考研数学二（高等数学）模拟试卷15

考研数学二(高等数学)模拟试卷15

一、选择题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

1、f(x)=2x+3x-2,当x—O时().

A^f(x)〜x

B、f(x)是x的同阶但非等价的无穷小

C、f(x)是x的高阶无穷小

D、f(x)是x的低阶无穷小

标准答案：B

知识点解析：因为I工I工X/

=ln2+ln3=ln6,所以f(x)是x的同阶而非等价的无穷小，选(B)

2、设f(x)在(-8,+8)上有定义，xo/O为函数f(x)的极大值点，贝|J().

A、xo为f(x)的驻点

B、-xo为-f(-x)的极小值点

C、・xo为-f(x)的极小值点

D、对一切的x有f(x闫(xo)

标准答案：B

知识点解析：因为广f(・x)的图像与广f(x)的图像关于y轴对称，所以-xo为f(-x)的

极大值点，从而-xo为-f(-x)的极小值点，选(B)

3、矩形闸门宽口米，高h米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为().

A、pgfohahdh

pgJoaahdh

1

C、pgfoh2ahdh

D、2pgJo%hdh

标准答案：A

知识点解析：取[x,x+dx]U[0,h],dF=pgxxxa><d.K=pgaxdx,则

F=pgJollsxdx=pgJo,1ahdh,选(A)

二、填空题(本题共6题，每题L0分，共6分。)

2,+3,—ln(e2-f-x)

4、iarctanr=

标准答案：?

2,+3,-Ind+工)(*D+(3，-l)Tn(l+制

hm-------------------------=hm-------------------------------------------

iarctanxX-H)JL

=ln2+ln3一3=ln6-/・

知识点解析：

5、xy=yx,则『=.

jy2-jylnjy

标准答案：x2-xylnx

知识点解析：由x>'=yx,得ylnx-xlny,两边求导数得yHnx+工»解得

"一到1励

丫=12-xylnx

(2+-+

6、曲线y=G的斜渐近线为

标准答案：y=x+3

lim3=1,

(2+1)，一/

lim(y—x)=limlim(2+63T

/-too+ooGx，Ts£[(2+Z)，+，]

=lim<W^=lim«±4^=3

知识点解析：则斜

渐近线为y=x+3.

|x/sinG-sii/zdr

7、

标准答案：7i/2

知识点解析：

Jis/sin2x-sin,xdr=g(/sin2x-sin4idr=K：sin?z-sinGdlr

siarcosjrdLr=久siarcKsimr)=y

8、设z=z(x,y)由z+e"=xy2确定，则dz=

，dr+2jydy

标准答案：1+e*

知识点解析：z+e，=xy2两边求微分得d(z+e/尸d(xy，BPdz+ezdz=y2dx+2xydy,解

"dr+2aydy

得dz=1+e*

9、微分方程xy，-y[ln(xy)-l]=O的通解为.

标准答案：Cx

dudw_Aintt

知识点解析：令xy=u,y+xy，=业，代入原方程得心'*=0,分离变量得

du=dr

wlnux,积分得lnlnu=lnx+lnC,即Inu=Cx,原方程的通解为hi(xy)=Cx.

三、解答题(本题共〃题，每题1.0分，共“分。)

Jim(an+/r+cM)-

10、设OVaVbVc,求

标准答案：由cn<an+bn+cn<3cn»c<f^工"+“十c")+<3-C因为

lim3»=1lim(an+ff+c")«=c

…，所以L”

知识点解析：暂无解析

+taar—+sinx

lim

11、x(l-COST)

标准答案:

tarn-sinx___________1____________1

lim6土等二V中辿=lim

r-*0X(1-COSX).x(l—cosx)+tanx+/I+sior.2

知识点解析：暂无解析

lim-

i(『-1)也

12、确定常数a,c,使得「。其中c为非零常数.

lim尸4==礴中里=lim”害

标准答案：由洛必达法则，Jo故a=l,

c=l/2.

知识点解析•：暂无解析

13、设f(x)=J(JIx-yIsin石力儿求F(x).

标准答案:

/(X)=X—y|sin(①一3OsinT5dy+j(y-jOsinGdy

=x[sinGdy-J)ysinQdy+zjsin-/ydj—jysinGdy,

则f(%)=JsinQdy+[sinGdy,f(x)=2sinJx.

知识点解析：暂无解析

14、设函数f(x)和g(x)在区间［a,b］上连续,在区间(a,b)内可导，且f(a)=g(b)=O,

/(Odz

随+；——=0

gCOdi

g'(x)〈0,试证明存在乐(a,b)使

标准答案：令(p(x尸f(x»bg⑴dt+g(x)Hf(t)dt,(p(x)在区间[a,b]连续，在区间(a,b)

内可导，且(p'(x)=f(x)Jxbg(t)dt-f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g，(x)JaXf(t)dt]

=f(x)fxbg(t)dt+gXx)faXf(t)dt,因为(p(a尸(p(b)=O,所以由罗尔定理，存在乐(a,b)使

优©=0,即P(狄bg⑴di+g七)JaW(t)dt=0,由于g(b)=0及g，(x)v0,所以区间(a,b)

/⑺山

；-------=0

内必有g(x)>0,从而就有心必。出>0,于是有卜

知识点解析：暂无解析

设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=O,证明：

15、存在乐(a,b),使得P©=24熊)•

标准答案：令(p(x)=eff(x),因为f(a)=f(b)=O,所以(p(a)=(p(b)=O,由罗尔定理,

存在5(a,b),使得哂匕)=0,而(p，(x尸£”［f*(x)=2xf(x)］且£*£0,故

r©)=2&熊).

知识点解析：暂无解析

16、存在昨⑶b),使得请⑺+始尸。•

标准答案：令(p(x尸xf(x),因由f(a尸f(b)=0,所以(p(a尸(p(b)=0,由罗尔定理，存在

r)6(a,b),使得(p'(r|)=0,而(p'(x尸xf(x)+f(x),故nP(rj)+fS尸。・

知识点解析：暂无解析

sinx—cosx

17、sinr+2co&r

标准答案：令sinx-cosx=a(sinx+2cosx)+b(sinx+2cosx)，，则

a-2b=1«L解得a=T，6T,

2a-\-b——

Jsin.r十ZCOSJT5J5Jsmr十Zcoar

=-yx—?-lnIsinx+2coscr|+C.

知识点解析：暂无解析

J1+siJ+cos/1r

18、

-----!-----皿二^

2cos2-y+2sin-ycos-y1+tan-y

=J--------j*d(l+tan宏)=In1+tan+C.

标准答案："34

知识点解析：暂无解析

『TT也，求『毋/&

19、设f(x)=J。1+§而，Jo1+尸Cr)

标准答案：

f=f：rrfc)d/(x)=arctan/(jr)lo=arctan/(f)

因为/(£■)=[匚产匕dt=arctansinz]=多•，所以原式等于arctan手

\2/Jo1+sm"Io44

知识点解析：暂无解析

20、设f(x)在［a,b上连续，且f(x)>0,证明：存在乐(a,b),使得

芹f(x)dx=J/f(x)dx.

标准答案：令g(x尸Ja'f⑴dt-Jxbf(t)dt,因为f(x)在［a,b］上连续，且f(x)>0,所以

b

g(a)=-faf(t)dt<0,g(b)=hbf(t)dt>0由零点定理，存在年(a,b),使得g(9=。，即

芦f(x)dx=J9f(x)dx.

知识点解析：暂无解析

21、求由曲线y=4-x2与X轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体

积.

22

标准答案：取［x,x+dx］U［_2,2］,则dV=2?r(3-x)(/1-x2)dx,V=j.2dV=2n!.2(3-x)(4-

16

x2)dx=67tf.22(4-x2)dx=12zfo2(4-x2)dx=12nx3=64n

知识点解析：暂无解析

dz

22、设z=f(etsint,tant),求df

dz、

标准答案：Hr=el(sint+cost)]fi+f2sec2t

知识点解析：暂无解析

23、设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x件和y件，利润函数为L(x,

y)=6x-x2+16y-4y乙2(万元).已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料

2000kg,现有该原料12000kg,问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是

多少？

标准答案：根据题意，即求函数L(x,y)=6x-x2+16y-4y2—2在02+16y-4y2-2+X(x+y-

=6-2彳+2=0,

«F丫=16-8y+A=0,得z=9丁=圣

0o

6),由匕+'-6=0.，根据题意，x,y只能取正整

数,故(x,y)的可能取值为L(4,2)=22,L(3,3)=19,L(3,2)=23,故当x=3,y=2

时利润最大，最大利润为23万元.

知识点解析：暂无解析

24、把!f(x,

y)dxdy写成极坐标的累次积分,其中D={(x,y)I0<x<l,0<y<x).

标准答案：D={(r,0)I0<0<4,0<i<sec9},则

JJfCr,y)drdy=J*回。rf(rcos0,rsin0)dr.

知识点解析：暂无解析

25、求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解.

力一工

标准答案：由(y-x3)dx-2xdy=0,得"2/2