苏教版七年级数学上册《实际问题与一元一次方程》全章复习与巩固（基础+提高）巩固练习+知识讲解

【巩固练习】

一、选择题

1.（2015•深圳）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（）元.

A.140B.120C.160D.100

2.凯达公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10%,则第一季度的总利

润是（）

A.（1+10%）'万元B.（1+10%）10*万元

C.[（1+10%）+（1+10%）2]万元D.[1+（1+10%）+（1+10%）2]万元

3.小明准备为希望工程捐款，他现在有20元钱，以后每月打算存】0元，若设x月后他能

捐出100元，则下列方程能正确计算出x的是（）.

A.10x+20=100B.10x-20=100C.20-10x=100D.20x+10=100

4.张先生将一万元人民币存入银行，年利率为2.25%,利息税的税率为20%,那么他存一年

后可得本息和为（）

A.10180元B.10225元C.180元D.225元

5.（2015春•攀枝花期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9,如果将个位数字与

十位数字对调后所得的新数比原数大9,则原来的两位数为（）

A.54B.27C.72D.45

6.有64名学生外出参加竞赛，共租车10辆，其中大客车每辆可坐8人，小客车每辆可坐

4人，则大、小客车各租（）

A.4辆6辆B.6辆4辆C.5辆5辆D.2辆8辆

二、填空题

7.（2015•牡丹江）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获

利10%,则该商品每件的进价为元.

8.今年母女二人年龄之和53,10年前母女二人年龄之和是,己知10年前母亲的

年龄是女儿年龄的10倍，如果设10年前女儿的年龄为x,则可列方

程.

9.如果a、b分别是一个两位数的十位上的数和个位上的数，那么把十位上的数与个位上的

数字对调后的两位数是.

10.（2016•孝义市三模）五一期间，某商厦为了促销，洛一款每台标价为1635元的空调按

标价的八折销售，结果仍能盈利9乐则是这款空调机每台的进价为元.

11.一年定期存款的利率为2.25%,利息税为20%,某人存入x元钱，一年后能取回

元钱.

12.某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型

车每辆可装20吨,B型车每辆可装15吨.在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完.则

在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车________辆.

三、解答题

13.（2015•海南）小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A号计算器佗单价

比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相司，

问A、B两种型号计算器的单价分别是多少？

14.某银行设立大学生助学贷款，6年期的贷款年利率为6%,贷款利息的50%由国家财政贴

补.某大学生预计6年后能一次性偿还2万元，则他现在可以贷款的数额是多少万元？

15.在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩.如图所示是购买门票时，

小明与他爸爸的对话：

问题：(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生？

(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱?并说明理由.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B

【解析】设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8X200元，由题意，得0.8X200=x+40,

解得：x=120.

2.【答案】1)

【解析】解：设笫一季度的总利涧足x万元，由题意得：

1+1X(1+10%)+1X(1+10%)(1+10%)=x,则x=l+(1+10%)+(1+10%):

3.【答案】A

【解析】本题的等量关系是：现有的钱+以后每月存的钱=100元.

4.【答案】A

【解析】本息和=10000X(1+2.25%X80%)=10180(元).

5.【答案】D

【解析】解：设原数的个位数字是x,则十位数字是9・x.

根据题意得：10x+(9-x)=10(9-x)+x+9

解得：x=5,9-x=4

则原来的两位数为45.

故选I).

6.【答案】B

【解析】设租大客车方辆，则8x+4(10—x)=64,解得：x=6

二、填空题

7.【答案】100.

【解析】设该商品每件的进价为x元，则150X80%-10-x=xX10与,解得x=100.即该

商品每件的进价为100元.

8.【答案】33,x+10x=33

9.【答案】10b+a

【解析】对调后十位上的数字为。，个位数字为。.

10.【答案】1200；

【解析】解：设这款空调机每台的进价为x元，根据题意，

得：1635X0.8-x=9%x,

解得：x=1200,

・•・这款空调机每台的进价为1200元，

故答案为：1200.

11.【答案】1.018x

【解析】x+2.25%x8O%x=l.O18x

12.【答案】14

【解析】由于这些量之间的关系复杂，所以利用表格使其关系明朗化.可列出卜表:

可运载量/t车辆数实际运载量/t

A20520X5

B15X15x

解：设至少还需要B型车x辆.根据题意，得20X5+15x=300.解得x=13‘.由于x

3

是车辆数，应为整数，所以x的最小值为14.

三、解答题

13.【解析】

解：设A号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x-10）元，

依题意得：5x=7（x-10）,

解得x=35.

所以35-10=25（元）.

答：A号计算器的单价为35元，则B型号计算器的单价是25元.

14.【答案与解析】

解•：设可以贷款的数额是x万元，得：x+6%xX6X50期2,

解得x^l.7.

答：他现在可以贷款的数额是1.7万元.

15.【答案与解析】

解：（1）设小明他们一共去了x个成人，则去了（n-x）个学生，根据题意，得：

40x+0.5X40X（U-x）=360.

解得x=7.所以ll-x=4.

答：小明他们一共去了7个成人，4个学生.

（2）若按14人购买团体票，则需要花费：

14X40X6（n=336（元），

360-336=24（元）.

答：买团体票更省钱，可节省24元.

选择设计方案的一般步骤：

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的

优劣性后下结论.

【典型例题】

类型一、利润问题

1.（2016•潮南区模拟）某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销

活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.、

（1）求这款空调每台的进价？（利润率二野普二售匕二产价）.

进价进价

（2）在这次促销活动中，商场销宣了这款空调机100台，问盈利多少元？

【思路点拨】（1）利用利润率耳蜃售竹:产价这一隐藏的等量关系列出方程即可;

进价进价

（2）用销售量乘以每台的销售利润即可.

【答案与解析】

解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：

3270X0.8-x=9%x,

解得:x=2400,

答：这款空调每台的进价为2400元；

（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100X2400X9脏21600（元），

答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元.

【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意.分清售价、进价、数量、利润之间的关系

很重要.

举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程（二）388413利润问题例3]

【变式1】某个商品的进价是500元,把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利

润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打儿折？

【答案】

解：设该商品打x折，依题意，则：

X

500（1+40%）------=500（1+12%）.

10

10x1.12

x=------------=8.

1.4

答：该商品的广告上可写上打八折.

【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容（如图所示），求出

李明上次所买书籍的原价.

听说荏20元办’是的,我上次买了/I?

一张会员卡，买

本书,加上办卡的费

书可享受八折优

【答案】

解：设李明上次购买书籍的原价为X元，由题意得：0.8x+20=xT2,

解这个方程得：x=160.

答：李明上次所买书籍的原价是160元.

类型二、存贷款问题

C2.爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7%,五年后取出本息和为

17025元，爸爸开始存入多少元.

【答案与解析】

解：设爸爸开始存入x元.根据题意，得x十xX2.7%X5=17025.

解之，得x=15000

答：爸爸开始存入15000元.

【总结升华】本息和=本金+利息，利息=本金X利率X期数.

类型三、数字问题

C3.一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的

数大2,又个位、十位、百位上的数的和是14,求这个三位数.

【答案与解析】

解：设百位上的数为x,则十位上的数为2x,个位上的数为14-2x-x

由题意得：x+14-2x-x=2x+2

解得：x=3

/.x=3,2x=6,14-2x-x=5

答：这个三位数为365

【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；（2）这类应用

题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；（3）三位数字的表示方法是百位上的数字乘以

100,1（）位上的数字乘以10,然后把所得的结果和个位数字相加.

举一反三：

【变式】（2015•嘉兴）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全

部，加上它的七分之一，其和等于19.”此问题中“它”的值为一.

【答案】1^3

8

解：设“它”为x,

根据题意得：x+lx=19,

7

解得：x=l^,

8

则“它”的值为空.

8

类型四、方案设计问题

4.为鼓励学生参加体育锻炼.学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和

排球.已知篮球和排球的单价比为3:2,单价和为80元.

(1)篮球和排球的单价分别是多少元？

(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个.请探究有

哪几种购买方案？

【答案与解析】

解：(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元.

依题意3x+2x=80,解得x=16

即3x=48,2x=32

答：篮球和排球的单价分别为48兀和32兀.

(2)采用列表法探索:

类别

方案^\篮球(X个)排球(36-x)个合计(元)

(1)26101568

(2)2791584

(3)2881600

(4)2971616

由列表可知，共有三种购买方案：

方案一：购买篮球26个，排球10个;

方案二：购买篮球27个，排球9个；

方案三：购买篮球28个，排球8个.

【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴.采用列表的方法探索方案，值得学习.

举一反三：

【变式】某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公

司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全

票，从第21人开始，每人按票价的80%购票.

(1)若有30位学牛参加考察，问选择哪种方案更省钱？

(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多？

【答案】

解：设有x位学生参加考察.

按方案一购票费用为：25X88%(10+x)=22x+220

按方案二购票费用为：20X25+25X80%(x+10-20)=20x+300

(1)当x=30时:

22x+220=660+220=880(元)

20x+300=600+300=900(元)

答：当有30位学生参加考察，选择方案一更省钱.

(2)设22x+220=20x+300,解得：x=40

答：参加考察的学生人数为40人时，两种方案车费一样多.

【巩固练习】

一、选择题

1.阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%,见这种

电子产品的标价为（）.

A.26元B.27元C.28元D.29元

2.某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若平均每月的增长

率为x,则依题意列方程为（）

A.25（1+x）2=82.75B.25+50x=82.75

C.25+25（1+x）2=82.75D.25[1+（1+x）+（1+x）2]=82.75

3.（2015•大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同.2月份的销售量

比1月份增加10%,每辆车的售价比1月份降低了80元.2月份与1月份的销售总额相同，

则1月份的售价为（）

A.880元B.800元C.720元I）.1080元

4.（2015秋•广西期末）老王将一笔钱存入银行，定期一年，年利率为3%,到期后取出，获

得本息和20600元.设老王存入的本金是x元，则下列方程中，错误的是（）

A.x+3%x=20600B.3$x=20600-xC.x-20600--3%xD.x+3%;20600

5.一个两位数，十位上是x,个位上是y,若把十位上和个位上对调，所得的两位数与原数

的差是（）

A.11的倍数B.2的倍数C.9的倍数D.不确定

6.学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过10（）元的，不享受优惠；②一次性购

书超过100元但不超过200元的，一律打九折；③一次性购书超过200元的，一律打八折.如

果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（）.

A.180元B.202.5元C.180元或202.5元D.180元或200元

二、填空题

7.某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利

5%”，你认为售货员应标在标签上的价格为元.

8.（2015•黑龙江）某超市“五一放价”优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超

过300元时按全额9折优惠.一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若

这两次购物合并成一次性付款可节省元？

9.在日历中竖列上相邻的三个数的和是45,则这三天的日期分别是_______.

10.在日历上，已知三个相邻数（横）的和为60,则这三天的日期分别是.

11.一个三位数，个位数字是x,百位数字比个位数字大1,十位数字比个位数字小1,则

这个三位数是.

12.为了使贫困学生能够顺利地完成大学学业，国家设立了助学贷款.助学贷款分0.5-1

年期、1〜3年期、3〜5年期、5〜8年期四种，贷款利率分别为5.85%,5.95%,6.03%,6.21%,

贷款利息的50%由政府补贴.某大学一位新生准备贷6年期的款，他预计6年后最多能够一

次性还清20000元，他现在至多可以贷_______元？（可借助计算器）

三、解答题

13.（2015•云南）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛,

每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.已知九年级一班在8场比赛中

得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？

14.有一个三位数的个位数字为1,如果把这个1移到最前面的位置上，那么所得的新三位

数的2倍比原数多15,求原来的三位数.

15.(2016春•泾阳县期中)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客,

各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折

优惠；在乙超市累计购买商品超出20()元之后，超出部分按原价的九折优惠.设顾客预计累

计购物x元(x>300).

(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物眇付的费用.

(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.

16.在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到每购买1元商品政

府给予0.13元的财政补贴.村民小李购买了一台力型洗衣机，小王购买了一台8型洗衣机，

两人一共得到财政补贴351元，又知8型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.试求：

(1)A型洗衣机和8型洗衣机的售价各是多少元？

(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C

【解析】设这种商品的标价为x元,由题意得90设=21商+20%),解得x=28.

2.【答案】1)

【解析】解：设利润平均每月的增长率为x,可列方程为：25LI+(1+x)+(1+x)2J=82.75

3.【答案】A.

【解析】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为(x-80)元，

依题意得100x=(x-80)X100X(1+10%),解得x=880.即1月份每辆车售价为88C元.

4.【答案】D

【解析】解：设老王存入的本金是x元，

由题意可得，x+3%x=20600,

则3%x=20600-x,x-20600=-3%x,

故选项A、B、C正确，选项D错误.

故选D.

5.【答案】C

【解析】1Oy+x-(1Ox+y)=9(y-x)

6.【答案】C

【解析】付款162元有两种可能，第一种享受九折优惠，第二种享受八折优惠，分两种情

况讨论.

二、填空题

填空题

7.【答案】120

【解析】设标签上价格为x元,依题意得0.没=80X(l+5%).

8.【答案】18或46.8.

【解析】(1)若第二次购物超过300元，

设此时所购物品价值为x元，则90%x=288,解得x=320.

两次所购物价值为180+320=500>300.

所以享受9折优惠，因此应付500X90%=450(元).

这两次购物合并成一次性付款可节省：180+288-450=18(元).

(2)若第二次购物没有过300元，两次所购物价值为180+288=468(元)，

这两次购物合并成一次性付款可以节省：468X10%=46.8(元)

9.【答案】8,15,22

【解析】日历上竖列上相邻的三个数依次相差为7,设中间的数为x,则最小的数为x-7,

最大的数为x+7.贝ij：x+(x-7)+(x+7)=45.

10.【答案】19,20,21

【解析】日历上横行上相邻的三个数依次相差为1.设中间的数为x,则第一个数为x-l,

第3个数为x+LA(x-1)+x+(x+1)=60.

11.【答案】lllx+90

【解析】设个位数字是x,百位数字为(x+1),十位数字为(x-1),100(x+1)+10(x-1)

+x=lllx+90.

12.【答案】16859.14

【解析】解：设现在最多贷款x元6年总利息为：(xX6.21%)X6.需要还款总额为利

息的一半加上贷款本金，方程如下：xx6.2l%x6x5()%+x=2(XXX),解得：xW6859.14

三、解答题

13.【答案与解析】

解：设胜了x场，那么负了(8-x)场，根据题意得：

2x+l*(8-x)=13,

x=5>

13-5=8.

答：九年级一班胜、负场数分别是5和8.

14.【答案与解析】

解：设原三位数的前两位数为x,则原三位数是lOx+1,新三位数为lOOXl+x,依题意得.

2(100Xl+x)-15=10x4-l

解这个方程得x=23.

原三位数是10x+1=10023+1=231.

答：原三位数为231.

15.【答案与解析】

解：(1)•・,在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠，

，在甲超市购物所付的费用为：300+0.8(x-300)=D.8x+60,

•・•在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠，

・•・设顾客预计累计购物x元(x>300),在乙超市购物所付的费用为：200+0.9(x-200)

=0.9x+20；

(2)当0.8x+60=0.9x+20时，

解得：x=400.

・•・当x=400元时，两家超市一样；

当0.8x+60<0.9x+20对，

解得：x>400,

当x>40。元时，甲超市更合算；

当0.8x+60>0.9x+20时，

解得：XV400,

当XV400元时，乙超市更合算.

16.【答案与解析】

解：(1)设月型洗衣机的售价为X元，/，型洗衣机的售价为(500+x)元，

则据题意，可列方程：O.13x+O.13(5OO+x)=351

解得x=1100,x+500=1600

答：A型洗衣机的售价为1100元，B型洗衣机的售价为1600元.

(2)小李实际付款为：1100(1-13%)=957(元)；

小王实际付款为：1600(1-13%)=1392(元).

实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

（1）进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；

（2）熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路.

【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题筱，方程魏，解答•由此可得解决此类问

题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答.

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知最，以及它们之间的

关系，寻找等量关系.

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为人但有时也可以间接设未知数.

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两

边是同一类量，单位要统一.

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值.

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去

即可.

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.

要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）

1.利润问题

（1）利润率=需乂100%

进价

（2）标价=成本（或进价）X（1+利润率）

（3）实际售价=标价X打折率

（4）利润=售价一成本（或进价）=成本X利润率

注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打

几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.

2.存贷款问题

（1）利息:本金X利率义期数

（2）本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X（l+利率X期

数）

（3）实得利息:利息-利息税

（4）利息税=利息乂利息税率

（5）年利率=月利率X12

（6）月利率=年利率X—

12

3.数字问题

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一

个两位数的个位数字为小十位数字为则这个两位数可以表示为106切.

4.方案问题

选择设计方案的一般步骤：

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的

优劣性后下结论.

【典型例题】

类型一、利润问题

C1.（2016春•盐城校级月考）某商店在一笔交易中卖了两个进价不同的随身听，售价

都为132元，按成本计算，其中一个盈利20乐另一个盈利10%则该商店在这笔交易中共

赚了元.

【思路点拨】根据题意分别求出两个随身听的进价，进而求出答案.

【答案】34.

【解析】解：设一个的进价为x元，根据题意可得：

x（1+20%）=132,

解得：x=110,

设另一个的进价为7元，根据题意可得：

v（1+10%）=132,

解得：x=120,

故该商店在这笔交易中共赚了：132+132-120-110=34（元）.

故答案为：34.

【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理清进价与利润之间的关系是解题

关键.

类型二、存贷款问题

2.某公司从银行贷款20万兀，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%（小计

复利），每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%.如果每年生产10

万个，并把所得利润（利润=售价一成本一应纳税款）用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?

【答案与解析】

解.：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，

得（5-3.2-5X10%）•1Ox=20+20X15%x.

解之，得x=2.

答：所以2年后能一次性还清贷款.

【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款

本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润=售价一成本一应纳税款，产品

的总利润等于本息和.

举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程（二）388413贷款问题】

【变式】小华父母为了准替她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备

先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%）,上大学

贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%）,贷款利息的50%由政府补贴.如

果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息祖等，小华父母用了多少钱参加教育

储蓄？还准备贷多少款？

【答案】

解：设小华父母用X元参加教育储蓄，依题意，

xX2.88%X6=（16000-^）X6.2巡X8X50%,

解得，彳=9436（元）

16000-9436=6564（元）.

答：小华父母用9436元参加教育储蓄，还准备贷6564元.

类型三、数字问题

e?.（2015春•镇巴县校级月考）甲数是2013,甲数是乙数的2还多1.设乙数为x,则

可列方程为（）

A.4（x-1）=2013B.4x-1=2013C.1x+l=2013D.1（x+1）=2013

44

【答案】C.

解：设乙数为x,

由题意得，1x+l=2013.

【总结升华】本题考杳了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是设出未知数，

找出合适的等量关系，列出方程.

类型四、方案设计问题

CL.某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制

成酸奶销售，每吨可获取利润1200元：制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生

产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加

工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部俏售或加工完毕.为此,

该厂某领导提出了两种可行方案：

力案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；

方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.

你认为选择哪种方案获利最多，为什么？

【答案与解析】

解：（1）若选择方案1,依题意，

总利润=2000元X4+E00元义（9-4）=10500元.

（2）若选择方案2.

设将x吨鲜奶制成奶片，则用（9-才）吨鲜奶制成酸奶销售，

YQ—r

依题意得，-4---^-=4,

13

解得x=1.5.

当x=1.5时，9-x=7.5.

总利润=2000元X1.5+1200元X7.5=12000元.

•・•12000>10500,

・•・选择方案2较好.

答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成

奶片.

【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我

们理顺题目中的数量关系，列出方程.例如本题方案2口，设将x吨鲜奶制成奶片，见列表

【变式1】商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每

台售价比A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55度.现将A型冰箱打折出售(打一折后

的售价为原价的L)，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型

10

冰箱1()年的总费用相当(每年365天，每度电按0.4()元计算).

【答案】

r

解：设商场A型冰箱打x折，依题意，买A型冰箱需2190X—元，1()年的电费是365X10

10

X1X0.4元；买B型冰箱需2190X(1+10%)无，10年的电费是365X10X0.55X0.4元，依

题意，得：

2190X—+365X10X1X0.4=2190X(1+10%)+365X10X0.55X0.4

10

解得：x=8

答：商场将A型冰箱打;3折出售，消费者买A型冰箱1()年的总费用与B型冰箱1()年的总

费用相当.

【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a度，超出部

分按基本电价的70$收费.

(1)某户五月份用电£4度，共交电费30.72元，求a；

(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月吩共用电多少度?应交电费多少元？

【答案】

解:(D根据题意,0.40a+0.40X70%X(84-a)=30.72.

解得:a=60.

(2)设该户六月份共用电x度，因0.36<0.40,所以x>60,于是超出部分电量为(『60)

度,依题意,得:0.40X60+0.4X70%(x-60)=0.36x.

解得:x=90.

所以0.36x=0.36XSO=32.40元.

答：(l)a=60：(2)该用户六月份共用电90度，应交电费32.40元.

【巩固练习】

一、选择题

1.一个长方形的周长为26cm,这个长方形的长减少1cm,宽增加2cm,就可成为一个

正方形，设长方形的长为xcm,则可列方程（）.

A.x-1=（26-x）+2B.x-1=（13-x）+2C.x+1=（26-A）-2D.x+1=（13-x）-2

2.飞机逆风时速度为x千米/小时，风速为y千米/小时，则飞机顺风时速度为（）.

A.*+y）千米/小时B.（x-y）千米/小时

C.（x+2y）千米/小时D.（2x+y）千米/小时

3.（2016•聊城）在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数,

这三个数的和不可能是（）

B——四五六

1234

567S91011

12131415161718

19202122232425

2627282930

27B.51C.69I).72

4.甲能在11天内独立完成某项工作，乙的工作效率比甲高10乳那么乙独立完成这项工作

的天数为（）.

A.10天B.12.1天C.9.9天D.9天.

5.甲列车从A地以50T米/时的速度开往B地，1小时后，乙列车从B地以70T米/时的速

度开往A地，如果A,B两地相距200千米，则两车相遇点距A地（）千米.

A.100B.112C.112.5D.114.5

6.（2015春•宁波期中）某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐

8人，则又空出2个座位.这个班参加划船的同学人数和船数分别是（）

A.47,6B.46,6C.54,7D.61,8

二、填空题

7.淅潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个湘莲，付50元，找回38元,

设每个湘莲的价格为R元，根据题意，列出方程为.

8.某校用56nl长的篱笆用成一个长方形的生物园，要使长为16m,则宽为_______m.

9.小明和他父亲的年龄之和为54,乂知父亲年龄是小明年龄的3倍少2岁，则他父亲的年

龄为岁.

10.甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米.

（1）当两人同时同地背向而行时，经过秒钟两人首次相遇；

（2）两人同时同地同向而行时，经过秒钟两人首次相遇.

11.（2016春•原阳县校级月考）某水池有甲进水管和乙出水管，已知单开甲注满水池需6h,

单开乙管放完全池水需要9h,当同时开放甲、乙两管时需要h水池水量达全池的工.

3

12.王会计在结账时发现现金少了153.9元，查账时得知是一笔支出款的小数点看错了一

位.王会计查出这笔看错了的支出款实际是元.

三、解答题

13.A、B两地相距216千米，甲、乙分别在A、B两地，若甲骑车的速度为15千米/时，

乙骑车的速度为12千米/时。

（1）甲、乙同时出发，背向而行，问几小时后他们相距351千米？

（2）甲、乙相向而行，卬出发三小时后乙才出发，问乙出发几小时后两人相遇？

（3）甲、乙相向而行，要使他们相遇于AB的中点，乙要比甲先出发几小时？

（4）甲、乙同时出发，相向而行，甲到达B处，乙到达A处都分别立即返回，几小时后相

遇？相遇地点距离A有多远？

14.甲乙两车间共120人，其中甲车间人数比乙车间人数的4倍少5人.

（1）求甲、乙两车间各有多少人？

（2）若从甲、乙两车间分别抽调工人，组成丙车间研制新产品，并使甲、乙、丙三个车间

的人数比为13：4：7,那么甲、乙两车间要分别抽调多少工人？

15.（2015•平南县--模）抗震救灾重建家园，为了修建在地震中受损的•条公路，若由甲工

程队单独修需3个月完成，每月耗资12万元；若由乙工程队单独修建需6个月完成，每月

耗资5万元.

（1）请问甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？

（2）若要求最迟4个月完成修建任务，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大

限度节省资金.（时间按整月计算）

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B.

【解析】等量关系：正方形的边长相等.

2.【答案】C.

【解析】逆风速度+2风速二顺风速度.

3.【答案】D.

【解析】解：设第一个数为x,则第二个数为x+7,第三个数为x+14

故三个数的和为x+x+7+x+14-3x+21

当x二】6时;3x+21=69；

当x=10时，3x+21=51；

当x=2时，3x+21=27.

故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72.

故选：D.

4.【答案】A.

【解析】乙的日工作效率：1（1+10%）=-,乙独做需要的时间：1+'=10（天）.

II1010

5.【答案】C.

【解析】^^2^x50-50=112.5.

50+70

6.【答案】C.

【解析】设船数为x只，根据题意得出：7x+5=8x-2,解得：x=7,故7x+5=7X7+5=54.

故这个班参加划船的同学人数和船数分别是：54,7.

二、填空题

7.【答案】50-8x=38.

【解析】答案不唯一.

8.【答案】12.

【解析】设宽为xm,依题意得2（16+x）=56.

9.【答案】40.

【解析】设小明的年龄为x岁，依题意得x+3x-2=54,则x=14.故父亲的年龄为3X14-2

=40岁.

10.【答案】25；200.

【解析】（1）相遇问题：理=25（秒）；（2）追及问题：—=200（秒）.

7+99-7

11.【答案】6；

【解析】解：设水池容积为I,同时开放甲、乙两管时需要xh水池水量达全池的工，

3

依题意得：（!-工）X」，解得x=6,

693

・•・同时开放甲、乙两管时需要6h水池水最达全池的工.

3

12.【答案】171.

【解析】设支出款为x元，则错看成二元，列方程得x-二二153.9.

1（）1（）

三、解答题

13.【解析】

（1）解：设x小时后，甲、乙相距351千米，

351

-------------

j

A216B

依题意,得15x+12x=351-216.

解这个方程，得x=5.

答：5小时后，甲、乙相距351千米.

（2）解：设乙出发x小时后两人相遇.

田15xJ⑵

甲.小1乙

AB

216

依题意，得15(3+x；+12x=216.

解这个方程，得X=6L

3

答：乙出发6,小时后，甲、乙两人相遇.

3

(3)解：设当乙比甲早物发x小时，使甲、乙二人相遇于AB的中点.

216x1216xl-12x4

依题意，得-----2.=---------2---------,解这个方程，得x=i—.

15125

4

答：只要乙比甲先出发小时，两人就能相遇于AB的中点.

(4)解：设x小时后甲乙相遇，

依题意,得15x+12x=216X3.

解这个方程，得x=24.

当x=24时,12x-216=72(千米).

答:24小时后两人相遇,相遇地点距离A地72千米.

14.【解析】

解：(1)设乙车间有x人，那么甲车间有(4x-5)人，根据题意，得：

x+(4x-5)=120,

解这个方程，得x=25.

4x-5=4X25-5=95(人).

(2)设甲、乙、丙三个车间人数比的一份为x人，则这三个车间的人数依次为13x人、4x

人、7x人.依题意得:13x+4x+7x=120.

解得：x=5.

当x=5时，95-13x=95-l3X5=30(人)，

25-4x=25~4X5=51人).

答：原甲、乙车间各有95人和25人.需分别从甲、乙两车间分别抽调30人和5人组成丙

车间.

15•【解析】

解.：(1)设甲、乙两工程队合作需x个月完成，

(1+1)x=l,

36

解得x=2.

(12+5)X2=34万元.

答：甲、乙两工程队合作修建需要两个月完成，共耗资34万元;

(2)设甲乙合做y个月，剩下的由乙来完成.

3)y+匕1,

36'6

解得y=l.

故甲乙合作1个月，剩下的由乙来做3个月就可以.

实际问题与一元一次方程（一）（基础）知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路.

【要点梳理】

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题翘，方程麒，解答•由此可得解决此类

题的一般步骤为：审、设、歹人解、检验、答.

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知最，哪些是未知最，以及它们之间的

关系，寻找等量关系；

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为人但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两

边是同一类量，单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去

即可；

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1.和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：增长量=原有量X增长率，

现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩

余以及倍，增长率等.

2.行程问题

（1）三个基本审间的关系：路程=速度X时间

（2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：I.基本量及关系：相遇路程=