考研数学（数学三）模拟试卷369

考研数学(数学三)模拟试卷369

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设f(X)是(一00,+oo)内以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数

的是(r).

A、Jaf(t)dt

B、

*0ro

/(力山一

C、Jr

r

标准答案：D

知识点解析：因f(x)是周期为T的连续周期奇函数，则其原函数也是周期函数.据

此，可知(A)、(B)、(C)中的函数都是周期函数.但(D)中变项积分不是f(x)的原函

,r

数，因而不是周期函数.解一(D)中函数不是周期函数.事实上，令(p(X)=J-』

tf(t)dt,贝IJ」故(D)中函数不是周期函数.解二下证(A)、(B)、(C)中函数均是周

期函数.对于(A),令以x)=f(t)dt,则对于(B),令h(x)=f(t)dt,则故h(x)=h(x+

T).同法可证均是周期为T的周期函数，故其差也是周期为T的周期函数.仅(D)

入选.

2、若直线y=x与对数曲线y=logaX相切，则a=().

A、e

B、1/e

C、ee

D、ee-1

标准答案：D

知识点解析：两曲线相切即两曲线相交且相切，而两曲线相切就是在切点导数值相

等，相交就是在交点(切点)其函数值相等.据此可建立两个方程求解未知参数.由

1得到工则切点为Q~)=(七'白)•该点也在曲线丫=

y'=1=(logax)=ilna

冈一

logax±,于是有故=lna,所以a=e。I仅(D)入选.

3、设f(x)g(x)在点x=0的某邻域内连续，且f(x)具有一阶连续导数，满足

lim一「

l。X=0,f(x)=—2x~+Jug(x—t)dt,则().

A、x=0为f(x)的极小值点

B、x=0为f(x)的极大值点

C、(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点

D、x=0不是f(x)的极值点，(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点

标准答案：C

知识点解析：由F(x)的表示式易知f(0)=0,为判定选项的正确性，只需考

T广(工)

察.？'(0)的符号的有关情况，为此计算理x,看其是否等于非零常数.目

171

有F(x)=-4x+g(x),则=—4+0=—4,也见在x=0的两侧因x变号，

「'(X)也变号，因而(0,H0))为曲线y—f(x)的拐点.仅(C)入选.

「7+4二了

d'

弓A22()

4、计算二重积分1=-1y•/4-(x+y)=

A、兀2/32

B、-1C/32

C、兀/16

D、兀/4

标准答案：A

知识点解析♦：由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示.由于积分区域为圆

域的一部分，且被积函数又为f(x2+y2),应使用极坐标求此二重积分.所给由线

为(y+l)2+x2=l的上半圆周，区域D如下图所示，其直角坐标方程为

即y2+x2<—2y,将x=rcosO,y=rsin0代入

得到极坐标系下的方程也一2rsin0,即匕-2sin0.于是D={(r,0)I—兀/

4<0<0,0<r<-2sin6},则二仅(A)入选.

2181

1-39-6

02-52

5、设四阶行列式D=1406,则第3列各元素的代数余子式之和

A13+A23+A33+A34=()-

A、3

B、一3

C、2

D、1

标准答案：B

知识之解析：尽管直接求出每个代数余子式的值，再求其和也是可行的，但较繁，

一般不用此法.因行列式D中元素aij的代数余子式Aij与aij的值无关，仅与其所

在位置有关.常用此性质构成新行列式，利用行列式性质求出各元素的代数余子式

的线性组合的值.将行列式D的第3列元素换为1,1,1,1,则

21110-7-1-11

1-31-60-70-12

Aij-An+A43==

02120212

14161416

-7-1-11-50-9

=—-7(\-12=一-70-12

212212

-5-9

=—3.仅（B）入选.

6、设A是四阶方阵，A*是A的伴随矩阵，其特征值为1,-1,2,4,则下列矩

阵中为可逆矩阵的是（）.

A、A一E

B、2A—E

C、A+2E

D、A-4E

标准答案：A

知识点解析：利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：IAI=入央2…猫判别之，

其中左为A的特征值.解一设A”的特征值为人：，篙，入；“；，则凶于是|

A*I=1.（-1）.2.4=-8.因而IAI4-1=IA*I,故IAI3=~8,即|AI=一

2,所以A的特征值为因而A—E的特征值为囚=-2—1=—3,|12=2-1=1,

|13=_］一］=_2,g4=-］/2—1=-3/2,故IA-EI=内串2串34U=-9H0，

所以A-E可逆.解二由A的特征值易求得其他矩阵2A+E,A+2E,A-2E的

特征值分别都含有零特征值，因而其行列式等于0,它们均不可逆.仅(A)入选.

7、已知随机变量(X,Y)的联合密度函数为

(2xe-y,0<zVl•)，>(),

/")=

0,其他，则1的二次方程t2-2Xt+Y=0有

实根的概率为().

A、e

B、e-1

C、e-2

D、e2

标准答案：B

知识点解析：先找出有实根的X与Y所满足的条件，再在此条件范围内求出其概

率.因二次方程I?一2Xt+Y=0有实根的充要条件为4X2—4YK),即x2”，

如下图所示，故所求概率为

v

P(X2“)=口=|(Lr|2xe~dy

^xO-e=el仅(B)入选.

0

8、设X],X2,…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n(n=l,

2,…)的指数分布，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是().

A、X19X2，.・.，Xn，・・.

22

B、X|,2X2，…，nXn,...

C、X1,X2/2,...tXq/n,...

D、X1,2X2，nXn••••

标准答案：B

知识点解析：根据切比雪夫大数定律所要求的条件判别.切比雪夫大数定律要求

三个条件：首先是要求X1，X2,…，Xn相互独立：其次是要求Xn(n=l,2,...)

的期望和方差都存在；最后还要求方差致有界，即对任何正整数n,D(Xn)<L,

其中L是与n无关的一个常数.题中四个随机变量序列显然全满足前两个条小，

K(X,)——•D(X.)=[vi；■)T

由于对于(A),有〃月对于(B),有E(n2Xn)=n-E(Xn)

22442

=n.口=n,D(nXn)=nD(Xn)=n.=n；对于(C),有对于(D),有E(nXn尸

22

nE(Xn)=n=1,D(nXn)=nD(X„)=n.=l.显然(B)序列的方差D(『Xn)不能对所

有n均小于一个共同常数，因此不满足切比雪夫大数定律.综上分析，仅(B)入

选.

二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

9、…£几十/=

标准答案：arclane一n/4

知识点解析：分母提取因子n,再使用定积分定义求之.原式=

*玄1+芯jol+Z，lde'

JG1+d)2=arctane、H=

arclane一n/4.

10、J。Jxe”dy=____________.

标准答案：4

知识点解析：直接先求内层积分无法求出.可变更积分次序，再用r函数计算较

简：也可用分部积分法求之.解一

18&「门*心=e-y2dr=一寸卜一会加

J0Jx0J

=j[*>&=

]

=4T⑴=v•L=1

444解二

1严J

J0Jx0Jy/t

=iimf斗dy=limF—j-[e)d(—y2)

L4J0_

=——limcyi:=-Jlim(二一1)=工

44~»+804<a-*+oe\ea)4

1=d

11、差分方程yx+i一的通解是,

+

标准答案:%=呜）T（f）

知识点解析：先求对应的齐次差分方程的通解，再求特解..齐次差分方程yx+「

2yx=0的特征方程为入一回=0,解得特征根大=,故齐次差分方程的通解为

C（）x因a=（特征根不等于底数），故其特解为，代入原方程得A=.故所求通解为

的协方差ccv（X,Y）=.

标准答案：0.056

知识点解析：由定义或同一表格法分别求出X,Y与XY的分布，再求其期

X-,〜，

L0.400.6DJLO.180.500.32J

XY〜尸°11

望.解一由表易知L0.080.700.22J因此E(X)=

0x0.40+1x0.60=0.60,E(Y)=(—1)x0.18+0x0.50+1x0.32=

0.14.E(XY)=(-l)x().08+0x0.70+1x0.22=0.14.从而cov(X,Y)=

E(XY)-E(X)E(Y)=0.056.解二用同一表格法求之.为此将所给的联合分布改

写成下表，并在同一表格中求出X,Y及XY的分布.回故下同解一.

13、设Xi，X2，…，Xn是取自正态总体N（0,『）（。＞0）的简单随机样本,

兄=枝.v

卜«=iXj(l<k<n),则COV(XA，XHI)=

标准答案:k+1

知识点解析：利用协方差的有关性质，特别是线性性质求

*II

cov(X*)-cov(1乃X,gX,)

=t/cov(X，，Xp,

之.利起十“一】＞-»由于Xi，Xj的）独

立，cov(Xi，Xj)=o,又cov(Xi，Xj)=D(Xi)=o2,则

cov(X.)=以油-])^^cov(X,，X,)

k./

A3+1)FTT

三、解答题（本题共夕题，每题1・0分，共9分。）

ln(e皿+万一cos£)—sinx

arctan3力一cos^z

标准答案：解一________

团分1•ln(esiaj+—COST)—lne5,nx一「ln(l+0—cos//e"r")

lim

原式二---------；F■-二二与二j-----hm-----3—二三二—

LOarctan^3R—cos。」上一。3，1-cosx

=»尸1＞工

JLQ-COS3

Li4WpZ—i

3L0八一COSJT，1+cos«rJLOy1+COST

解_原式=Hmlne'2(」+力一cosir/e*)—sinjr

l。3力一cos?”

=Nm蜒=土WQ+町/广)-sinx

oz-*0y/l—cos^x

1ln(1+—cosz/e3)1-cosx/e8,,u

=携r-----~~=1"则v

cos2x

fim=羔等:

=lr1_1

6L0/1-COS—3a。力+cosx3^2

知识点解析：用恒等变形法或提公因式法化简极限函数，再用等价无穷小代换求出

结果.

15、设函数f(x)=(x—xo)%(x)(n为任意自然数),其中函数(p(x)当x=xo时连

续.⑴证明f(x)在点x=xo处可导；(2)若(p(x)¥O,问函数f(x)在X=xo处有无极

值，为什么？

1./(X)―/(x)__(R—k0”9(了)一0

Um------0-------r-------=lim--------------*------------

X-TQX-Xo

=lim(N-No)-1y(x)=O,

标准答案：(1)由于“7。即f(x)在

x=xo处可导，且f(xo)=O.(2)由于(p(x)在x=xo处连续，且(p(xo)/D,所以(p(x)

在点xo的充分小的邻域(xo—3,xo+3)内与(p(xo)同号，于是f(x)的符号只与n的

奇偶性有关.①若n为奇数，则经过x()时，f(x)的值变号，所以在x=xo处没有

极值；②若n为偶数，则(x—xo)n>O(x^xo).当(p(xo)>O,且O<IX—xoI<6

时，f(x)=(x—xo)n(p(x)>0=f(xo)»所以在x=xo处有极小值f(xo).当(p(xo)VO，

且OVIX—XOI<3时,，f(x)=(x—XO)n(p(x)VO=f(XO),所以在X=XO处有极大值

f(xo).

知识点解析：用导数定义证明(1)；用极值的定义证明(2).

「8_______d£_______

16、计算上(X-I)4/T2-lx

标准答案：注意到〃丫―2z=/?-21+】一1=，(工一1)2—1,,令K—1

=sect,则当x=2时，t=O,当x-+8时，t=7i/2,故

广dx伐sect•tan/」f号3」22

Jz(工—1)4J世—sec4f•tan/Jo3*13

知识点解析：这是一个积分区间为无穷，且被积函数在［2,+8)上是无界函数的反

常积分，试作变量代换化为定积分求之.

17、求/=2工^/+4》的通解.，及其在初始条件yIx=1=0下的特解.

如

标准答案：这是一个一阶方程.注意到2y〈(xey2+2)=ey2,即6「2+2)dx=

cy2.若以x为未知函数，y2为自变量，原方程就会化为x的一阶线性非齐次方

程：回一x=2eF2.其通解为x=ey2(C+2jeP2r2dy2=CeY2—「2y2,代入初始

条件yIx=l=0即得1=C—1C=2,所以满足条件下特解为x=2e>2—「2y2

知识点解析：暂无解析

、任一连续函数;a>0,求证:

〃Q)dz).

aJo\aJo

1

标准答案：题设F(x)K),则由泰勒公式有f(x)=f(xo)+?(xo)(x—xo)+2『⑹(x—

1r*i

xo)->f(xo)+f(xo)(x—X0),其中e在XO，x之间.取X0=u(t)dt,x=u⑴代入上

式得对上式两端从。到a积分，得

知识点解析：给出函数f(x)二阶可导，Hr(x)>0,该条件常使人想到利用泰勒公

式证明不等式.比较待证的等式易看出，应取x=u⑴，xo=QJou⑴出(此为常

数).

19、设向量组(I)：ai，a2，…，am，组(口)：仇，例，…，匹，其秩分别为Y1，

Y2，向量组(皿)：anaz，…，am,P),例，…，0n的秩为丫3，证明max{yi，

Y2)<y3<Yi+Y2.

标准答案：分别取向量组(I)、(口)、(ID)的最大无关组：组(I)，：a",aj2>...»

Clirl；组(I!)，：的，Pj2>...»Pjr2；组(ID)'：8(|,P(2».•.»0lr2又设组(W)，：Uji,

52，…，airI,pji，pj2,...»触因组(皿)能由(W)'线性表出，其部分组(皿)'也能由

(wy线性表出，且组(皿)饯性无关.对于组(iny与组(ivy,有门夕叶⑵因组

(i)\组(ny分别可由纽(叫，线性表出，且组(1人组(口)，分别线性无关，于是

口33，「2&3，贝IJmax{ri,ro)<rs.

知识点解析：遇有一组向量可用另一组向量线性表出的题设或题断时，常取其最大

无关组作出线性无关的向量组，利用有关结论证其相关命题.

20、设A为三阶方阵，a为三维列向量，已知向量阻a,Aa,A2a线性无关，且

A3a=3Aa-2A2a,证明:(I)矩阵B=[a,Aa,A,a]可逆；(11用18为正定矩

阵.

标准答案：⑴证一由A3a=3Aa-2A2a得至ijA4a=A.A3a=3A2a-2A3a=3A2a

-2(3Aa-2A2a)=-6Aa+7A2a,则[a,Aa,A4a]=[a,Aa,A2a]

-1。。]100

01-601—6

-007J=[a,Aa,A2a]G.因IGI=007=7/0,a,Aa,A2a

线性无关，故a,Aa,A4a线性无关，所以矩阵B可逆.证二设kia+kzAa：

42

k3Aa=0,BPkia+k2Aa+k3(7Aa-6Aa)=0,亦即kia+(k2—6k2)Aa+7k3A2a

=0.因a,Aa,A4a线性无关，故ki=0,k2=6k3=0,7k3=0,Wki=k2=k3

=0,所以a,Aa,A4a线性无关，因而矩阵B可逆.(2)因6丁8/=8丁伽丁丁二

BTB,故为实对称矩阵.又对任意X#),因B可逆，有BX#),于是有

XT(BTB)X=(BX)T(BX)>0,故二次型XTBTBX是正定二次型，从而BTB为正定

矩阵.

知识点解析：(1)利用矩阵B的可逆性可构造矩阵证之.为此将B表示为两个可逆

矩阵的乘积，也可利用向量组a,Aa,A2a线性无关的性质用定义证明.(2)用定

义证明XTBTBX为正定二次型.

21、将外形相同的球分别装入三个盒子中，第一个盒子装入5个红球和3个黑球，

第二个盒子装入3个黑球和2个红球，第3个盒子中装入4个黑球和2个红球.先

在第一个盒子中任取一球，若取到黑球，则在第二个盒子中任取两球，若取到红

球，则在第三个盒子中任取两球，求第二次取到的两个球是黑球时，第一次取到的

是黑球的概率.

标准答案：设事件A表示从第一个盒子中取到黑球，事件B表示第二次取出的两

P(A)=K，P(B|A)=]=W，