线性代数课后习题答案全习题详解

线性代数课后习题答案全习题详解

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第一章行列式

1•利用对角线法则计算下列三阶行列式:

201abc111xy3+y

(1)1-4-1(2)bca；(3)abc;(4)yx+yx

-183caba2b2c2x+yxy

解(1)

201

1-4-1=2x(^)x3+Ox(-1)x(-1)+1x1x8-Ox1x3-2x(-1)x8-1x(-4)x(-l)

-183

=—24+8+16—4=-4

abc

(2)bca=acb4-bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-ay-b3-c3

cab

II1

(3)abc=be1+ca2+ab1-ac2-ha2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a)

a2b2c2

x+y

33

(4)yx+yx=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y-(x+yf-x

yxy

=3xy(x+y)-y3-3x2y-3y2x-x3-y3-x3

=-2(X3+/)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:

(1)1234；(2)4132；

(3)3421；(4)2413；

(5)13…(2n-1)24…(2〃)；

(6)13…(2/?—1)(In)(2〃-2)2.

解(1)逆序数为0

(2)逆序数为4:41,43,42,32

(3)逆序数为5:32,31,42,41,21

(4)逆序数为3：21,41,43

(5)逆序数为:

32个

554个

72,7476个

2,

246

(6):序数为嬴-1)

321个

52,542个

2

2,4,6,…，个

421个

62,642个

2,4,6,…，个

3.写出四阶行列式中含有因子为生3的项.

解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数.

由于已固定，只能形如□口，即1324或1342.对应的分别为

0+0+1+0=1或0+0+0+2=2

••一〃23432a44木口^11^23^34^42

4.计算下列各行列式:

41

-abacae

12

(1)(3)bd-cdde(4)

105

bfcf-ef

01

10

-1b1

0-1c

00-1

解

4

9-110

=122x(-l严二i2-2

-14

O103-1410314

0

10

-2=0

14

2141214021402140

3-1213-1223-122ff3-12J0

⑵c、4-Q4-]=0

1232123012301230

506250622140000()

-abacae-bce-111

⑶

bd-cdde=adfb-ce-adfbce1-11二4abedef

bfcf—efbc-e11-1

6/1000\+aba0

1+aba0

-1b10-1b10

2+，

(4)/-v-«彳=(-l)(-l)-1c1

0-1c10-1<?1

0—1cl

00-100-\d

3

I+ahaad

c34-dc21+abad

2-1c]+cd=(T)(T产=abed+ab+cd+ad+1

-11+cd

0-10

abb2

5.证明:⑴2aa+b2b=(a-h)3;

11

ax+byay+bzaz+bxxyz

⑵ay+bzaz+bxax+by=(cJ+b')yzX

az+bxax+byay+bzzXy

。一3+1)2(a+2)29+3)2

b23+1)23+2)；(KT

⑶=0;

c~(c+1)2(c+2)：(c+3)2

d23+1)2("2)3+3)2

111

abd

(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(p-d)•(c-d)(a+b+c+d);

a2b2d2

a4b4d4

X-1000

0x00

⑸=xn+a/J+…++a”.

000x-1

a

nn-2a2x+q

证明

erab-ab2-u2

ab-a2h2-a2b+a

(1)左边2ab-a2b-2a=(一1产=(b-a)(b-a)

b-a2b-2a2

100

=(4_/?)'=右边

xay-ibzaz+bxay+bzaz4-bx

⑵左边按日:列ay

yaz+bxax+by+bzaz+bxax+by

分开

zax+byay+bz.Vax+byay+bz

Xay-vbzZzaz+b.xxyzyzx

分别再分J^^3

ayaz+bx.V+0+0+bzXax+byyzxzxy

zax+byxyay+bzzxyxyz

xyzxyz

y

yzX+b)'ZX(-1)2二右边

zxyZX.V

aa2+(2a+1)(a+2)(a+3)22〃+l4a+46〃+9

222C

bb1+(2b+\)3+2)S+3)C2一\b22b+T48+46b+9

(3)左边=

cc2+(2c+\)(c+2>(c+3)；c22c+l4c+46c+9

22

dJ2+(2r/+l)(d+2)3+3)d22d+l4d+46d+9

4

a4a+46a+9a21Aa+46a+9

按第二列Mb4"46Z?+9b214b+46b+9

4.

分成二项卜2

c4c+46c+9c214c,+46c+9

d4d+46d+9d~14d+46d+9

第一项。3-色a2a49a214a6a

b2b49b114b6b八

第二项c2c49c2I4c6c

d2J49d214d6d

c4-9C2

I()0()」

,b-ac-aa-a

(4)左边=2；■ac-aa-a，，,2

、,,a=b--a~c--a~d-a

a~b~-

444,44b-(b--a-)c-(c--cr)d-(d--a-)

a4b4--ac-aa-a

111

-(b-ci)(c-a)(d-a)b+ac+ad+a

b2(b+a)c2(c+a)d2(d+a)

100

-(b-a)(c-a)(d-a)xb+ac-bd-b

b2(b+a)c2(c+a)—h2(b+a)d2(d+a)—b2(h+a)

=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)x

11

(c2+bc+b2)+a(c+b)(d2+bd+b2)+a(d+b)

-(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)

(5)用数学归纳法证明

当〃=2时,£＞、=X1=/+〃x+9,命题成立.

z

a2x+a

假设对于阶行列式命题成立，即

0,1二+4/”一2十…+an_2x+。J,

则按第1列展开：

-10­••00

r—1・・.f)f)

Dn=xQ”-l+4(-1)/=xDn-\+4=右边

••••••••••・••••

11…x-1

所以，对于阶行列式命题成立.

6.设阶行列式，把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得

〃(〃一1)

证明(一

D}=D2=1)'D,D3=D.

证明vD=det(a,7)

5

,■,in

即•

nl*%

£））=：：=(-irnn（T尸㈠尸

a”…4“

a2n

Inn(n-l)

=（_］尸（_尸…（7）：=(_l)l+2-)+S-l)o=(_[)2D

an\

n(n-\)人.n\n(n-l)小〃T)

同理可证=(-1)h二（一1）丁DT=（一1）丁D

a\n*ann

n(n-\)

D.=(-1)2D2=(-D2(-1)2O=(_1)-O=O

7.计算下列各行列式O:

（1）,其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；

xa

⑵2=ax

x

⑶提示:利用范德蒙德行列式的结果.

%b“

0

⑷2”=00

G

0

4

⑸=(^4),其中%=>-力

1+41…1

11+a2…1

⑹6=，其中…工0.

11…l+a〃

解

a00…01

0a0…00

00…00

⑴D.=Cl

000…a0

100…0a

6

00001

a0000a

按最后一行展开,八〃T

'（T）0000+(-l)2/,-a

(zj-D(n-l)

000a0(n-l)x(it-l)

（再按第一行展开）

=(-ir+,.(-ir+a"-2二优，-2（〃2_］）

(w-2)(n-2)

⑵将第一行乘分别加到其余各行，得

Xaa…a

a-xx-a0…0

D-a-x0x-a…0

♦..••♦••♦.....

a-x000x-a

再将各列都加到第一列上，得

x+(?2-])aaa■­•a

0x-a0…0

5=00x-a…0=[x+(〃-l)a](x-〃产

0000x-a

（3）从第行开始，第行经过次相邻对换,换到第1行，第行经次对换换到第2行…,

经次行交换，得

11…1

n(«+i)aa-1…a-n

。，川二(-1)=.....••••••

4(。一i产•••(a-n)n~l

an(«-If…(a-n)n

此行列式为范德蒙德行列式

n(n+!)

。川=(-1尸+

n+\>i>j>i

n(n+I)n(n+O

=(-D2n・(i一川=(7)2•(-l)rt+(n-，)++，<口[("/]

H+1^I>拉IjNl

=n（i）

-I必矣i

7

oh"

qA

(4)D2n=0

o<

明

70%°067n-l°bn-\

a.h..00b]0

按第一行0110；

展开““G4+(T)4Cid\

cn।0dn.0G】-ldn-\

0…0dncn00

都按最后一行展开aftdftD2tl_2-btlcfiD2n_2

由此得递推公式：

%=（凡4一姐）％.2

即D2n=n(44-4a)02

汩2

a

八\a,,

而2=；,=%d「b£

c\a\

得以=ri(《4-3)

1=1

⑸%=|"7|

0123…n-i-I111•••1

1012…n-2-1-111…1

2101…n-3rr-1-1-11…1

D“=det(%)=\~i

3210…〃一4—3,…-1-1-1-1…1

n-\n-2n-3H-4…0n-1n-2n-3〃-4…0

10000

-1-200…0

c+C1,c4-C-1-2-20…0

23]=(-l),,_,(/7-l)2n-2

q+G，…-1-2-2-2…0

・・・・・・•・・・・・•••・・・

n-12〃-32〃-427?-5…n-1

8

400…001

-da,0…001

i+a1…1

0-a3JaD.…001

⑹。-[+%…]C[--2，-2一。3

00-a-001

••••

....................C,—C.,9•••

34♦・♦♦・♦・♦・・♦・♦•♦♦・♦•♦•

11…1+a

n1

000…-Qza-

000…0~an1+Cln

q00…000

a

-2ci20…000

0-aCl…000

按取后一列/一、/、313x

100-a.…000

展开（由F往上）I丁丁"人“得2…4-1J-4

♦••♦•・••••♦••••♦・♦•・•

000…~an-24.20

000…00-an

q00…00-a2a20•••00

-a2a20•••000-%%.••00

0—qa.…0000-a,•••00

+JJ+一•+4

•••••••••••••••••

000…-an.a„,000•••一%4

0000-an000•••0―

二(1+%)(4%…j)+q生…—々i”+…+a2生…凡

〃1

S…%)(.7)

8.用克莱姆法则解下列方程组:

5x)+6A2

+x24-+x4=5,

X)+5X+6X=0,

占+2々-七+4匕二-2,23

(IK(2)x2+5X3+6X4=0,

2芯—3x,-—5X4=-2,

3x1+x2+2X3+11JI4=0;

1111I11111I1111

I2-1401-230I-23()1-23

解⑴。==-142

2-3-1-50-5-3-700-13800-1-54

312110-2-1800-514000142

511151111-5-1-91-5-1-9

-22-140509050901211

R=-2-3-1-5-2-3-1-50-13-3-230509

0121101211012110-13-3-23

9

1-1-91-5-1-9

0121101211

=-]42

()0-10-46()0-138

0023120000142

I515I115I15

1-240-7-230-132032

=-284

。2=2-2-1-50-12-3-700231100-1-19

302110284

51115

12-2412-1-2

=-426=142

A二2-3-2-52二2-3-1-2

310113120

1一~6一2,一万一3,

D%一~5

5600

5600

1560

1560

⑵D=056；按最后一行5。,一5力'一6力〃

展开0150

0015

006

0001

=5(5Dn-6Dm)-60"=190"-30ZT=65ZT-114DW,=65x19-114x5=665

（。为行列式。中斯的余子式，。"为。中《的余子式,。二。〃〃类推）

1600

000

0560

按第一列600

1=0156。'+64=19。阶一30〃"+64=1507

展开560

0015

156

1001

5100

16005000

1060560

按第二列05601600

4=0056156-5x63

展开01560560

0015015

00150156

0101I

=-65-1080=-1145

56

5005600

15160560

1601500

A=()14-056+6150

0560160

0005016

0150056

00

=19+6x114=703

10

56010

15605600

15600560

按第四列01501560

D.=()15()(:—=—5—6156=-395

展开0016015()

00106015

100050016

00015।

56001I

1560

1560C

按最后一列0156

&二015604-D=1+211=212

展开0015

0015C

0001

00011

Ar,+x2+x3=0

9.问4〃取何值时齐次线性方程组x,+4+占=0有非零解

X1+2JUX2+x3=0

解，齐次线性方程组有非零解，则

即〃—=0得〃=0或2=1

不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.

(1-2)X]-2X2+4X3=0

10.问源何值时,齐次线性方程组22+(3-团/+当=0有非零解

X1+x2+(1-2)X3=0

解

1-/1-241-2一3+44

D=23-2121-/11

111—/i101-/1

=(1—4)3+(4—3)—4(1—Z)—2(1—4)(—3—A)=(1—丸】+2(1—A)~+4—3

齐次线性方程组有非零解，则

得A=0,A=2或4=3

不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解

II

第二章矩阵及其运算

1已知线性变换

,=2凶+2%+%

体=3乂+必+5%

l&=3y+2y2+3为

求从变量X,X，X,到变量y，力y,的线性变换

由已知

2y

I5%

2yi）

\

y-7-49

故

%5x2=63-7y2

1MI32-4yj

乂=一7工厂4%+9天

y2=6x]+3x2-lx?>

%=35+2芯-4毛

已知两个线性变换

X=2y+%y=_34+Z2

居=_2y+3），2+2），3<%=2Z|+Z3

七=4乂+%+5%73=-22+3Z3

求从Z,ZiZj到XtXzXs的线性变换

解由已知

12

20Yy2004

32I32-23o1

z

-2415yA2-42150342

y2

AJ=-6Z|+Z2+3Z3

所以有X2=12Z1-4Z2+9Z3

^=-102)-22+1623

fl11T23]

3豪4=11-15=—1—24求3AB2A及AB

11-111。51J

(051322、

=30-5-1720

(2929-2)

23Az058

fl/

4-n06

1-220

u517\-95

4计算下列乘积

⑵(123)2

⑴

(3、

<(123)2(132231)(10)

⑴

(2}

(3)1(-12)

13

等而

*

(

翦翘萧国激5

(

A

(

2

a

3

二冰)冰

?

)