2014年下半年教师资格证考试《高中数学》真题（解析）

2014年下半年教师资格证考试《高中数学》题（解析）1解析本题主要考查定积分的计算。利用变上限积分函数的导数，将求出来，再根据函数的单调性考虑其零点的个数。因为，所以，，显然是的零点，，所以是单调递增的，从而，有且只有一个零点。故正确答案为B。2解析本题主要考查余弦定理的应用及三角形面积的求解.对不等式两边同时平方得：，化简得，，即，所以。故正确答案为A.

3解析本题主要考查相似矩阵及二次型相似矩阵。主要是根据题目所给已知条件，结合特征向量性质，逐项进行判断。因为是线性方程线的一个基础解系，所以，.

A、B两项：，故属于矩阵A的特征向量。

D项：由于，所以，属于矩阵A的特征向量。

C项：，不能写成的形式，所以C项不属于矩阵A的特征向量。

本题为选非题，故正确答案为C。4解析本题主要考查由参数方程化为一般方程的数学思想。

即消参。解题关键：三角函数方程

,半角公式

。，由

得

化简为

，由于

，得

.故正确答案为C。

5解析本题主要考察函数的性质。本题根据函数的一致收敛定义即可知道结果，考查一致收敛的概念。故正确答案为D。6解析本题主要考查矩阵的初等变换。本题主要考查的是矩阵的初等变换与初等矩阵的关系，初等矩阵与矩阵乘法的关系。对矩阵A做列变换，相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵；对矩阵A做行变换，相当于在矩阵A的左边乘以相应的初等矩阵。由题意得：，所以，，从而，。故正确答案为D。

7解析本题主要考查数学史实。A项：泰勒斯，古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，希腊最早的哲学学派“米利都学派”（也称爱奥尼亚学派）的创始人。希腊七贤之一，西方思想史上第一个有记载有名字留下来的思想家。“科学和哲学之祖”。泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。

B项：毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家和音乐理论家。毕达哥拉斯对数论作了许多研究，以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世。正确。

C项：欧几里得，古希腊数学家。他活跃于托勒密一世(公元前364年-公元前283年)时期的亚历山大里亚。被称为“几何之父”，数学巨著《几何原本》的作者，亦是世界上最伟大的数学家之一。

D项：阿基米德是古希腊杰出的科学家，在力学领域，他发现了杠杆定律和浮力定律，他还发明了螺旋式水车，可用来排水或灌溉。

故正确答案为B。8解析本题主要考查课程标准概述。《普通高中数学课程标准（实验）》中总目标第二条规定：高中数学课程要提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。故D项错误。故正确答案为D。9正确答案是：

平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量，则直线的方向向量为，则，可知直线与平面相交，设其夹角为,则，直线与平面的夹角的正弦值为。解析本题主要考查空间中向量的应用。利用直线和平面的法向量，要求解直线与平面的夹角，即求两个法向量的夹角的值，因而本题的关键在于表示出两个法向量的坐标。10正确答案是：（1）第一次摸到红球的概率均为：，

第二次摸到红球的概率为，两次摸球相互独立，所以两次摸球均为红球的概率为。（2）设第一次摸到红球为事件A，第二次摸到黑球为事件B，则第一次摸到红球，第二次摸到黑球的概率为。解析本题主要考查求解随机事件的概率方法。（1）利用概率近似等于频率，根据相互独立性，可求解两次摸球都是红球的概率。（2）由于第一次摸到红球，从剩余的99个球中摸一个黑球，共有30种可能。11正确答案是：利用泰勒公式展开可得：，则有：。解析本题主要考查导数的应用。利用泰勒展开到第N项，代入零点处的值，即可求得e的近似值。12正确答案是：（1）复习回顾导入法，巩固旧知识之后，利用新旧知识之间的联系，巧设疑问，激发学兴趣，引起思考。例如，通过复习正弦的概念与公式来导入余弦和正切的内容。（2）联系生活导入法，数学教学的目的就是解决生活中的实际问题，从生活中来，再到生活中去，以实例引入新课，可以激发兴趣，调动积极性。例如：在学习相似三角形的性质定理时，通过提问学生关于路灯高度或旗杆高度等相关实际生活中的问题，自然的引入新课。解析本题主要考查对课堂导入方法的掌握程度。13正确答案是：（1）评价主体：教师、家长、学生、社会。（2）意义：（1)强调评价过程中主体间的双向选择，通过沟通和协商，能够关注评价结果的认同问题。（2)通过加强自评、互评，能使评价成为教师、管理者、学生、家长共同积极参与的交互活动。（3)增进双方的了解和理解，形成积极、友好、平等和民主的评价关系，进而使评价者在评价过程中能有效地对被评价者的发展过程进行监控和指导，帮助被评价者认同评价结果，最终促进其不断改进，获得发展。解析本题主要考查对课程标准的解读。

《普通高中数学课程标准（实验）》第四部分实施建议中（二）评价建议中指出主体多元化，是指将教师评价、自我评价、学生互评、家长和社会有关人员评价等结合起来。14正确答案是：

证明：设矩阵设行空间维数为r，列空间维数为，为矩阵的行向量组，不妨设为一组基，所以方程

只有零解，即线性方程组只有零解，则其系数矩阵的行向量空间的维数大于等于r，因此它的行向量组可以找到r个线性无关的向量，设为线性无关，则也线性无关，他们正好是矩阵A的r个列向量，则矩阵A的列空间的维数，同理可证明。所以

，即矩阵A行空间的维数等于其列空间的维数。

解析本题主要考查向量在空间中的应用。利用方程组有非零解的性质，矩阵的秩小于行向量的个数，再找到一组极大线性无关组，和一组基，即可证明。15正确答案是：（1）实例：老鼠的繁殖率：假设老鼠每胎产鼠6只，其中3雌3雄，两胎之间间隔时间40天，小鼠从出生到发育成熟需要120天，现假设在理想情况下（即不考虑死亡、周期变化、突发事件等），一对老鼠开始生育，估计一年后老鼠的总数将达多少只？“数学化”：①从实际问题中，抽象出有关的数学模型，并对这些数学成分用图式法表示。②从图式法表示中，寻找并发现问题的有关的关系和规律。③从所发现的关系中，建立相应的公式，以求得某种一般化的规律。④运用其它不同方法（数学模型）解决这一问题。（1）经历上述“数学化”过程，对于培养学生“发现问题，提出问题”以及“抽象概括”能力有以下作用：①充分考虑学生的认知规律，己有的生活经验和数学的实际，灵活处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。通过设计与生活现实密切相关的问题，帮助学生认识到数学与生活有密切联系，从而体会到学好数学对于我们的生活有很大的帮助，无形中产生了学习数学的动力，有利于快速的发现问题。②由“数学化“过程可以看出发现问题是直观的，容易引起学生想象的数学问题，进而提出问题。而这些数学问题在中的数学背景是学生熟悉的事物和具体情景，而且与学生己经了解或学习过的数学知识相关联，特别是要与学生生活中积累的常识性知识和那些学生己经具有的。③通过一个充满探索的过程去学习数学，让己经存在于学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新怠识，从而达到素质教育的目的，对于学生抽象概括能力明显增强。解析本题主要考查教学设计的主要内容。理解好“数学化”概念，严格按照教材的内容进行解答。16正确答案是：（1）教师1的做法：优点：在一个例题学习后，紧跟巩固练习，锻炼学生的实际运算能力，并且能够对学生的学习情况进行及时反馈。缺点：采用传统的教学方法，教学方法单一枯燥，不符合新课程标准的要求，没有发挥学生的学习主动性，没有注意学生的思维水平的发展和数学思想方法的渗透。并且在只得到一些同学看懂的反馈下就开始进行练习，没有考虑到大多数学生的认知水平，以及学生之间的个体差异。教师2的做法：优点：在新课程标准的引领下进行课堂教学，能够把握教材的精髓和难点，源于教材，超于教材，能够根据学生的学习基础和学习规律进行教学，想学生所想，备学生所想，充分发挥学生的主体性和教师的主导性作用。通过问题串的方式，采用师生互动合作的学习方式，循环渐进的启发学生，引导学生积极思考，自主获得解题思路。并且在课堂中注意尊重学生的个体差异，引导学生充分交流自己的想法，利用一题多解，提高学生的思维能力和数学思想方法的运用。缺点：在教学设计时没有考虑到用函数的方法解决不等式，备课不是特别充分，对课堂预设没有充分掌握。在处理生成问题上，没有能够及时对所学知识进行拓展和深化、提升。（2）教师1：没有辩证的理解“预设与生成”关系，教学既要重视知识学习的逻辑和效率，又要注重生命体验的过程的质量。教师1只注重了知识的灌输，忽略了知识形成的过程。没有深入地钻研教材，读出教材的本意和新意，把握教材的精髓和难点，源于教材，超于教材，只有预设，完全封闭。没有准确的把握学生的知识经验背景和思维特点，造成不适当的生成，缺乏教师的引导，影响课堂教学效果。教师2：体现了教学过程的“预设”，主要表现在：①以预设为基础，提高生成的质量与水平。能够深入钻研教材，把教材内化为自己的东西，具有走进去的深度和跳出来的勇气，使之变成对教学有用的东西。能够全面了解学生的心理状况，深刻了解学生学习的客观规律和基本过程，准确的把握学生的知识经验背景和思维特点以及他们的兴趣点和兴奋点，准确地洞察和热气学生学习活动和思维活动的走向，在课前能够尽可能地预计和考虑学生学习活动的各种可能性，激发高水平和精彩的生成。②以生成为导向，提高预测的针对性，开放性和可变性。能够根据实际情况，随时对设计作出有把握的调整、变更。（3）运用函数证明不等式：构造函数，则，令，则；令，则，由函数的单调性可知：，即证。数学教学价值：运用函数证明该不等式，使我们意识到不等式与函数是紧密联系的，很多不等式问题往往有相关的函数背景，可以利用函数的思想解决。构造函数法是证明不等式的一个重要方法，其实质是用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，构造出相应的函数模型，从而使不等式问题转化为函数问题并得以证明。函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。另一方面也可以培养学生的思维能力和逻辑推理能力。

解析本题主要考查教学设计的主要内容。

1.论述两位教师做法的优缺点2.把握题干，将题目涉及相关理论进行完善并完整论述。17正确答案

（1）不相同。知识与技能目标中行为主体是学生，过程与方法、情感态度与价值观目标中行为主体是教师。问题：教学目标中行为主体不一致。教学目标分析与设计的对象是学习者，因此教学目标阐述的是学习者学习的结果，是指学生在教师与同伴的帮助下，利用资源和工具学会了什么，而不是指教师应该做什么，或者通过该课教给学生什么。默认行为主语是“学生”。（2）不具有可操作性。问题：教学目标设计过大过空，没有具体可操作性。教学目标的设计要建立在对教学内容、学生学习规律的把握的基础上，应尽可能明确、具体、可以观察、测量，具有可评价性，便于教师和学生自己在教学过程中了解是否已达到目标，以便及时调整教学/学习的策略。（3）教学目标：知识与技能目标：理解数列及有关概念，掌握简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法），了解数列是特殊的函数，了解数列的通项公式，以于比较简单的数列，会根据前几项的特征写出它的一个通项公式，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系。过程与方法目标：通过自然界及生活中的实例抽象出数列的概念，根据一些数列的前几项规律抽象、归纳出数列的通项公式，了解数列与函数的关系。

情感态度与价值观目标：了解数列源于我们的生活之中，通过研究数列可以揭示生活及自然中的一些规律。感受数列是刻画自然规律的数学模型，把生活实际与数学有机地联系在一起，体会数学就在我们身边。

（4）设计教学目标时要注意的事项：

①反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。例如，本节课的教学目标是数列及其概念，本质是特殊的函数。

②要有计划性，可评价性，要有本节课的内容及学习顺序，学习后学生应有什么样的变化，例如，本节课的教学目标是会根据前几项的特征写出它的一个通项公式等。

③格式要规范，用词要准确，要从知识和技能，过程与方法，情感态度价值观三方面来阐述，表述对象要统一，既要有刻画知识技能的目标动词“了解、理解、掌握、灵活运用”，又要有刻画数学活动水平的过程性目标动词“经历（感受）、体验（体会）和探索”等。例如，本节课的知识与技能目标设计为理解数