考研数学三（微积分）模拟试卷214

考研数学三(微积分)模拟试卷214

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

发数，£

1、设an>0,n=l,2,若E1(—l)n-'n收敛，则下列结论正确

的是

2。2Al收效N

A、R»I"2n发散.

收敛，£

B、«■!”/a2n—1发散.

Z(a2n—l+a2n)收敛•

C、

D、-I(a2n—l—a2n)收敛.

标准答案：D

知识点解析：注意，级数M(a2nT—a2n)是把收敛级数(一l)n一】an各项不改变

顺序且相邻两项合并为一项构成的新级数，由收敛级数的性质知该级数必收敛，故

应选D.

2、下述各选项中正确的是

和都收敛，则2、

A、若"w,，…l(Un+Vn)~收敛.

£收敛，则与£

B、若"1—"n都收敛.

y%发散，则—

C、若正项级数&n.

a»at

EX

D、若级数…&收敛，且UnNVn(n=l,2,...),则级数…M也收敛.

标准答案：A

222222

知识点解析：由于0<(un+vn)<(IunI+IvnI)=un+2IunvnI+vn<2un+2vn,

和£4收敛,故级数Zy

又级数，*/e/Quj+ZVn?)亦收敛.从而级数-YUn+Vn-收

2

n

敛.故选A.对于(B),只要令Un=(§)n,vn=2,易验证(B)错误.对于(C),令

1

Un=2n,显然选项C错误.对于(D),当Un为正项级数，V1】为负项级数时(如令Vn=

—1),易验证(D)错误.

V*f§汨（no）

.■tI几

3、设a为常数,则级数一।-月

A、绝对收敛.

B、条件收敛.

C、发散.

D、收敛性与a的取值有关.

标准答案：C

知识点解析：由于

四詈卜”级数£/收敛，故级数士写豆收敛.但级数£5发队故级数£［写也-

.应选C.

4、若级数11=Oan(x—1)'在x=—1处收敛，则此级数在x=2处

A、条件收敛.

B、绝对收敛.

C、发散.

D、敛散性不能确定.

标准答案：B

yy

知识点解析：由已知条件・=Oan(—2)n收敛，可知率级数，的收敛半径

,

I

R>2,从而一勾/当10—2,2)时绝对收敛.注意x=2时对应的t=x—1=1.故事

级数"Oan(x—l)n在x=2处绝对收敛.故选B.

皿d3则V

5、设山4兀毋1加*“为

A、发散的正项级数.

B、收敛的正项级数.

C、发散的交错级数.

D、收敛的交错级数.

标准答案：D

知识点解析：令x=mrH,则

fw(-1)"»int,/sint.

u,='-------------dr=(-1)---------dr.

Jontr+IJonir+r

又°<fd/<f———=ln[I4­)-♦0(ntso),

JonvfJoHIT+i\n/

rfwsinr.fwsinf.

且——；----TT■山<-----山.

Jo，+(n+1)irJonirI所以交错级

数”=%收敛,故选D.

y/।4+1-R

6、已知级数4献条件收敛，则常数p的取值范围是

(A)(B)

⑹（-十，3⑼(-/4■卜

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

令4二码二0则

2/T

知识点解析：故当p+

2>"即°>爹）时・2an收敛，从而原级数绝对收敛；当p+

；W।（即/>W时£

2'2f:Wa”发散，从而原级数不是绝对收敛的.当0Vp+

-L)

22/时，显然an—>0(n—>8).令

/(x)=xf(y/x+I+Jx)(x>0).

由于/'(ar)=x**'1(jx♦1+G)(P♦—j)

且大i>0,Jx>1♦6>0,而

lim(p♦——1=P♦)>0,

2kT，所以x充分大时f(x)单

调增加，于是n充分大时，an=/(")单调减少，应用莱布尼茨判别法推知当

了<P了时原级数条件收敛.故选D.当p+

时).故

—2w0a'0(n—♦ooMPpS~~~2~时原级数发散.

7、下列命题中正确的是

y].4♦

JLt1lim------

n

A、若幕级数"-°anx的收敛半径为RrO,则104

.lim—不存在，则基级数£

B、若极限—4-OanX11没有收敛半径.

C、若幕级数一。anx11的收敛域为[一1,1],则一级数-Ina©11的收敛域也为[一

1,1].

VV工

D、若品级数三lanX11的收敛域为[-1,1],则品级数+'n的收敛域也为

[一1，1].

标准答案：D

..1

；lim-------

知识点解析：极限•“=pN足收敛半径为R=P的一个充分条件，因此A

£x—

不对.累级数"OanX11的收敛半径存在而且唯一，所以B不对.取级数一可

以排除(C).(D)可以由某级数的逐项积分性质得到，故选D.

V——!——

8、设幕级数£由(〃+2)3一@-在点乂]=一2处条件收敛，则塞级数

y-i-,1

…o(口+2)%—a)11在点X2=2处

A、绝对收敛.

B、条件收敛.

C、发散.

D、其敛散性与口的取值有关.

标准答案：c

知识点解析：首先，幕级数收敛半径为R=I.其次，级数在xi=12处条件收敛,

则X］二一2必为收敛区间的端点.由IX1—X2I二

4-1=">2R=2,可知盯=V

222必在收敛域之外.与a的取值无关.因此选C.

二、填空题（本题共6题，每题1.0分，共6分。）

Xu-的部分和s,=2上1，则2

,

9、设级数《»・l«■（Un+un+l+Un+2）=

1

标准答案：-不

HmSB=lim"•=所以级数£

知识点解析：因为S———2/1-12收敛，那么由级数

+4“+%.2)=2%+2j，E%.2

的基本性质有ZJ”=S+(S—

2-1=_1

ui)+(S—ui—U2)=3S一2ui—U2.由于U尸Sl=l,U2=S2—ui=33,则

1

£(%+4.1♦/〃)=3x«y-2xl-

A■!43

V——-——

10、累级数A?4"+（-3）”x2nT的收敛半径为

标准答案：2

n

知识点解析：当X=0时级数显然收敛.当X/）时设Un（x）=4"♦（-3尸x2n-l,于是

x2n+1…（-打

liim—・l,x2.

4（4）fliB4If4

4),

用比值判别法知，当了2X

1

VI时事级数绝对收敛，而当工\2>1时幕级数发散，故嘉级数的收敛半径为2.

y--

11、累级数一1"・2"的收敛域是

标准答案：［-2,2)

知识点解析：当x=0时级数必收敛.当x#)时设un(x)="・2"，于是

(n+l)2n*=

n♦1.TIli

|n-2"|故当11

VI即IxIV2时，密级数绝对收敛，而当IxI>2时事级数发散.当x=2llj,

基级数变为白2〃，显然发散；当*二一2时，基级数变为交错级数

2n,由莱布尼茨判别法易判断其收敛.故收敛域为［-2,2).

⑵塞级数£岛弓L的收敛域为

标准答案：［一1,1)

V

知识点解析：根据收敛半径的计算公式，事级数，占Mnn的收敛半径为］,收

y-X-

敛域为［一1,1);基级.数92"的收敛域为(一2,2).因此原级数在［一1,1)

收敛，在(一2,—*1)U［1,2)一定发散.又根据阿贝尔定理，原级数在(一8,一

2］U［2,也一定发散.故原级数的收敛域为［-1,1).

y

13、嘉级数n・“()2n(2x—3)2n一1的收敛域为.

标准答案：(1.45,1.55)

知识点解析：这是缺项基级数，把一般项化成an(x—xo产T的标准形再计

因为£1。2.(2-3产/1一

!T\/li•।'z'

z(“)1O2"*2(2X-3产”3

=20

算.1O2R(2X-3)2*-I2

i

x<1即

所以当202-y)20=0.05时，级数绝对收敛；当Ix一

3y

2|>0.05时，级数发散.故事级数g102n(2x—3)2nT的收敛区间为(1.45,

3

1.55）.又当lx—爹I=0.05时，原级数的一般项分别是如二一10和Un=10,所

.

y

以发散.因此散级数■■”02n（2x-3）2n—l的收敛域为（1.45,1.55）.

14、幕级数&（!?—l）x"的和函数是.

标准答案：（1―尸（1-“尸+1,（IxIVI）

知识点解析：当x=0时级数收敛，当x，0时设Un（x）=（r?—l）xn,由于

"■*"43，—〃可见基级数的收敛半径

R=l.当x=±l时原级数一般项不趋于零，故累级数的收敛域为（一1,1）.求和函

数得

=£(n+l)nx,-Z(n+l)x"=S[(x)-S2(x),

A•I«■1

其中Sz(x)=+=£(/“)—(=(£<)

R•I«sI'R«I''•*2

==(六--，)<I)

BOB«<

S|(x)=+="E(n+l)nx"T=X(£L")

axI=I'

==(I-7?,(1x1

故s0占

三、解答题（本题共22题，每题1.0分，共22分。）

判别下列级教的敛散性.

标准答案：用比值判别

（n+IT**2*n!

lim—lim.近3

W-«%-2-**（0+1）!n"2

=!lim(1+>I♦

法.2…nJ2故该级数发散.

知识点解析：本题中四个级数均为正项级数，故用正项级数敛散性判别法.

V_：‘

16、A*<yin(l♦n)

=e*.…匕由洛必达法则知lim则n(±*

标准答案：u产5(〃+1)・…*+।=0,

所以■吧un=e°=l/),故级数发散.

知识点解析：暂无解析

标准答案：此题可以用比值判别法或极限形式的比较判别法.比值判别法：

....5"*16--4"5

lim-------=lim------：--------------二-

…4…67-4e5-6〈I,故收敛.比较判别法：取丫=

5・

lim幺=lira空工=1,又

收敛，所以原级数收敛.

知识点解析：暂无解析

V----«--

18、M3+IL”[11"(其中常数p>「).

£-L

标准答案：用比较判别法的极限形式，将题设的级数与级数宁作比较.因为

，・，中/.早1

limn：u,=lim--------------------«lim...........®lim--------------------------=0,

…■一(n+1)-hm尸，(1+十广1仙"*”4I♦-1-)"^Inn

乂由卡>1知£工收敛,所以原级数£%收敛.

知识点解析：言端析

判别下列级数的敛散性.若收敛，需说明是绝对收敛还是条件收敛.

而-i)

19、«

标准答案：1(一1尸一】(而一)।=VH--j,利用正项级数比较判别法极限形式，

1

我们取Un=7.因为

lim------=-】im«,(1-Inn)=-lim而,lim(1-Inn)

■v\/n.一・0一R―

=-1•lim(1-Inn)=+oo.

而级数j工发散，从而t(-1)*/(而-1)非绝对收敛.

""1n"■>对

11-Inx

ix1•-----——2.

于原级数，令f(x)="，,在区间[e,+8)上有「(X尸W<0,故f(x)=4,在

lim(为<1)=().从而级数S(-l)3(方-I)

区间5+8)上单调递减，且"--I满足

莱布尼茨判别法的两个条件：-li上mUn=0,UnNUn+l.故得知原级数条件收敛.

知识点解析：暂无解析

y―尸

20、-IInU+e)

标准答案：由ln(l+x)<x(x>0),可知imen+e-nAlnenu+e-ZnAn+ma+e-Z'vn+e-

Zn

cI1_______[

由于ln(e*+L*1)>n+e~un8).

ln(ea+e-")

因此£I群三I发趴

令

----------(*〉0)•则/'(幻=一~"-------——-

f(x)=ln(eM+e-)IrC(1+1，)e，+e'<0.因此f(x)单调

减少，故数列｛加(/-f｝单调递减.又‘丁二而丁丁7二7二o,由莱布尼茨判别

法，知原级数收敛.故原级数条件收敛.

知识点解析•：暂无解析

V•±1

21、讨•论级数-I瘾的敛散性，其中｛xQ是方程x=ianx的正根按递增顺序编号而

得的序列。

irTT»

标准答案：令f（x）=x—lanx,x€（n兀一2’2）,则「（x尸1一coz，二一

tan2x<0,等号仅在x=nn时成立，故f（x）单调减少.又

lim/（r）=+x.limf（x）=-«.

…（“⑶'・"丁故f（x）在（皿一V亍）有唯

,nrirTT

一的根，且Xn€（n兀-22）,从而xn>2>n—2,继而有Xn>（n—2）2,

口<y—J收敛.故14

9（〃-2）,由于白（〃・2广片《收敛.

知识点解析：暂无解析

22、讨论级数"I门）的敛散性与参数p,x的关系.

xjn/i

标准答案：当n充分大时.1一二］>0,故级数为正项级

数.

哨.7（一等产广

・「

由于（I-誓）…一而（”），=〃・，故取味=

记

㈣lim一如）.==|而（%）\

4•一

利用麦克劳林公式幺

limI”.=lim，Dn*f，n（1-阴］

干T券力。（（阴》

-若♦平宇止。，

limy.=1,因此lim±=1.乂当p+x>1时，£!收敛；当p+#E1时，£

1

故""---»vn

发散，故当p+x>l时，*»=lUn收敛：当p+xWl时，c=，Un发散.

知识点解析：暂无解析

---足等式y'=x+y,且y(O)=l,试讨论级数

冲r㈢

的收敛性.

标准答案：因为y，=x+y,所以y"=l+y'.由y(O)=l,得y'(0)=1,y"(0)=2.根据麦

克劳林公式，就有

y(Bsy(0)①。)十+9(。)(十『+。(»

所以M9)T--_［在L8时与*等价,且级数£土收敛，因此级数£［'(：)-I-：］绝对收

效.

知识点解析：y(x)是已知微分方程的一个特解，再由其麦克劳林公式讨论级数的收

敛性.

24、设f(x)在［一2,2］上有连续的导数，且f(0)=0,F(x)=f-xXf(x+t)dt,证明级数

Z^(-)

一］绝对收敛.

标准答案：由于f(x)在［-2,2］上有连续的导数，则Ir(x)I在［-2,2］上连续，

设M为IF(x)I在［-2,2］上的最大值，则x€L1,1］时，F(XAJ_

x2x2x2x

Xf(x+t)dt=fof(u)du=fof(u)d(u一2x)=f(u)(u-2x)Io一J()2xf»(u)(u一2x)du=一

fo2xf(u)(u-2x)du,由此可得IF(x)IWMj()2x(2x—u)du=2Mx2,xG［-1,1］.因

F(­)I<衅(〃=1,2,…)，由于、；

此nM收敛，由比较判别法可得

i1上)|收敛，即£尸(与

&\w1几，绝对收敛.

知识点解析：暂无解析

将下列函数在指定点处展开成幕级数：

25、f(x)=lnx,分别在x=l与x=2处;

y(-I)"”

标准答案：利用换元法与已知的基级数展开式ln(l+x)=4nxn(-1<X<1)

求解本题.首先设x-l=t—>x=l+t,代入可得f(x)=lnx=ln(l+t)=

工=三(3

"""1n(X—I)2,展开式的成立范围是一1Vtwl即一1VX

—1<1->0<x<2.其次设x—2=t-x=2卜t,代入可得

/(x)=Inx»ln(2♦l)=In2(1+=ln2+ln(1+

垣，£心(打二地•£安-”

展开式的成立范

I一.一X—2

二-&1即-I<u—

围是一IV22<1—2<X-2<2->0<x<4.

知识点解析：暂无解析

26、f(x1+2,在x=l处.

2

/(x)

x♦2x+2

,(一儿

标准答案:

展开式成立的范围是3<1,即一2VxV4.

知识点解析：暂无解析

X-1

27、将函数f(x)=4-%在点xo=l处展开成塞级数，并求f(l).

人，因此只需将7」一展成£

标准答案:将f(x)视为(K—1)4-'47台|bn(X—l)n即可.因

」一

4-x3-(-1)31-

为3利用公式(5.14),并以‘3代替其中的

x,则有

尹+与―.产+,斗(_]<--—<1即-2<”<4)・

3

(*】)”

于是/(')===?+…],(-2<x<4).

3，

y/⑺⑴n!

由于f(x)的幕级数W>a“x—l)n的系数a行n!,所以W)(i)=n!an=3-，

知识点解析：“在点x0=l处展成秤级数”即展成x—1的累级数.

28、求累级数制的收敛半径与收敛域.

标准答案：用比值判别法判别其敛散性.当x=0时事级数收敛；当x#)时有

1.8.|x|>i.所以，

当0<IxIVI时，基级数绝对收敛；IxI>1时暴级数发散；当IxI=1时，由

于，！Run#)，基级数发散，故累级数收敛域为(一1,1).

知识点解析•：暂无解析

y

29、求小级数-0(2n+l)x2n+2的收敛域，并求其和函数.

■■■

yyy

标准答案："(2n+1)x2n=x2"(2n+1)x2n»记，wOQn+Dx'，的和函数为S(x),则

"⑴出=£一“=724.

J0工1-x

对上式两端求导，得

so=[j沏网’=(占)=打4奈.

所以V(2nI)?-*2=x2S(x)=。乜3(-1<X<1).

1I=0(I-z)

知识点解析：记un(x尸(2n+l)x2n“，消去每项中的系数(2n+l)便可化为等比级数.

求下列事级数的和函数：

i,n

30、-=o(n+l)2xn；

标准答案：易知事级数收敛域为(一1,1).记5汽)=4(1】+1人\则

•»■

S(，)d,=£(n♦l)x"41=x^(n+l)x*=

)0n・0・・0«B0

=xyx"*1=4—)=―J.

f"-4/(I-X)对上式两边求导，得

[-]'=।"

和函数S(X)J(l7尸J(1(―1<X<I).

知识点解析：暂无解析

•_2

31、HzVn!

由于，二2%"2』？而

y=y——"=y―2—

N!4«T)!xx--1(n-,)!故只要消去系

标准答案:

数中的因子n便可以使用ex的展开式求和.索级数的收敛域为(-8,+oo).和函

5(x)=^1—A律(x).

数占MM.I(«-O!把g(x)的鼎级数表达式作逐项

「屋，)出=£/乙%

'山=y7一~17T尸=神”・

积分，可得(n-1(n-,)!所以g(x)

=(xex),=(14-x)ex>S(x)=xg(x)=(x+x2)ex(一sVxV+oo).

知识点解析：暂无解析

y(-1)、2«

4n(2〃+I)

32、

(-1)"*

标准答案：利用逐项求寻两次去掉幕级数的通项"(2。♦I)的分母n(2n+l),化为

V—

几何级数求和函数.计算可得募级数总"(2〃+1)的收敛半径R=],收敛域是[一

(-l)"x

1,1],设其和函数为S(x),则S(x)=W几(2〃+1),-1<x<1,且s(0)=0.为便

于利用逐项求导去掉累级数通项的分母n(2n+l)化为几何级数求和，可引入幕级数

yI"

.4〃(2n+1),这个幕级数的收敛半径也是R=l,收敛域也是[一1,1|,设其和

y(-W

函数为S(x),则S](x)=£iM2<♦l)=xS(x),-1<X<1,且S1(O)=S'|(O)=O.在开

・■

yy

区间(一1,1)内逐项求导两次可得S”](X)=2方(一IpynT_2X总(一x2)nT二一

2x2t

逐项积分就有S、(x)=Ms”i(t)dt=-H]♦产出—ma+x2),-1<X<1,

SKxjMo'S5i(t)dt=_foxln(1+t2)dt=-xln(l+x2)+Joxtdln(l+t2)=-xln(l+x2)+2fox)+」

£(7)

2\n(In♦1)

dt=2x-2arctanx-xln(l+x),一1<x<1.由于/级数""在x=±l都

收敛，且函数2x—2arctanx—xln(l+x)在x=±l都连续，故和函数Si(x)=2x-

2arctanx—xln(l+x)分别在x-I与x=l处也成立.由此即得

0,x=0.

=2,

2-------arctanx-ln(]+X),0<•r|I.

知识点解析：暂无解析

33、n2»2nR-1

..n2-1

£