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量瓦那么“斫劝”是“|。+加=|。卜网”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.由|〃+力|二|m|臼及向量的减法法则，可得向量a与b平行且反向，

由a=Xb可得向量a,b平行，因此kW是救+例二|吐血”的必要不充分条件.

4.（必修第二册P15练习T2.变条件）点C在线段AB上，且则而=_____福

CD3

BC=AB.

【解析】由已知画图如下，

ACB

由图形知前=|AB^C=~lAB.

口木88

【核心考点・分类突破】

考点一平面向量的基本概念

1.（2023♦北京模拟）设a,b是非零向量则哈是七方的（）

\b\

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.由高磊表示单位向量相等，则岫同向,但不能确定它们的模是否相

等，即不能推出斫瓦由a=b表示a,b同向且模相等，

则船卷所以“三珞”是的必要不充分条件•

l«ll»l|Q|\b\

2.在如图所示的向量〃也cde中（小正方形的边长为1）,判断是否存在下列关系的

向量：

①是共线向量的有;

②方向相反的向量有;

③模相等的向量有.

【解析】①。〃d,e〃瓦故a和d,e和b是共线向量;②°和d,b和e是方向相反的向

量;③由勾股定理可得模用等的向量有a,cd

答案:①。和d,e和b@a和d,b和e③a,c,d

3.向量俞〃丽,其中而是单位向量且|宿|=2|而儿则|而卜.

【解析】因为丽〃丽,其中丽是单位向量且|翁|=2|丽＞则而=宿-询，

①若德=2丽，则|丽卜|曲-宿卜|丽・2丽|=|而|=1;

②若前=2俞，则|而|二|而+2丽|=|3而|=3|前|=3,因止匕J而|=1或3.

答案：1或3

解题技法

平面向量有关概念的关注点

(1)共线向量即为平行向量；

⑵向量的平行不具有传递性，只有非零向量平行具有传递性；

⑶两个非零向量的共线包含同向共线与反向共线，与向量长度、起点无关；

(4)与向量a同向的单位向量是9

考点二平面向量的线性运算

考情提示

平面向量的线性运算主要考查平面向量加、减运算、运算规则及其几何意义，常

以平面向量为载体考查平行四边形法则、三角形法则，题目多以选择题、填空题

形式出现.

角度1平面向量的加、减运算的几何意义

[例1]如图所示已知在矩形A8CQ中而|二4心设荏"，丽=瓦前二c.

贝!J|a+b+c\=.

【解析】a+b+c=AB+BC-^BD=AC+BD,

延长BC至E使CE=3C,连接DE,

由于屈二就与反所以CEJUD,

所以四边形ACED是平行四边形,所以前=屁.

所以m+前=屁+丽=屁，所以|a+b+c\=[BE\=2[BC\=2\AD\=SV3.

答案：8g

解题技法

利用向量加、减法的几何意义解决问题的常用方法

⑴根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求

解相关问题；

⑵平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可

考虑利用向量知识来求解.

角度2平面向量的线性运算

[例2]⑴如图，在△回0中,。是BC的中点若源"，万则尼=()

A3a-2b

22

C.-a+2bDo2b

【解析】选DAC=BC-BA=2DC-BA=2(DA+ACyBA=2b+2AC-a,

所以前=。-2A.

(2)(多选题)(2023•河源模拟)如图,在平行四边形ABCD中刀为CD的中点,

而乏荏，则()

一一..)1--->

A.AE=BC--BAB.BE=BC+tBA

-一一•61>，,,■■■>..>>>

C.BF=-BC+2BAD.AE+BE=2BC

36

【解析】选BCD.对A,由题意得荏二说+而=而+前+屈=同+配+之而二

・瓦彳+方瓦彳=二瓦彳+方.故A错误；

22

对B^=BA+AE=BA--BA+'BC=-BA+BC^B正确；

22

对C^BF=BA-^-AF=BA+-AE=BA+^--R4+fiC)=-BA+-BC^C正确；

33263

对DEB1+BC+-BA+BC=2BC^D正确.

J+BE=-2-2

解题技法

向量线性运算的解题策略

⑴常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四

边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.

⑵找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行

四边形或三角形中求解.

角度3根据向量线性运算求参数

［例3］（1）（多选题）（2023•梅州模拟）如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,8〃

AB,CD=：ABEF分别为DC,AE的中点，若而=2荏+〃前（布£肉,则（）

77

A.2=-B.〃=2C.2=-D./z=l

【解析】选BC.因为CDV4氏。。二夕脱

所以前二版+前二版荏，因为F为AE的中点，

所以祥2万=2项+丽=2荏+2就

所以就2而+2前3AB=-AB+2BF,

44

所以2二：,〃=2.

⑵（2023・安庆模拟）如图在△043中,P为线段AB上一点，加=♦1+），布且

前二4万，则（）

R.x二|,)W

D.^=i,y=-

y月4/4

【解析】选C.由而=4方可得前三瓦

4

所以而=砺+前=砺dBA=0B+-（0A^0B）=-074砺，所以x=-j=".

44444*4

解题技法

与向量的线性运算有关的参数问题解题策略

一般是通过向量的运算将向量表示出来，然后通过比较或建立方程组即可求得相

关参数的值.

提醒:有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性

质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

对点训练

1.如图，已知04=〃,。8="任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点

为N,则向量而=（）

\b-2aB.—

2

C.等D.2S-G

【解析】选D.由题设及题图知:而=2荏且荏二通-初二力-a,所以而=2小初

2.（2023普州模拟）如图.平行四边形ABCD中点E为BC的中点点F在线段AE

上，且AF=2FE,记〃二而力=而则前二（）

【解析】选D.因为在平行四边形ABCD中上是BC的中点,4尸二2咫而二人近二

所以前二说.质二曲■工XE=BE--（AB-i-BE）=--~AB^BE=--AB+-x-BC

3333332

=_!AB+-BC=--AB+iAD=--a+-b.

333333

3.（2023.北京模拟）在平行四边形ABC。中，点尸满足存=3而+而），若而且宙+

/MD,贝I」z+Zz的值是__________.

【解析】由於而+元）得出点P为BC的中点，在平行四边形ABCD中,

AB=DCjBC=AD^PD=PC+CD=-BC-4B=-AD^AB,PJT\^2=1贝U2+〃=：.

2222

答案K

【加练备选】

（2023・福州模拟）在AMC中，点P为8c边上一点，且而三尼+A荏，则实数

Q（）

A.1i1B.i2C.-D3.-

3234

【解析】选C.如图过点P作PD//AB^AC于点D,作PE//AC交AB于点E,

因为都3前+2荏，所以前三前，前二殖所以而卓荏,所以荏=|荏，所以

神而+版=萍+|荏，所以A=|.

考点三向量共线定理及其应用

［例4］（1）（一题多法）（2023.连云港模拟）设0,及是两个不共线的向量，已知病=

2的-履2,而=约+362,而二20也若三点A5Q共线厕k的值为（）

A.-8B.8C.6D.-6

【解析】选B.解法一（方程组法）:由已知得丽=而-而』+3改・（2白-4）=臼+4«2,

因为三点A,B,D共线，所以存在唯一实数2使荏"丽，

所以20-崩2或/+4«2)5+4屁2,所以｛k*,解得/二g.

解法二(比例法):由已知得而二通-而=ei+3e2-(2ei-e2)=-ei+4e2,

因为三点A,B,D共线,所以荏〃丽，所以;二右解得68.

-14

⑵(2023•青岛模拟)如图，在"BC中，丽=2配『是8N上一点若而二海+之前，则

实数t的值为.

【解析】由题意,P是BN上一点设丽卡丽,

贝麻二福丽二荏+2前二荏+2(前祠=(1-2)而+丽，又前=2枇，

__门-入=t

所以前=|痈所以而二(1-力而+(2冠二证+|瓶所以211,解得心

332-4

-A-132

答案3

4

解题技法

利用共线向量定理解题的方法

(1)〃〃力=斫沏厚0)是判断两个向量共线的主要依据.若斫祝厚0)则。与b共线,

且当2>0时/与b同向;当A<0时，与b反向.

(2)若a与b不共线且痴苧仇则2印=().

⑶要证明人民。三点共线，只需证明而与前共线,即证四=2近(2ER).若已知

4,8,C三点共线，则必有而与丽共线，从而存在实数九使得说=2近.

(4)OA=AOB+^OC(A,/i为实数)，若4,8,C三点共线则出口.

提醒:若点P在直线AB上，由三点共