考研数学三（概率统计）模拟试卷37

考研数学三(概率统计)模拟试卷37

一、选择题(本题共4题，每题7.0分，共4分。)

1、设X和Y分别表示扔n次硬币出现正面和反面的次数，则X,Y的相关系数为

().

A、-I

B、0

工

C、2

D、1

标准答案：A

知识点解析：设正面出现的概率为p,则X〜B(n,p),Y=n—X~B(n,l—p),

E(X)=np,D(X)=np(l—p),E(Y)=n(1―p),D(Y)=np(l—p),Cov(X,

Y)=Cov(X,n-*X)=Cov(X,n)-Cov(X,X),因为Cov(X,n)=E(nX)一

E(n)E(X)=nE(X)—nE(X)=O,Cov(X,X)=D(X)=np[l—p),所以pxY=

Cov(x,y)_

/D(xyh选(A).

2、设随机变量X~U[—1，1]，则随机变量U=arcsinX,V=arccosX的相关系数为

().

A、一1

B、0

1

C、2

D、1

标准答案：A

知识点解析：当P{Y=aX+b}=l(a>0)时,pXY=h当P{Y=aX+b}=l(a〈O)时，pXY=

-1.因为arcsinx+arccosx=2(—igxWl),即U+V=2或u=-V+2,所以pxY=

一1,选(A).

3、对于随机变量Xi，X2，…，X,下列说法不正确的是().

n.

y

A、若Xi，X2，…,Xn两两不相关,则D(X1+X2+…+Xn)-D(Xi)

B、若Xi，X2，…，Xn相互独立,则D(Xi+X2+...+Xn尸D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

C、若X1，X2，…，Xn相互独立同分布，服从N(0,O2),则X〜N(0'7)

D、若D(X|+X2+…+Xn六D(X|)+D(X2)+…+D(Xn),则X|,X2，…，Xn两两不相关

标准答案：D

知识点解析：若X],X2,...»Xn相互独立，则(B),(C)是正确的，若X1，

X2，…，Xn两两不相关,则(A)是正确的，选(D).

4、设(X,Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X〜N(l,1),y〜N(2,4),X,Y

的相关系数为PXY二一0.5,P(aX+bY<l)=0.5,则

(A)a=卜(B)a=»=-j

(C)a=_=A(D)a=)

().

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：因为(X,Y)服从二维正态分布，所以aX+bY服从正态分布，

E(aX+bY)=a+2b,D(aX+bY)=a2+4b2+2abCov(X,Y)=a2+4b2—2ab,即aX+bY〜

N(a+2b,a2+4b2—2ab),由P(aX+bYgl尸0.5得a+2b=1,所以选(D).

二、填空题(本题共3题，每题分，共3分。)

0,XV—2

0.3.一2VtV1

0.8,14/V2

5、设X的分布函数为F(x尸1，]22且Y=XN—1,则

E(XY)=.

标准答案：一0.6.

知识点解析：随机变量X的分布律为X〜、0・30.5O・2〃E(XY)=E[X(X2—

1)]=E(X3—X)=E(X3)-E(X),因为F(X3尸一8x0.3+1x0.5+8x0.2=-0.3,

E(X)——2x0.3+1x0.5+2x0.2-0.3,所以E(XY)——0.6.

D(X)=________

标准答案：1；2

知识点解析：

因为/")=六3?''=—―^击，所以*7(1由，于是£(*=1,0(刈=y.

7、设随机变量X〜P(Q,且E[(X-1)(X-2)]=1,则兀=.

标准答案：1

知识点解析：I大I为X〜P(Q,所以E(X尸入，D(X)=X,故

E(X2)=D(X)+[E(X)J2=X2U.由E[(X—1)(X-2)]=E(X2—3X+2)=E(X2)—

3E(X)4-2=X2-2入+2=1得入=1.

三、解答题(本题共79题，每题1.0分，共3分。)

8、设每次试验成功的概率为0.2,失败的概率为0.8,设独立重复试验直到成功

为止的试验次数为X,则E(X)=.

标准答案：X的分布律为P(X-k)-O.2x0.8卜Ik-l,

因为毕…(牙)=(六)'=占，EG，

所以E(X)=0.22>X0.8-=0・2X『^7=5.

2,.•・•♦=】

知识点解析：暂无解析

n把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列

两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：

9、试开过的钥匙除去；

标准答案：设X为第一种情况开门次数，X的可能取值为1,2,n.且

2

P(X=k)=w,k=l,2,

P(X=3)=P(AA2A3)=P(A,)P(A2I4)P(A3IA.A2)=­X匚X

nn-1

E(X)=£tS®0土u,

A非2£〃b

D(X)=E(X2)—[E(X)T=勺上

知识点解析：暂无解析

10、试开过的钥匙重新放回.

标准答案：设Y为开门次数，Y的可能取值为1,2,n,

且P(Y=幻=(1--L广,工决=1,2,….

\n/n

E(Y)=&X(1-W3=N货)LT=",

CXJ1£一g

E(Y2)=2〃(1一5)-=2〃2-〃,D(Y)=/一〃.

知识点解析：暂无解析

2

11、设一部机器一天内发生故障的概率为亏，机器发生故障时全天停止工作.若一

周5个工作日无故障，则可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生两次故

障获利0元；发生三次及以上的故障亏损2万元，求一周内利润的期望值.

X〜

标准答案：用X表示5天中发生故障的天数，则'57以Y表示获

10,X=0

5,X=1

Y=4

0,X=2’

利，则-2♦X)3则E(Y尸10P(X=0)+5P(X=1)一

2[P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=10x0.328+5x0.410—2x0.057=5.216(万元)

知识点解析：暂无解析

12、设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(N，1),内径

小于10或大于12为不合格品，其余为合格产品，销售合格品获利，销售不合格产

品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：

-1,X<10

T=)20,104Xa12.

-5,X>12问平均内径pi取何值时，销售一个零件的平均利涧最

大？

标准答案：E(T)=—lxP(X<10)+20xP(10<X<12)-5P(X>12)=-0(10—

时+20[①(12―①一6(10—⑼一5口一①(12-⑼=25①(12一卜。一210(10—四一

5

令^E(X)=21/(10-25G'(12—〃)=0,即贵二小中一号工一%山=0,

lln25

解得「11一2021w().9,所以当⑹10.9时，销售一个零件的平均利润最

大.

知识点解析：暂无解析

13、某商店经销某种商品，每周进货数量X与顾客对该种商品的需求量Y之间是

相互独立的，且都服从［10,20］上的均匀分布，商店每出售一单位商品可获利1000

元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利

500元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.

标准答案：设R为商店每周的利润，则有

口二(1。。。丫，Y&X,

11ooox+5oo(y-x),y>x'因为x,丫相互独立且都服从［io,

20］上的均匀分布，所以(X,Y)的联合密度函数为

〃)Jl50，1。4”，3420

0，其他

(201f201

故E(R)

=L网“500(“+y)X—dx+JwdyJJOOOjX焉dz

=驾”+7500心14166.7(元)

0

知识点解析：暂无解析

14、设随机变量X,Y相互独立，且X〜N(0,2),丫〜N(0,2),Z=|X-Y|,求

E(Z),D(Z).

标准答案：令U=X-Y,因为X,Y相互独立，且

XN(O,g),丫〜N(O,J),^fu(u)=-y_z.eT»

'"【'”所以U〜N(0.1)v2x-30V

u<

+co.

=>E(Z)=E|U|=^J'|U|

2

E(Z2)=E(U2)=D(U)+[E(U)]2=1=>D(Z)=E(Z2)—[E(Z)]2=1一方

知识点解析：暂无解析

0,10,X42

X>r

设随机变量X服从参数为2的指数分布，☆u=1,1,X>2’

求：

15、(U,V)的分布；

标准答案：因为X服从参数为2的指数分布，所以X的分布函数为

[1-ej->0

F(x)=[

40

工(U,V)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),

(1,1).P(U=O,V=O)=P(X<1,X<2)=P(X<1)=F(1)=1—e2：P(U=O,

V=1)=P(X<1,X>2)=0；P(U=1,V=1)=P(X>1,X>2)=P(X>2)=1—F(2)=e4；

16、U,V的相关系数.

(°°

标准答案：由U〜\1一已2e2f\】一e'e，/得E(U尸e2,E(V)=e

匕E(UV)=e4,E(U2)=e*2,E(V2)=e匕则D(U尸E(u2)=[E(U)『二e一？一e汽

D(V)=E(V2)—[E(V)]2=e4-*e8,Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=e4-e6,

Cov(UW)=]

于是pi.=/D(UT•/D(VT一耳不了・

知识点解析：暂无解析

17、设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在

哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望.

标准答案：利用随机变量分解法.设随机变量X表示停靠的总的次数，令X尸

/I•第i楼电梯停...."

卜,第i楼电梯不停则x=X2+X3+...+Xu，E(X)2'

P(X,=0)=(1-^)=(而),p(X,=l)=l—(而),

舄广，所以E(X)=方E(X,)=io[l-儒门.

因为E(X,)=1-

知识点解析：暂无解析

2

设随机变量X的密度函数为f(x)=2e冈(一ooVxV+8).

18、求E(X)；

标准答案：E(X)=J-oo+a；xf(x)dx=0.

知识点解析：暂无解析

19、求Cov(X,凶)，问X,|X|是否不相关?

标准答案：因为Cov(X,|X|)=E[X|X|]—EX.E|X|=E[X|X|]=J-8mxix|f(x)dx=O,所

以X,|X|不相关.

知识点解析：暂无解析

20、问X,|X|是否相互独立？

标准答案：对任意的a>0,P{X<a,|X|<a)=P{|X|<a},而0VP(X9)Vl,所以

P{X<a,|X|<a)>P{|X|<a}.P(X<a),故|X|,X不相互独立.

知识点解析：暂无解析

22

21、设二维随机变量(X.Y)服从二维正态分布，且X〜N(L3)tY〜N(0,4),

一_L,又设z=1+工

且X,Y的相关系数为232(1)求E(Z),D(Z)；⑵求pxz；

(3)X,Z是否相互独立？为什么？

标准答案：

(l)E(Z)=4E(X)+=T-

J乙J

D(Z)=1D(X)+!D(Y)+《COV(X.Y)=5+《Xy/DCY)=3

9433\Z/

))

(2)Cov(X,Z)=~D(X4--i-Cov(X,y=3+Jx(-JX12=O^^pxz=

(3)因为(X,Y)服从二维正态分布，所以Z服从正态分布，同时X也服从正态分

布，又X,Z不相关，所以X.Z相互独立.

知识点解析：暂无解析

22、设随机变量(X,Y)在区域D:{(x,y)|0<x<2,gygl)上服从均匀分布,令

(0,X<Y(0.X2Y

U=i,V=.

\l,X>2Y⑴求(U,V)的联合分布；⑵求puv.

标准答案：

(i)p(x<y)=!，P(X>2Y)=』，p(yvx42Y)=4•

4I4

(U.V)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,D.

P(U=0.V=1)=P(X^Y,X>2Y)=0,

P(U=1,V=0)=P(X>y,X<2Y)=P(Y<X<2Y)=

P(U=0,V=0)=P(X&Y,X&2Y)=P(X<Y)=

4

p(u=i•v=i)=i—(4+!)=4-.

\44/2

(U,V)的联合分布律为

01

X

0T0

X

1了T

0101

(2)由(1)得UV〜11,U1_]_，则

124~2

E(U)=^.D(U)=^.E(V)=],D(V)=!，E(UV)=工

410Z4Z

Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=《.所，=

8^D(U)D(V)

知识点解析：暂无解析

8

设随机变量X1，X2，…，Xm+n(mVn)独立同分布，其方差为b,令Y=*1Xi，

Z=仁求：

23、D(y),D(Z)；

标准答案：因为X],X2,…，Xm+n相互独立，所以

D(Y)=£D(X,)=-D(Z)=XD(X.“)=加2

i»l>»]

知识点解析：暂无解析

24、pxz-

标准答案：Cov(Y,Z)=Cov[(Xi+...+Xm)+(Xm+1...+Xn)，Xm—i+...+Xm+n]

—Cov(X)+...+Xpi>Xm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+l+…+Xn，Xm—1+…+Xm+n)

2

=D(Xm+l+…+Xn)+Cov(Xm+i+…+Xn，Xn+1+...+Xm4n)=(n-m)o则pYZ=

_(,'ov(Y.Z)=n-rn

>/b(Y).yo(zy-〃°

知识点解析：暂无解析

25、设Xi,X2，…，Xn(n>2)相互独立且都服从N(0,1),丫尸由一项i二l,

2,…，n).求:(l)D(Yi)(i=l,2,...»n)；(2)Cov(Y],Yn);(3)P(Yi+