2026年贵州省高中数学第7章数列综合测试

2026年贵州省高中数学第7章数列综合测试一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。正确答案为A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1可得b_n+1+1=2(b_n+1)，即数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又S_n=2^1+2^2+…+2^n-1=2(2^n-1)-1=n•2^n-1。正确答案为C。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则该数列的第5项c_5等于（）A.24B.30C.36D.42解析：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且c_1=T_1=1。c_2=T_2-T_1=3×4-2×2-1=9c_3=T_3-T_2=3×9-2×3-9=15c_4=T_4-T_3=3×16-2×4-15=21c_5=T_5-T_4=3×25-2×5-21=30。正确答案为B。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=81，则该数列的公比q等于（）A.3或-3B.2或-2C.9或-9D.1或-1解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，可得d_3=±9。若d_3=9，则q=d_3/d_2=9/d_2，又d_2•d_4=81，即d_2•(d_2q^2)=81，解得q=3或q=-3。若d_3=-9，则q=-3或q=3。正确答案为A。5.已知数列{e_n}的前n项和为n(n+1)(n+2)/6，则该数列的第4项e_4等于（）A.20B.24C.28D.32解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且e_1=T_1=6。e_2=T_2-T_1=6×2×3/6-6=6e_3=T_3-T_2=6×3×4/6-6×2×3/6=12e_4=T_4-T_3=6×4×5/6-6×3×4/6=20。正确答案为A。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_n+1)（n∈N），则该数列的通项公式f_n等于（）A.2^nB.2^(n-1)C.1+2^(n-1)D.1-2^(n-1)解析：由递推关系f_n+1=√(f_n+f_n+1)平方可得f_n+1^2=f_n+f_n+1，即f_n+1=f_n+1/f_n，变形为f_n+1/f_n=1，故数列{f_n/f_n-1}是首项为1，公比为1的常数列，即f_n/f_n-1=1，故f_n=2。正确答案为A。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的前10项和S_10等于（）A.90B.100C.110D.120解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9。前10项和S_10=10×(a_1+a_{10})/2=5×(a_3+a_7)=5×18=90。正确答案为A。8.若数列{h_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则该数列的第3项h_3等于（）A.7B.9C.11D.13解析：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且h_1=T_1=3。h_2=T_2-T_1=4-3=1h_3=T_3-T_2=9-4=5h_4=T_4-T_3=16-9=7h_5=T_5-T_4=25-16=9h_6=T_6-T_5=36-25=11h_7=T_7-T_6=49-36=13h_8=T_8-T_7=64-49=15h_9=T_9-T_8=81-64=17h_10=T_10-T_9=100-81=19观察发现h_n=n+2，故h_3=5+2=7。正确答案为A。9.在等比数列{i_n}中，若i_2•i_6=64，则该数列的公比q等于（）A.2或-2B.4或-4C.8或-8D.16或-16解析：由等比数列性质i_2•i_6=i_4^2=64，可得i_4=±8。若i_4=8，则q=i_4/i_2=8/i_2，又i_2•i_6=64，即i_2•(i_2q^4)=64，解得q=2或q=-2。若i_4=-8，则q=-2或q=2。正确答案为A。10.若数列{j_n}的前n项和为n^3，则该数列的第5项j_5等于（）A.100B.125C.150D.175解析：由数列前n项和与通项关系j_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且j_1=T_1=1。j_2=T_2-T_1=8-1=7j_3=T_3-T_2=27-8=19j_4=T_4-T_3=64-27=37j_5=T_5-T_4=125-64=61。正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则该数列的前10项和S_10等于______。解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5=20，可得a_5=10。前10项和S_10=10×(a_1+a_{10})/2=5×(a_5+a_6)=5×(10+10)=100。参考答案：100。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n+1（n∈N），则该数列的通项公式b_n等于______。解：由递推关系b_n+1=3b_n+1可得b_n+1+1=3(b_n+1)，即数列{b_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，故b_n+1=3^n，b_n=3^n-1。参考答案：3^n-1。3.在等比数列{c_n}中，若c_3•c_5=27，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质c_3•c_5=c_4^2=27，可得c_4=±3。若c_4=3，则q=c_4/c_3=3/c_3，又c_3•c_5=27，即c_3•(c_3q^2)=27，解得q=3或q=-3。若c_4=-3，则q=-3或q=3。参考答案：±3。4.若数列{d_n}的前n项和为n^2+n，则该数列的第4项d_4等于______。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且d_1=T_1=2。d_2=T_2-T_1=6-2=4d_3=T_3-T_2=9-6=3d_4=T_4-T_3=16-9=7。参考答案：7。5.在等差数列{e_n}中，若e_5=10，e_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式e_n=e_1+(n-1)d，代入e_5=e_1+4d=10，e_10=e_1+9d=25，联立解得d=5/3。参考答案：5/3。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则该数列的前5项和S_5等于______。解：由递推关系f_n+1=2f_n+1可得f_n+1+1=2(f_n+1)，即数列{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故f_n+1=2^n，f_n=2^n-1。前5项和S_5=1+3+7+15+31=57。参考答案：57。7.在等比数列{g_n}中，若g_2•g_8=32，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质g_2•g_8=g_5^2=32，可得g_5=±4√2。若g_5=4√2，则q=g_5/g_4=4√2/g_4，又g_2•g_8=32，即g_4•(g_4q^4)=32，解得q=2或q=-2。若g_5=-4√2，则q=-2或q=2。参考答案：±2。8.若数列{h_n}的前n项和为2^n-1，则该数列的第3项h_3等于______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且h_1=T_1=1。h_2=T_2-T_1=2-1=1h_3=T_3-T_2=4-2=2h_4=T_4-T_3=8-4=4h_5=T_5-T_4=16-8=8。正确答案为D。9.在等差数列{i_n}中，若i_4+i_6=14，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列性质i_4+i_6=2i_5=14，可得i_5=7。又i_5=i_1+4d=7，故公差d=1/2。参考答案：1/2。10.若数列{j_n}的前n项和为n(n+1)/2，则该数列的第6项j_6等于______。解：由数列前n项和与通项关系j_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且j_1=T_1=1。j_2=T_2-T_1=3-1=2j_3=T_3-T_2=6-3=3j_4=T_4-T_3=10-6=4j_5=T_5-T_4=15-10=5j_6=T_6-T_5=21-15=6。正确答案为6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为n^2+n，则该数列一定是等差数列。（×）解析：数列{a_n}的前n项和为n^2+n，则a_n=T_n-T_{n-1}=2n（n≥2），但a_1=T_1=2≠2×1，故数列{a_n}不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于2。（√）解析：由等比数列通项公式b_3=b_1q^2=8，代入b_1=1可得q^2=8，解得q=2或q=-2。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=n^3，则该数列的第4项c_4等于64。（√）解析：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且c_1=T_1=1。c_2=T_2-T_1=8-1=7c_3=T_3-T_2=27-8=19c_4=T_4-T_3=64-27=37。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_9=20，则该数列的前10项和S_10等于100。（√）解析：由等差数列性质d_1+d_9=2d_5=20，可得d_5=10。前10项和S_10=10×(d_1+d_{10})/2=5×(d_5+d_6)=5×(10+10)=100。5.若数列{e_n}满足e_n+1=2e_n+1（n∈N），则该数列的通项公式e_n等于2^n-1。（√）解析：由递推关系e_n+1=2e_n+1可得e_n+1+1=2(e_n+1)，即数列{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故e_n+1=2^n，e_n=2^n-1。6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=64，则该数列的公比q等于±2。（√）解析：由等比数列性质f_2•f_8=f_5^2=64，可得f_5=±8。若f_5=8，则q=f_5/f_4=8/f_4，又f_2•f_8=64，即f_4•(f_4q^4)=64，解得q=2或q=-2。若f_5=-8，则q=-2或q=2。7.若数列{g_n}的前n项和为n^2+n，则该数列的第4项g_4等于10。（×）解析：由数列前n项和与通项关系g_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且g_1=T_1=2。g_2=T_2-T_1=6-2=4g_3=T_3-T_2=9-6=3g_4=T_4-T_3=16-9=7。8.在等差数列{h_n}中，若h_4+h_6=18，则该数列的公差d等于2。（√）解析：由等差数列性质h_4+h_6=2h_5=18，可得h_5=9。又h_5=h_1+4d=9，故公差d=1/2。9.若数列{i_n}的前n项和为2^n-1，则该数列的第3项i_3等于7。（√）解析：由数列前n项和与通项关系i_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且i_1=T_1=1。i_2=T_2-T_1=2-1=1i_3=T_3-T_2=4-2=2i_4=T_4-T_3=8-4=4i_5=T_5-T_4=16-8=8。正确答案为D。10.在等比数列{j_n}中，若j_3•j_7=64，则该数列的公比q等于±4。（√）解析：由等比数列性质j_3•j_7=j_5^2=64，可得j_5=±8。若j_5=8，则q=j_5/j_4=8/j_4，又j_3•j_7=64，即j_4•(j_4q^4)=64，解得q=4或q=-4。若j_5=-8，则q=-4或q=4。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。故数列{a_n}的通项公式a_n=6n-5。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式b_4=b_1q^3=16，代入b_1=2可得2q^3=16，解得q=2。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1（n∈N），求该数列的前5项和S_5。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1可得c_n+1+1=2(c_n+1)，即数列{c_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故c_n+1=2^n，c_n=2^n-1。前5项和S_5=1+3+7+15+31=57。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=3，d_5=9，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式d_5=d_1+4d=9，代入d_1=3可得3+4d=9，解得d=3/2。前10项和S_10=10×(d_1+d_{10})/2=5×(d_1+d_1+9d)=5×(3+3+27/2)=135。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的20%，若该工厂今年的生产能力为100万件，求5年后该工厂的生产能力。解：由等比数列求和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中a_1=100万，q=1.2，n=5。5年后生产能力为100×(1.2^5-1)/(1.2-1)=100×(2.48832-1)/0.2=1244.16万件。2.某城市人口每年增长率为1.5%，若该城市目前人口为50万，求10年后该城市的人口。解：由等比数列求和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中a_1=50万，q=1.015，n=10。10年后人口为50×(1.015^10-1)/(1.015-1)=50×(1.16056-1)/0.015=533.2万。3.某企业计划每年比上一年增加销售额的10%，若该企业今年的销售额为1000万元，求3年后该企业的销售额。解：由等比数列求和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中a_1=1000万，q=1.1，n=3。3年后销售额为1000×(1.1^3-1)/(1.1-1)=1000×(1.331-1)/0.1=1331万。4.某学校计划每年比上一年增加学生人数的5%，若该学校目前学生人数为2000人，求5年后该学校的学生人数。解：由等比数列求和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中a_1=2000，q=1.05，n=5。5年后学生人数为2000×(1.05^5-1)/(1.05-1)=2000×(1.27628-1)/0.05=5705.6人。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.C3.B4.A5.A6.A7.A8.A9.A10.D二、填空题1.1002.3^n-13.±34.75.5/36.577.±28.69.1/210.6三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题1.a_n=6n-5解析：当n=1时，a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。故通项公式a_n=6n-5。2.q=2解析：由等比数列通项公式b_4=b_1q^3=16，代入b_1=2可得2q