第3章 微分中值定理及其应用(二)

第3章微分中值定理及其应用(第二讲泰勒公式、函数极值等)

一.应用麦克劳林公式，按工乘赛展开函数/。)=(/-3%+1)3。

解：・・・/(x)是6次多项式，

.••阳=刷+州X+地2+幽3+/!«?A+幽6

八，八''''2!3!4!5!6!

计算出：/(0)=1,/,(0)=3(Y—3x+l)(2x-31i)=-9

/"(0)=60,/"(°)=-270,/(4)(0)=720,/(5)(0)=-1080,/(6)(0)=720

故/(x)=l-9x+30x2-45x3+30/-9x5+x6

二.当/=—1时，求函数,f(x)=1的〃阶泰勒公式。

fM=-=/，f\x)=-X-2

解:X

/⑴=(-1X-2)婷，…"⑻⑴=(―1丫k\x-^

==/"(-1)=-2：/(-1)=-3!,…,川-1)=-〃!

.=图於+…曰”4+上

=(_1)，用r("+2),(%+1)，川，(自在—1和1之间)

/3=L/(T)+F(-1卜+1)+^^+1)2+…(I+i)"+4(工)

x2!tv.

=_[1+(X+])+(X+1)2+.・.+(X+1)[+(_1)〃+胃-(〃+2)(%+1)，用

三.求函数/(X)=X。"的〃阶麦克劳林公式。

f(x)=xe\f\x)=ex[\+x)f(x)=ev(2+x)•••,/(A)(x)=ev(k+x)

/«=加=/(o)+f(o)x+g/(0*+•••+(〃”(o*+舟"包⑶

=0+l・X+'x2+・・・+J_〃・x〃+

7

2!M(72+1)!、

131

=X+XH2X+•••+7-------7~*[(〃+1)+4卜用

2!(〃+1)

J可表示为a(0<^<1)

八兀2.

一.当0<x<5时，证明—x<s\nx

乙71

"/、sinx，，/\xcosx-sinx

证：设/⑴=——，则/(尤)=-----2------------,

XX

设g(x)=xcosx-sinx,

则g(x)=cosx-xsinx—cosx=—xsinx.

当0<x<g时，g'(x)<0,故g(x)单调减少，

乙

g(o)=o,g(x)<g(0),即xcosx-sinx<0

所以/(X)<。在(仇7］上/(x)单调减少・

£兀2八兀(\(兀'

J—=—当°C时，/(')>/［为

兀

sinx22.

因此----->—即—x<sinx.

X7171

2

二、当x>4时，证用T>xo

解：设/(x)=xln2_21nx,/⑷=0,

，/、2In42Ine2

f(x)=In2——=------>-------=0

''x2x24

即当x>4时，/(%)>0,所以/(x)为单调增加

/(x)>/⑷=0xln2—21nx>。，

即InT>In%2•「Inx为增函数，，2">%2

三.试证方程$皿%二%仅有一个实根。

解：显然尤二°为方程/(M=x-sinx的一个根又

/(x)=1-cosx>0,xe(-oo,+oo)

・•・xe(-co,+co)时，/(%)单调增力口,・・./(x)=x—sinx

在(_oo,+o。)仅有一个零点.即方程sinx=x仅有一个实根

五.f(x)、g(龙)在［。,以上存在二阶导数且

g"(x)⑷=.fS)=g(a)=gS)=0,证明：(1)在(。,份内

g(x)w。。(2)(。］)内至少存在一点使得煞=簿。

O/c>/

分析:⑴要证g(X)在(久勿上非零，用反证法更方便,若不然，至少有一

个零点ce(。力)，则由g(x)的三个零点，可推出g(X)有2个零点，从

而g〃(x)有一个零点与已知矛盾.

(2)要证罪=，即证方程(x)g⑴-g"⑴/⑴=。有解，则

o1g/<5。)

取叫=1(/(x)g(x)—g"(x)/(x油

=/(x)g(x)-〕/(x)g(x)^-g(x)/(x)+Jf'(x)g'(x)dx

=/'a)g(x)-g(x)/(x)从而可以证明结论.

证明：(1)反证法:若不然，则在(。力)内至少有一点C,使得g(c)=o,

于是由已知g(x)在［〃/，卜㈤上均满足罗尔定理条件，

因此，必存在乙£(。力),使得8(幻=。送仔2)=。，

进一步知g(X)在区间LXz]上满足罗尔定理的条件，

因此，必存在自£(却曷)<=(4,。)使得#"0=。，

与已知g〃(x)wO矛盾。因此在3涉)上g(x)wO。

⑵设/G)=/'(x)g(x)—/(x)g(X),由已知，

在卜㈤上连续可导，尸(。)=/3)=。，满足罗尔定理的条件,

因此，至少存在一点4£(4力)使得尸怎)=。，

即：/”G)gG)-g"G)/G)=。,也即然=看鲁

六./'(X)>/(%),且/⑷=g(a),试证

(1)当工〉。时，/Q)>g(x)；

(2)当尤<4时,/(x)<g(x)o

分析：对于这种题显然用反证法

证明：(1)设当工〉。时/(X)<g(X),任意取一点不£(。，+8)

A/、1-/(芭)-/(。)小

由导数的定义知：f(6/)-―0—……(1)

1人]a

g'Mhlhn—⑷……⑵

司-axx-a

将⑴-⑵得：〃+g(a)=lim/(6f⑷-g&)+g⑷

因为当无〉〃时/(.Y)<g(x),「./a)<g(X1)且/S)=g(4)

-f(a)一g(xj+g(a)=[/(由)一g(%)]+[/(a)一g(a)]

与条件相矛盾所以假设不成立原命题成立即：

当X〉。时，/(x)>g(x)

(2)设当时/(x)Ng(x),任意取一点々e(一°0，。)由导数

f(〃)=11m/(々)―/(。)

的定义知:⑶

必以x2-a

g⑷=lim送匕胆……(4)

*、。x2—a

/(%2)-/(")—<?(%)+g(〃)

/(。)-g(。)=lim

将(3)-⑷得:

x2-a

因为当X〈〃时f(x)>g(x)y.\/(x2)>g(x2)

且7(a)=g(。)所以

/(X2)-/W-g(%2)+g(。)=[f(%2)-g(Z)]+[/(")-g(。)]

=[/(&)-g(xJ]+。》。

与条件相矛盾所以假设不成立原命题成立即：

当元＜。时，/(x)vg(x)

2

一、求函数y=2一(1—1尸的极值。

极大值：y(D=2

二.试证明：如果函数yuar+hV+cx+d

满足条件3ac<0,那末这函数没有极值。

证明：丁'=3公2+2"+*由条件〃-3QC<0,推出QWO,CWO,

了为二次三项式，A=(2〃>—4(3a)c=4(&2-3«c)<0

当〃>0时，y>0,xe(-oo,^),从而)，(x)为单调增加

当。<。时，y<。，XG(-OO,4W),从而y(x)为单调减少

故无论对怎样的。，乂尤)在(一双内)总是单调的，

y(x)在(一应内)无极值。

x+lA：<0

二、设小)="Y>0(1)讨论/⑺在光=。处的连续性。

(2)］取何值时/(x)取得极值。

解：⑴由连续的定义知：唾(1+1)=1

..Inx

hm——

x.()+J_

lim=lim文=e工

x—>0+x―>0+

1

Inxx1..八

lvim——=lim---------=——limx=0

+

D+1x->0/12X_0+

Hm华

x-0+J.

所以叫x'=e"

而/(°)=1.所以唾加)=Uf(x)=/(o)=l

人♦UJir\J

所以/(X)在X=O处连续

（2）设g（x）=x'（x>。）要使g（x）取得极值则必须使

xlnx在光〉。处取得极值.设/z（x）=xlnx,

则/2（x）=lnx+l,»（x）=l要使g（x）取得极值

J

则有〃（x）/2”（X）WO,而X>0所以〃（x）=:>。，

因此〃（x）=lnx+lWO,所以Inx4一1.\x<->所以当X等于一

ee

时，X”取得极值，由于（X+D'=1>O即为单调增函数所以只要X、

1，,/、

取得极值即可。所以当X等于二时/（X）取得极值。

三.利用函数的凹凸性，证明不等式

X4-V

xlnx+ylny>（x+y）ln----（x>0,>0）

解：设/⑺=5，，/（，）=ln，+l,/"（，）=；,对才£（0,田），

由/3=；>。知/"）是上凹的，

所以对任意£（0，+°0）（xwy）

x+y川）+/3

有了

22

即.xlnx+yiny>（x+y）ln

2

四.求函数x=/，y=3，+r的拐点。

.%3+3/3n)

褪.

yx~--=~~~/

解，xt2t2yt刀

3f_X1

“二3(二万「底+J_3(产—+

Ix；2t~4?~4,

当/=±1时，”.二°，又当，=0时，”不存在但注意到，=。时曲

线上的对应点(0,0)为边界点，因为曲线上的横坐标都大于等于0,所

以点(°，°)不能是拐点，故曲线上可能是拐点的点为，=1时的点(1,4)及

，=一1时的点。-4),经过验证二者都是拐点。

五问〃及〃为何值时，点(L3)为曲线丁="3+"2的拐点？

所.,I3a)

bb

令y=°o得/=一/，由于aw。，在工。=一福的领域内，

11b

y在乙的两侧变号，所以4=一/，这时对应的

(bV/bY2b3

vn=a-----+b--------=----------

2

要使。，3)为拐点，则

13解得:9

127/

六.设/（X）二阶可导，若吧一=1,/（0）=0，/"（幻＞0,

证明：fM＞xo

证明：由导数的定义：

lim国lim△正H叽11m迫心=八。）=1

5xx—0x'

应用麦克劳林公式将了（X）展开得：

f（x）=/（。）+f（®）x+,+Z?2（x）

因为"0）=0,/。）＞0/'（0）=1,

（2）设）（X）、g（X）互为反函数，f（x）=-/（-x）,且均在

（_8,+8）上存在二阶导数，于是（）。

A若（x）＞0,则xVO,ff（x）＜0；

B若&fn（x）＞0,则xVO,（x）＞0；

C若/"（*）＞0,则g"（X）＞0；

D若/"（X）＞a则/（*）＜0；

分析：依题意，/（X）为奇函数，图形关于原点对称，对称点处

曲线凸凹性相反，即二阶导数异号，因此A正确，故取A,而

/（X）、g（X）互为反函数的条件，函数曲线y=/（X）与

y=（p（尤）的凸性关系与其单调性相关，在不明确单调性情况下，无

法对C,D做判断