考研数学三（线性代数）模拟试卷20

考研数学三（线性代数）模拟试卷20

一、选择题（本题共2题，每题7.0分，共2分。）

（200[210

05-4,6=120

1、设A=°-45，[o03

则A与B().

A、合同且相似

B、相似但不合同

C^合同但不相似

D、既不相似又不合同

标准答案：C

知识点解析：显然A,B都是实对称矩阵，由I入E—A1=0,得A的特征值为

入尸1,九2=2,M=9,由IE—B|=0,得B的特征值为入尸1,入2=入3=3,因为A,B

惯性指数相等，但特征值不相同，所以A,B合同但不相似，选C.

2、设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X,有XTAX=O,则（）.

A、IAI=0

B、IAI>0

C、IAI<0

D、以上都不对

标准答案：A

知识点解析：设二次型

（1）

/=-A.j：+不工+为乂，其中Q为正交矩阵.取丫=0

-,则

f=XTAX=XI=O,同理可得大2=入3=0，由于A是实对称矩阵，所以r（A）=O,从而

A=0,选A.

二、填空题（本题共1题，每题上。分，共1分。）

3、f（xi，X2，X3，X4）=XTAX的正惯性指数是2,且A’-2A=O,该二次型的规范

形为.

标准答案：yr+y22

知识点解析：A?—2A=0-r(A)+r(2E—A)=4-A可以对角化，Xi=2,X2=0,又二

次型的正惯性指数为2,所以入『2,入2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形

为yi2+y22-

三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

4、设A,B为三阶矩阵，且AB=A-B,若Q,七为A的三个不同的特征值，

证明：(1)AB=BA；(2)存在可逆矩阵P,使得P,AP,P“BP同时为对角矩阵.

标准答案：(1)由人8二人一8得人一8—人8+£=£,(E—B)(E+A尸E,即E—B与

E+A互为逆矩阵，于是［E—B)(E+A尸E=(E+A)(E—B),故AB=BA.⑵因为A有

三个不同的特征值Q,M，入3,所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征

向量为0，%区,则有A(M，2,门户(欧,&2,月)diagQi，入2,入3)，BA&,

h，%0=B(&,h，@diagQi，入2,入3)，AB(3,&,七尸B(&,及，^)diag(Xb

九2,入3)，于是有AB&=\iB0i=l,2,3.若B"0,则Bi是A的属于特征值%的

特征向量，又为为单根,所以有四=内&；若B&i=0,则々是B的属于特征值。的

特征向量.无论哪种情况，B都可以对角化，而且。是B的特征向量，因此，令

P=6l，3*),则P】AP,P］卯同为对角阵.

知识点解析：暂无解析

5、(1)若A可逆且A〜B,证明：A*〜B*；(2)若A〜B,证明：存在可逆矩阵P,

使得AP〜BP.

标准答案：(1)因为A可逆且A〜B所以B可逆，A,B的特征值相同且IAI=I

BI.因为A〜B,所以存在可逆矩阵P,使得P」AP二B,而A*=|A|A/，

B丁IBIB",于是由P-1AP=B,得(P/AP)-1=B，即P/A-lp=B“，故P」IAI4

"IAIB-l或MA*P=B*,于是A*〜B*.(2)因为A〜B,所以存在可逆阵P,使

得P“AP=B,即AP二PB,于是AP二PBPP】=P(BP)P",故AP〜BP.

知识点解析：暂无解析

-102

a1a—2

6、设A=-3°4J有三个线性无关的特征向量，求a及A*.

标准答案:

A+10-2

由|AE-A|=A-l2-a=0,得人1=42=1，43=2.

30A—4

0-210

E-A=-a02-<002-2a

30-3000

因为矩阵4有三个线性无关的特征向最•所以4一定可对角化，从而r（E-A）=1,

-102

即a=1,故A=11-1

-304

由;I=1时，由（E-A）X=0,得备=

由A=2时，由(2E-A>*=。•得0=

0121

令P=（3，金，金）=10-1，则P^AP=1，两边〃次募得

0132

fl

1

2"J

3-2^,02—1

从而*=P2"-111一2・

2"3-3X2-03X2--2

知识点解析:暂无解析

7、设方程组

X1+与+”3=1(10

」2耳+（.+2）石+（。+1）力=a+3有无穷多个解=10

x>+2xt+az3=300

为矩阵A的分别属于特征值入［-1,九2--2,九3-।的特征向量.⑴求A；Q)

求IA*+3EI.

标准答案：因为方程组有无穷多个解，所以

111;'，

D=2。+2a4-1=a，—2a+1=0,解得。=L

12a

(1-10]

令P=，。3)=110•则

001

1

P'AP=2

-1

0

1~~2T

从A=P-2广|=31・

"220

00(2)IAI=2,A"对应的

IA|JA||A|

特征值为为'42'入，即2,—1,-2,*+3E对应的特征值为5,2,1,

所以IA*+3EI=10.

知识点解析：暂无解析

8、设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5,AX=0有非零解且入尸2是A

的特征值，对应特征向量为(一1,0,1)T.(1)求A的其他特征值与特征向量：(2)

求A.

标准答案：（1）因为A的每行元素之和为5,所以有

1][11

41=51，即A有特征值，=5,对应的特征向量为1

1111

又因为AX=0有非零解，所以MA）V3,从而A有特征值。，设特征值0对应的特征向量

—Xi4-=0

为，根据不同特征值对应的特征向量正交得《，解得特征值0对应的

Xi+与+4=0

1

特征向量为-2

032

22,由P^'AP=5，得

-21•0,

[-303][852

5•4-222=卷555

0

0)[121258

知识点解析：暂无解析

1100

10b0

9、设A=0006求a,b及正交矩阵P,使得

PTAP=B.

标准答案：因为A〜B,所以lr(A)=tr(B),IAI=|BI,即

6+。=7+6

，解得a1,6=0,则

4a-4=66

110100

A—15-2,B=000

0-21006

因为A〜B.所以矩阵A,B的特征值都为储=1山=0，九=6.

2

当久=1时，由(E-A)X=0,得争=0；

1]

-1

当久=。时，由(0E-A)X=0,得以=1

2

f-1

当a=6时，由(6E-A)X=0,得扇=一5

2

2[-1一1

y_4__L，力=-5

令"含T=1；力一|金|一同

22

21____

示N/30

1____

再令P=(，，力.力)=0，则有PJAP=B.

示^30

122

示系730

知识点解析：暂无解析

10、设A,B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)<n.证明：A,B有公共的特征向量.

标准答案：因为r(A)+r(B)Vn,所以r(A)有非零解，即A,B有公共的特征向量。

知识点解析：暂无解析

11、设A是n阶矩阵，ct|,«2........即是n维列向量，且厮和，若Aa]=a2，

Act2=a3，…，Aan-i=an,Aan=0.(1)证明：aj,(12，…，叫】线性无关；(2)求A的

特征值与特征向量.

标准答案：(1)令X]Cti+x2a2+…+Xn(In=0，则

xjai+X2C12+…+xnCtn=0—xia2+x2as+...+xn.ian=0x।a2+x2a3+...+xn.

]an=0-Xia3+X2O4+…+Xn-2Cln-2=0…X](Xn=O因为。同)，所以X]=0,反推可得

X2=...=Xn=0,所以(X1，012，…，Si线性无关.(2)A(ai,a2»…，an)=(ai,

0000

10•••00

01•••00

■*•■

•*•■•

•••

a2,，5】)0010，令P=(ai,ai，...»an),则P“AP二

00-00

10-00

01-00

o0…10J=B,则A与B相似，由I入E—BI=0一笳=_=入产o,即

A的特征值全为零，又r(A)=n—1,所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的

解向量，而Aan=0an(ctn±0),所以A的全部特征向量为kan(k，0).

知识点解析：暂无解析

12、设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5,AX=0的通解为

求Ap.

标准答案:

11

因为A的每行元素之和为5,所以有A1=51，即A有一个特征值为为=5,其对

11

1

应的特征向量为3=1,父1=50.

1

21

又AX=0的通解为跖-1+后3，则r(A)=1=>A2=%=0,其对应的特征向量为

34

2(11

金=-14=3，父2=0，%3=0.

34

令工4+5金+工343=P，解得工1=8,XZ=—l,Xj=-2,

1

则"=8%1一誉2-243=8代|=401.

1

知识点解析：暂无解析

ab2(102

0-1〜B=020

13、A=00104一】，求a,b及可逆矩阵P,使得P

]AP=B.

标准答案：由I入E—BI=0,得入产—1,九2=1，入3=2,因为A〜B,所以A的特

征值为大广一1,入2=1，入2=2.由tr(A尸Q+入2+入3，得a=l,再由IAI=b=Q(众3=

1-22

-10-1.

-2,得b=-2,即A=1°0

1由(一E—A)X=0,得&=(1,1,0)T；由

(E—A)X=0,得及=(一2,1,1)T；由(2E—A)X=0,得43=(一2,I,(J)三

1-2-2]f-1

令R=111，则PTAPI=1

0102J由LE—g)X=O,得r|i=(—1,

0,i)T；由(E—g)x=o,得n2=(i，0,o)T；由(2E—B)X=0,得r)3=(8,3,4)T,

-1181f-1

令H=003，则期2=1

104)

2J由P」AP产P2/BP2,得(PIP、》

1-2-21°-1

11112

lo1001

•APIP/^B,☆P=PIP/=,则P-

'AP=B.

知识点解析：暂无解析

1-1-a

2a—2

14、设A」一。一11J,求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角

化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵.

A—11a

—2A—a2

标胜答案：I入E—A|=a124一】=(Ua-*i)(Z-*a)(Z-a-1)=0,得矩阵

A的特征值为入i=l—a,入2=a,入3=l+a.(1)当1一aWa,1—a，l+a,a/1+a,即

工

a#)且存彳时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化.入

0

由[（1一a）E—A]X=O得欧」】J；5a时,由（aE-A）X=O得及=

一a时,

12—a

l-2a△=1+a时•由[（l+a）E-A]X=O得品=-4a.

1a+2

112—a1—a

P=01—2a—4a,P'AP=a.

11a+2：1+aJ(2)当a=0时，

Xi=X3=l,因为r(E-A)=2,所以方程组(E—A)X=O的基础解系只含有一个线性无

(J=—,11=九=-1-

关的解向量，故矩阵A不可以对角化.(3)当2J12,因为

「(共i)=2,所以方程组(如i)X=。的基础解系只含有_个线性无关的解

向量，故A不可以对角化.

知识点解析：暂无解析

15、设A为mxn实矩阵，且r(A)=n.证明：人丁人的特征值全大于零.

标准答案：首先八丁人为实对称矩阵，r(ATA)=n,对任意的X>0,

XT(ATA)X=(AX)T(AX),令AX=a,因为r(A)=n,所以a#0,所以

(AX)T(AX)=aTa=IaI2>0,即二次型X7ATA)X是正定二次型，人1人为正定矩

阵，所以ATA的特征值全大于零.

知识点解析：暂无解析

16、设A为n阶正定矩阵.证明：对任意的可逆矩阵P,P「AP为正定矩阵.

标准答案：首先AT=A,E]>9(PTAP)T=PTAT(PT)TPTAP,所以PTAP为对称矩

阵，对任意的X/),XT(PTAP)X=(PX)TA(PX),令PX=a,因为P可逆且XKO,所

以*0,又因为A为正定矩阵，所以/人(1>0,即xT(pTAP)X>0,故XT(PrAP)X

为正定二次型，于是MAP为正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

17、设P为可逆矩阵，A=pTp.证明：A是正定矩阵.

标准答案：显然人丁二A,对任意的XWO,XTAX=(PX)T(PX),因为X#)且P可逆，

所以PX#),于是XTAX=(PX)T(PX)=IPXI2>0,即XTAX为正定二次型，故A

为止定矩阵.

知识点解析：暂无解析

18、设A,B为n阶正定矩阵.证明：A+B为正定矩阵.

标准答案：因为A,B正定，所以人丁=A,BT=B,从而(A+B)T=A+B,即A+B为对

称矩阵.对任意的XHO,XT(A+B)X=XTAX+XTBX,因为A,B为正定矩阵，所

以XTAX>O,XTBX>0,因此XT(A+B)X>O,于是A+B为正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

19、三元二次型f=xTAX经过正交变换化为标准形f=y/+y22-2y32,且A*+2E的

1

0

非零特征值对应的特征向量为a产“，求此二次型.

标准答案：因为f=xTAX经过正交变换后的标准形为f=y/+y22—2y3z,所以矩阵

A的特征值为入1=反=1，兀3二一2.由IAI=箱九2手=一2得A*的特征值为m=gz=—

2,卜13=1，从而A*+2E的特征值为0,0,3,即囚为A*+2E的属于特征值3的特

征向量，故也为A的属于特征值入3--2的特征向量.令A的属于特征值入G入2=1

4

的特征向量为a=工」，因为A为实对称矩阵，所以有a/a=0,即x1+X2=0故矩阵

A的属于入1=九2=1的特征向量为

-1

0

1

1

1，得

A=P1P1=010，所求的二次型为

-23cl

22

T

f=XAX=~4-Xj--j-xj—3xtx3

知识点解析：暂无解析一

20、设二次型f=2x]2+2x22+ax32+2x]X]+2bx]X3+2x2X3经过正交变换X=QY,化为标

准形仁y/+y22+4y32,求参数a,b及正交矩阵Q.

标准答案：二次型f=2xJ+2x22+ax32+2xixi+2bxiX3-2x2X3的矩阵形式为f二x’Ax其

21b1

121,X=.因为03=5=1

4J,所以A〜B(因为正交矩

中A=1b1a

阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1,I,4.而|九E—A1=2一

(a+4)X2+(4a—b2+2)X+(-3a-2b+2b2+2),所以有X3(a+4)X2+(4a—b2+2)X+(-3a

-2b+2b2+2尸(九一1)2。—4),解得a=2,b=l.当＞1=入2=1时，由(E—A)X=O得

由入3=4时，由(4E—A)X=O得之=显然&，匕2，43两两

正交，单位化为

-li1

A1万

1--iV13

1I11

IV31。

AV26V13

」

V6V3

知识点解析：暂无解析