考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷10

考研数学一(一元函数微分学)模拟试

卷10

一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

1、设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=l,f(l)=0,则在(0,1)内至少

存在一点。使()

Af⑷T

A、c

/(◎=壁

B、s

D、绘)=嗯

标准答案：A

知识点解析：设F(x)=xf(x),则F(x)在［0,1］上满足罗尔定理的条件，故存在

f(6=一孥

乐(0，1)，使得(xf(x))rx=/0，即自「+f(9=0,有9所以选A.

2、f(x)=xex的x阶麦克劳林公式为

_1_2_1_王1..,1Hj+o<8Vl

Z-TJC十/十1+

A、(n-D!(n-t-D!十

一I+产("+1+改)产】.0VJV1

•十N十并十十(1)『(n+D!I

B、

ll+•1+京+…++♦(“*)-,0V夕V1

C、(n-D!zi!

,+：+叱州案普产,0vevi

)1+彳+TT+**'

D、乙！n!(〃十D!

标准答案：B

知识点解析：因为f(x尸xeX,f(0)=0,f(x)=ex(l+x),f(0)=l,W(x点解n+x),

f^n)(0)=n,f<n+I)(x)=ex(n+l+x),f^n+1)(9x)=e0x(n+1+0x),依次代入到泰勒公式，即得

B.

3、若f(x)在xo点可导，则If(x)I在xo点()

A、必可导

B、连续，但不一定可导

C、一定不可导

D、不连续

标准答案：B

知识点解析：函数f(x)=x在x=0处可导，但If(x)1=1x1在x=0处不可导，排除

A函数f(x)=x2在x=0处可导，If(x)I=IX2|在x=0处也可导，排除C,D.

4、在区间［0,8］内，对函数/("=加T,罗尔定理()

A、不成立

B、成立，并且P(2)=0

C、成立，并且「(4)=0

D、成立,并且f(8尸0

标准答案：C

知识点解析:因为f(x)在［0,8］上连续，在(0,8)内可导，且f(0)=f(8),故f(x)在

、8—2x_八

j(X)-a.A—0

|0,8］上满足罗尔定理条件.令3/(8zT)2得f(4尸0,即定理中&可

以取为4.

5、给出如下5个命题：(1)若不恒为常数的函数f(x)在(一8,+8)内有定义，且

x(#0是f(x)的极大值点，则一X0必是一f(一X)的极大值点；(2)设函数f(x)在［a,

fG)-f(a)

+8)上连续，尸(x)在(a,+8)内存在且大于零，则F［x尸x-a在⑶+8)内单

调增加；⑶若函数f(x)对一切x都满足xfXx)+3x［f(x)］2=l一e-x,且r(xo)=O,

xo,O,则f(x0)是f(x)的极大值；(4)设函数y二y(x)由方程2y3一2y2+2xy—x2=l所确

定，则y=y(x)的驻点必定是它的极小值点；(5)设函数f(x)=xex,则它的n阶导数

M)(x)在点xo=一(n+1)处取得极小值.正确命题的个数为()

A、2

B、3

C、4

D、5

标准答案：B

知识点解析：对上述5个命题一一论证.对于(1),只要注意到：若f(x)在点xo取

到极大值，则一f(x)必在点xo处取到极小值，故该结论错误；对于(2),对任意x>

a,由拉格朗日中值定理知，存在眄a,x)使f(x)-f(a尸G878=「(9(x-a),则

山、一1(八〃二一/(叫八力一/(取

卜3=7=^1"口一X-U)~x-a.由r(x)>0知，「(x)在(a,

+oo)内单调增加,因此，对任意的x与备ayvx,有r(x)>「@,从而由上式得

F'(x)>0,所以函数F(x)在(a,+00)内单调增加，该结论正确；对于(3),因

f(xo)=O,故所给定的方程为劭劭，显然，不论x()>0,还是xoVO,都有

r,(xo)>O,于是由r(xo)=O与P(xo)>O得f(xo)是f(x)的极小值，故该结论错误；

对于(4),对给定的方程两边求导，得3y2y-2yy-xy，+xy，—x=0,①再求导，得

(3y2-2y+z)y,,+(6y-2)(y,)2+2y,=l.②令y=0,则由式①得y=x,再将此代入

原方程有2x3—x?=l,从而得y—丫a)的唯一驻点》0=1,因xo=l时yo=l,把它们

代入式②得y"I(1,1)>。，所以唯一驻点xo=l是y=y(x)的极小值点，该结论正

确；对于(5),因为是求n阶导数苻&)的极值问题，故考虑函数f(x尸xex的n+1阶

导数f(n+1)(x),由高阶导数的莱布尼茨公式得f(n)(x)=x(ex)(n)+x(ex)(n-1)=(x+n)ex,

f(n+1)(x)=[x+(n+l)]ex：^n+2)(x)=[x+(n+2)]ex.令*'%)=0,得苻)(x)的唯一驻点

<n+2)(n+,)

x0=-(n+1)：又因f(xo)=e->O,故点xo=—(n+1)是n阶导数津(x)的极小

值点，且其极小值为曾)(x)=—/n+i),该结论正确.故正确命题一共3个，答案选

择B.

6、若f(x)在开区间(a,b)内可导，且X],X2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点

。使下列诸式中成立的是

A、f(X2)~*f(xi)=(xi—X2)f(5),眄a,b)

f(xi)-f(X2)=(X|-X2)f(5)，[在XI，X2之间

C、f(X])—f(x2)=(X2-xi)f(^),XI<42

D、f(X2)一f(X])=(X2一xi)r(4)，X1<42

标准答案：B

知识点解析：由拉格朗三中值定理易知A,C错，B正确，又因未知xi与X2的大

小关，知D不正确.

二、解答题(本题共36题，每题1.0分，共36分。)

7、若函数(p(x)及w(x)是n阶可微的，且(p(k)(xo)=v、k)(xo),k=0,1,2,n-I,

又X>XO时，W(n)(x)>x|/n)(x).试证：当X>X0时，(p(x)>\|/(x).

标准答案：令U(n/)(x)=(p(n-l)(x)—W(n/)(x).在［x0,x］上用微分中值定理得U»D(x)

-u)n-1(X0)=u(n)(5(x-X0)，xoyvx.又由u(n)(&)>0可知u"D(x)—u»D(xo)>0,

且U(n-l)(xo)=O,所以u(『D(x)>0,即当x>xo时,*l)(x)>产)(x).同理110b

，

2)(x)=(p(n-2)(x)—wS2)(x)>0.归纳有U»3)(x)>0,…，U(X)>O,U(X)>0.于是,

当X>XO时，(p(x)>w(x).

知识点解析：暂无解析

计可：入%与

8、

cosx

“一驾『'二『?『dr

oz+｛心—x2Joasinz-f-acos/Josin_r+cosz

；(-dr)=7--兽&•

sin/+costJosiaz+cosx

则2/=/一誓一「萼

Jo3inz4-cosxJosinx+COST

标准答案:T

知识点解析：哲尢解析

(JlnG+4T7)+53

9、Jyr+p:*

标准答案：

因为cin(1+yrr?)+5]=」、

x/TT7r

价以[•Jln(z++U

=|[ln(x+J\+工，)+5]+d[ln(x+J\+J?)+5]

Jyrr?

="[ln<x+N/TT?)+5止+C

o

知识点解析：暂无解析

fl±21ar.

10、Jxlnx，

f14".21nJdx=[n土伸可-=f-yl-dC^Inx)=In|x:lnx|+C

标准答案.Jn1nxJzluJxHaz

知识点》析：暂无解析

f--±2

11、Jz(14-xxeO

标准答案：因为(x%xy=(x2+2x)eX,

所以I=f驾号卢=\

Jx(l4-xe)Jjre(l+ze)Jx*ex(l+xe^)

=J(为一京9A(")=In启三+C

知识点解析：暂无解析

12、卜VF耳也

标准答案：

因为lim(l-x)i；//耳=々且*V1,所以］丁科寻ix收敛.

于是J?华拉=〕:甘等"

亡『皿!土幽・m疝=『(sin"sin")出

JocostJ0

=sin1rdf+9sin$tdz==v54~A*

JoJo4ZZu3lolu

知识点解析：暂无解析

13设/(工)连续，且口/(2工一八市=iarctanxS/(l)=1,求1/Q)dx.

标准答案：

(2x-u)/(«)(—du)

2x

=广(2x—u)/(w)du=2工0f(“)d”一广M/(u)du

得2r—w/(u)du=/打池寸，等式两边对x求导得

2『/(u)d“+2x[2/(2x)-/(x)]-4x/(2x)+X/(J:)=整理得

20/<M)du—x/(x)=］；工”

取z=1得2。(口)九一/⑴=寺•故J，外业=毋・

知识点解析：暂无解析

计算「8inx—dxCa>1).

J。y/1—2acosx4-a:

计算「------az(a>1).

]4、Jo八一2acosx+

f"sinx也__1_f,d(l-2acosx+a」)

yi-2acosx+a2a-*02-2acosx+a2

>=-*J\-2acosar4-a:I=-[(a4-1)—(a—1)]=­.

标准答案：。I。。。

知识点解析：暂无解析

15、若f(x)在a,b］上二阶可微，且r'(x)>0,则f(x)为［a,b］上的凹函数;

标准答案:

对Vx,z<>6—有

r2

/(x)=/(x0)4-/(Xc)(x—x<l)4--1-/(^(x))(x—Xo)>/(%)+/(工0)(工一工0),

在上式中分别取工=4,z=々U。=*产•得到

/GO>/（中）+，（中）,一中卜

/但)>/(中)+/(中)5-中

上述两式相加即得证.

知识点解析：暂无解析

16、若f(x)为⑶b]上的有界凹函数，则下列结论成立：①V九40,1],f(入xi+(l

~X)x2)<%f(xi)+(l—*X)f(x2)»xi，X2G[a,b]；②

+/2+…+zn\/f(1i)+/(生)+…+f(工D

n尸H,③

HR"

,A,e[0,1],£入=i，ne[a,b]=>f(X九乙)&(今)

W.-I.-I④.f(x)为(a.h)I-

的连续函数.

标准答案：先证(i).由⑴有f(x)Nf(xo)+r(xo)(x—xo),分别取x=xi，x=X2，

xo=Xxi+(l一九)X2，得至I]f(xi)>f(xo)+(l-X)f(xo)(xi-X2)，①

f(X2)>f(xo)+Xf(XO)(X2—X|),②入x①+(1—九)X②得Xf(x1)+(1—

S—5)-〃Zg)，其中%，=1.

MRx2)>f(X0)=fi(Xx<i/sub>+(l-X)x2),得证.⑴可写成iim由归纳

A,=-»i=lr*«,n,(；v)Wrf.rflAl

法即可得证(iii).这里略去.(iii)中令n即得证(ii).再证、八〜二L«，“」.设G为lfix)l的

上界,取绝对值充分小的6.m〈n.使得xlx2j..xm=x+n6.xm+l=...=xn=x.

/(为+矽,…+二)&-)+・♦・+△*■)

n

/（座+•+Gi-m）z）=/G+M）〈m/G+城）+G—m）/（n）

即有£9+回匕>/g+而）―/殳），用一6代替心同时由

nm

f（匾述+得逋）&Gr+k）+人工一同］

加/（3+靖）一/（工）N/(/+M)—>，(工)—f(工—>f(H)-f(工一、)

m1mln

取m=1,有/一/（力）+冷一/G）》以1二g.

nn

令8f0,则〃f8,故有/（N+6）­/（x）f0,从而证明了/（N）的连续性.

知识点解析：暂无解析

〜(1.0<x<l-

设f(liur)=<，求/(x).

17、(xtx>1

标准答案：

令lnr=C,则/(力=当f&O时JQ)=t+G;当，>0时,f(D=d+G.

ld,f>0

显然/（O为连续函数，所以/U）也连续，于是有

x+l+C,x<0,

G1+&,故/(公

e*+C,x>0.

知识点解析：暂无解析

18、计算xV^lnxd-Inx)

标准答案:

d(lnx)

xv^lnjrd-laz)VlnxG-loz)

2arcsin7^|:

'3475.

知识点解析：暂无解析

。〜由，求

⑼设,⑺=jJ/(x)cosxdx.

/(x)cosj-dr=I/(x)d(sinx)=/(x)sinx—If(x)sirLrdr

0J0oJo

e^sinjdr=ef：=£

标准答案：

知识点解析：暂无解析

lim□工”+7"cLr

20、J。—b

标准答案：

令f(X)=lim7d+产，当0。41时Jim占・+^・=z,当1V*42时，

lim%*+产=x2,则flimvCr"+x:"clr=xdx+Pxx(lr=y4-Y~V-

J0L8JI400

知识点解析：暂无解析

设f(工)连续,口/(1-Dck=1—cosx,^j^/(x)(Lr.

=|(X—M/(u)du

(j：—u)/(«)(—du))

-Ju/(u)du.

得zjf(.u)du—ju/(u)du=1

二、公“,两边求导得j/(“)du=sinx,令z=£得［/(x)dx=L

标准答案：J。/Jo

知识点解析：暂无解析

Icos/I

22、设S(x)=J。

标准答案：

知识点解析：暂无解析

23、设f(x)在［a,b］上连续，al2V…n

标准答案：因为f(x)在［a,b］上连续，所以mWf(x)WM,其中m,M分别为f(x)在

［a,b］上的最小值和最大

值.

m<f")&M,①

m</(x2)<M,②

•••:

以工。&M,@

①+②+…+@=>nm</(X1)+/(j)+~+

故m4,3)+/吗-1/+・)&M.由介值定理可得£6［。力］,使得

/(©=/但)+3+/(二)

知识点解析：暂无解析

24、设f(x)在闭区间［一1,1］上具有三阶连续导数，且f(-1)=0,f(l)=l,

f(0)=0.证明：在［・1,I］内存在。使得f’'@=3.

标准答案:

f(x)——x())4-/*(xo)(z—a^)2+春广(献(工一与户,

4<5•

取Zo=0,工=】代入，

2r3

./(I)=/(0)+-1/(0)(l-0)+-i-/(7l)(l-0),71c(Oj).①

取工0=0,x=-1代入，

f(—D=/(O)-i-y/*(O)(-1—O)2+卷，(依)(一1—0)\依6(―1»0).②

0)-^=八1)一八-1)=春［/(力)+/*(恰)］=1-0.③

因为/*(x)在［-1,1］上连续，则存在m和M,使得

V“£［一1」］,"r(力WM,

m4「(T)&M=>m4_!■［/*(小)+/*(浜)］&M,④

③代入④而m43&M,由介值定理，存在E€［-1,1工使得广(0=3.

知识点解析：暂无解析

设f(x)在［0,+8)上连续，非负，且以T为周期，证明：

「/Q)&f/(x)<Lr

lim-------―.

4—X1

25、设f(x)在［0,+8)上连续，非负，且以T为周期，证明：

「/Q)&f/(x)<Lr

limJ-=包不一.

标准答案：对充分大的x,存在自然数n,使得nTSxV(n+l)T,

r-Tt*r(w*nT

因为八z)2o,所以J。/(z)dz<J/(nd/<Jc/(，)&,

即市《「，(八出《("+1)"/(八也，由,《工<4,得

JoJ0J0171十1)/Xfll

〃「1a)市「,(力山(”+D「fa)山

Jo_____WJo_____々______Jo______

(n+l)T.-x-&nT'

〃1/•(«)&(fi+D「fa)dt「fG)ck

注意到当zf+8时E-+8,且lim/—不〒=lim------*-----="■——，

Ie(〃+DilbniT

1/⑴&fr/(x)dx

由夹逼定理得limL-----=回斤一.

1+8X1

知识点解析：暂无解析

26、在(a,b)内，g(x)#)；

标准答案：设cE(a,b),g(c)=O.由g=g(c)=g(b)=O,g(x)在［a,c］,［c,b］上两次

运用罗尔定理可得g'(1l)=g'&)=0,其中c),12［c,b),对g<x)在3］

上运用罗尔定理,可得g"&)=0.因已知g"(x)#),故g(c)#O.

知识点解析：暂无解析

〃)=f(11)+f(工z)+…+f(二)

27、在(a,b)内至少存在一点。使八夕一一n

标准答案：F(x尸f(x)g，(x)—f(x)g(x)在［a,b］上运用罗尔定理，F(a)=O,F(b)=O.故

使黑=焉

知识点解析：暂无解析

28、在区间［0,a］上I『(x)IWM,且f(x)在(0,a)内取得极大值.求证：If(0)I

+If(a)}<Ma.

标准答案：f(x)在(0,a)内取得极大值,不妨设P(c尸0,P(x)在［0,c］与［c,a］之间

分别使用拉格朗日中值定理,F(c)—f(0尸c『(4)，36(0,c),f(a)-f(c)=(a-

c)V\Q,眄c,a),所以f(0)I+If(a)I=cI广©)I+(a-c)I产&)I<cM+(a-

c)M=aM.

知识点解析：暂无解析

29、设f(x)在闭区间［1,2］上可导，证明：g(0g⑷,使f⑵一2f(1)=孑@一

f©・

标准答案：把所证等式&改为X,得

x/(x)-/(x)=/(2)-2/(1),

两边同除以豆〉季"4戏=八2)；空!).得

(钞=(--%⑵

令FCr)=(7二2£(1)1(工)在口,2］上连续,(1,2)内可导，且

F(2)=F(l)=/(2)-f(l).

由罗尔定理，(1,2),便尸(0=0,即

/(2)-2/(1)=-/(©.

知识点解析：暂无解析

设。・=’tanhdr(口>2),证明：方」e<%<寸_^.

30、J。2(n+l)2(n-1)

标准答案:

=](14-tan2x)tan-xdz=[*tan*xd(tartr)=―rtan1rH1=—?—,

J。Jon-f-1I。n+I

同理%+j=不匕.因为tan—tanFz在[o,£]上连续.tanZ>tan-2«r,且tan"r,

tan"%不恒等，所以J：tan&clr>J：tanEjrdx,即Q.>一?,

于是*i=4+="V2、即a.>而%，同理可证4vmF.

知识点解析：暂无解析

31、设f(x)有界，且r(x)连续,对任意的旌(-8,+8)有If(x)+r(x)I01.证

明：lf(x)ls.

标准答案:令(p(x)=exf(x),则(p,(x)=ex[f(x)+f(x)],由If(x)+f(x)I01得I

「/(x)dx

优(x)I<ex,又由f(x)有界得(p(—8)=0,则(p(x)=<p(x)—<p(—8)=J-B

丫I八工)*[।夕'(])|dr&fexdx=ex

两边取绝对值得I=，所以|f(X)|

<1.

媪识点解析：暂无解析

32、设f(x)在(一co,+8)上有定义，且对任意的x,yW(—8,+8)有If(x)—f(y)I

十n|f/(])业—(。一。)/(。)|4](6—

<Ix—yI.证明：।2

标准答案：因为(b-a)f(a)=

所以(工)业一(6—a)/Q)|=||~f(a)]dz<JI/(x)—/(a)|dr

知识点解析：暂无解析

33、设f(x)在[0,1]上连续,且0VmSf(x)SM,对任意的x€[0,1],证明:

(£信川》工杜)《廿.

标准答案：因为0<mSf(x)SM,所以f(x)—m20,f(x)—M<0,从而

—M)Mm

/(x)&0,于是八/+7u)&M+m,两边积分得

/(x)dr+Mm[i

dr&M+m,

。Jo7(^)

因为「/(z)dx+

司志业》之J恤“⑺城金/(x)

所以2小,回:于是(工人力业)(£志业)《当梦

知识点解析：暂无解析

「zf(z)dr》经吆

34、设f(x)在⑶b]上连续且单调增加，证明：J-2./(x)dx.

标准答案：

令中Q)=卜一心)[2)一，(审力

因为f(x)在上单调增加，所以j2(z)业20,

而j中(j：)dx=J1一号)”一(审)拄

=11_审)八幻"_不岑)[(]_华)业=[(”一号)人力业

=Jx/(x)(Lr—/(x)dx>

故(z)dx>号[fG)dz

知识点解析：暂无解析

35、设f(x)在(0,+8)内连续且单调减少.证明:

^7(x)dx<g/a)</(I)4-j>(x)dx.

标准答案：

J/(z)dLr=/(z)dj：+J^/(x)dx+4-J/(x)dx»

当z6[1,2]时JGr)<f(l),两边积分得ff(i)dz</(D..

同理j；/(z)dx《f(2)，…J：'fQ)dx&/(〃)，相加得"&S/S)；

当[1,2]时,/(2)4/(工)，两边积分得/<2)<j'/(x)dx,.

同理/(3)<17(x)dx,-./(nX1^/<x)dx,

相加得/(2)+…+f(n)&]/(工)业,于是火/W&/(I)4-j，'/(x)dx.

知识点解析：暂无解析'

36、设f(x)在⑶b］上连续且单调减少.证明：当OVkVl时,

f/(z)dx2k/(x)dz.

JoJo

标准答案：

j/(x)dr—^/(x)dLr=J/(x)dx-A^/(x)dx-+-1^/(x)djrj

=(1-4)17(x)dx-*£/(x)dx=Ml-«£/(&)=/(&)，

其中&e[0/1，&W0,11.因为OVAVI且/G)单网减少，

所以1/(工)如-4]：/(公&=A(1一幻[八&)一/(&)1》0,故[/(])&》｛/(工)业・

知识点解析：暂无解析

37、设r(x)在［0,1］上连续且|F(x)IWM.证明:

标准答案：

=八幻必一9(划+1八力"—:/©)］+…+口/8必-7/(7)］

s*|J；/(x)ar-l/(l)|-|J；［八力一/田同

vf|人公