2017年上半年教师资格证考试《高中数学》真题（解析）

2017年上半年教师资格证考试《高中数学》题（解析）1解析本题主要考查函数极限的定义。根据函数极限的定义，若存在，则，,，且

x≠a，有

|f(x)-k|<δ=k-r，即

-(k-r)<f(x)-k<k-r，∴f(x)>r。A项:符合函数极限的定义，正确。

B项:缺少对邻域的范围界定，即，错误。

C项:描述不准确，应加，x≠，错误。

D项:描述不准确，应加，x≠，错误。

故正确答案为

A。2解析本题主要考查旋转变换公式的应用。

二阶旋转变换矩阵公式为

其中θ表示旋转角。当θ=时可得旋转变换。

故正确答案为D。

3解析本题主要考查柱面方程。

柱面的母线平行于x轴，因此柱面方程中不含有x，原曲线方程中两式通过运算得到，为双曲柱面。

故正确答案为

C。4解析本题主要考查积分学中的定积分与原函数之间的联系。由连续函数

f(x)可知，其存在原函数

F(x)，使得

F(x)=（C为任意常数）A项:f(x)的原函数不唯一，错误。B项:f(x)的原函数有无穷多个，正确。C项:f(x)的原函数可表示为(r为任意常数)，正确。D项:当C=0时，是f(x)的一个原函数，正确。本题为选非题，故正确答案为

A。

5解析本题主要考查条件概率公式的应用。

由于，且P(B)≤1，可得P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)≤P(A|B)。

故正确答案为B。6解析本题主要考查方阵的特征向量。A的特征多项式为|A-λE|＝=（λ+1）=0，解得特征值为=-1，==3。当=-1时，代入（A-）x=0，x=0，化简得到x=0得到=-，=0。令=1，则特征向量为，与C项符合；当=时，代入（A-3））x=0，x=0，化简得到x=0得到=，可任意取值，选项中没有对应的特征向量。故正确答案为C。

7解析本题主要考查数理知识。A项:《几何原本》是意大利传教士利玛窦和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》(15卷)合译所得，定名为《几何原本》。

B项:刘徽是我国古典数学理论的奠基人之一，代表作品有《九章算术注》和《海岛算经》。

C项:祖冲之是南北朝数学家，首次将圆周率精确到小数点后第七位。

D项:杨辉为南宋数学家和数学教育家，著有数学著作《详解九章算法》《日用算法》《乘除通变本末》《田亩比类乘除捷法》《续古摘奇算法》，后三本合称为《杨辉算法》。

故正确答案为

A。

8解析本题主要考查对数学教学论中概念教学定义的理解。数学概念的定义方法有:直觉定义法、属加种差定义法、发生式定义法、逆式定义法、约定性定义法、刻画性定义和过程性定义。A项:公理定义即概念的公理化定义，是指通过规定概念应具备的基本性质来定义概念，显然题干的定义方式不属于此种，排除。B项:属加种差定义，邻近的属+种差=被定义概念，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性，题干中“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，其邻近属为平行四边形，种差为其一角为直角，属于此种定义法，当选。C项:递归定义也称为归纳定义，是指用递归的方法给一个概念下定义，它由初始条件和归纳条件构成，显然题干的定义方式不属于此种，排除。D项:外延定义是一种实质定义，即通过揭示属概念所包括的种概念来明确该属概念之所指的定义，例如，实数是有理数和无理数的统称，与题干定义不符，排除。故正确答案为B。9正确答案是：

(1)对椭球面方程分别求

x，y，z的偏导数，则

，，。将点

M(1，1，1)代入，得到该点处的法向量为。

由点法式方程可知，所求切平面方程为。

(2)由切平面方程

可知其法向量为(4，2，6)，而平面

的法向量为，由两平面垂直可得

，

解得

k=2。

10正确答案是：(1)根据题意，设存在一组不全为

0的常数使得

，从而可得由此可得行列式化简得

t-1=0，解得

t=1。

(2)通过初等行变换由此可得向量组的一个极大线性无关组为

，。

11正确答案是：(1)设事件A=“选取的3杯饮料都是甲种品牌”，一次试验成功的概率为。独立进行5次试验，服从二项分布，。(2)此人具有品尝区分能力。理由：由(1)可知此随机试验成功的概率约为千分之一，是小概率事件，因此此人的成功基本可以排除偶然性，故此人具有品尝区分的能力。12正确答案是：《普通高中数学课程标准(实验)》明确指出：了解从具体实例中知道或者举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。因此，“了解函数的奇偶性”要求学生能够知道函数奇偶性的概念，知道奇函数定义域和函数图象都关于原点对称，且有函数式f(-x)=-f(x)成立;知道偶函数定义域和函数图象都关于y轴对称，且有函数式f(-x)=f(x)成立；学生能够从具体函数例子中分辨哪些是奇函数，哪些是偶函数。13正确答案是：(1)内容方面:“数列”一章包括数列的概念、等差数列的通项公式及等差中项的性质、等差数列的前n项和、等比数列的通项公式及等比中项的性质、等比数列的前n项和等内容。在设计题型时，考查的知识点应涵盖以上内容，做到有简有难，全面概括，以便宏观把握学生对本章知识的掌握情况。(2)题型方面:题型设计应多样化，可设置选择、填空、判断、解答等多种形式的题型，从不同角度考查学生对数列知识的掌握情况。(3)难易程度:试题的难度要有梯度性，兼顾不同层次的学生，可分为单一知识点的考查与综合知识的考查，同时应注意设置对重难点、易错点知识的考查，如“等差中项性质的应用”“裂项相消法求数列前n项和”等。14正确答案是：

（1）由于在上连续，因此其中。由=。当时，则有。则在上连续。（２）由可导定义知，15正确答案是：（1）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。

演绎推理：从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称之为演绎推理，“三段论”是演绎推理的一般模式。（2）合情推理在解决数学问题上的作用:不能作为数学证明的工具，但它具有创造性思维，对数学结论的发现十分有用。例如，在研究球体时，我们会自然想到圆，球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此可以推测，对于圆所具有的特征，球可能也具有，如圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径等。演绎推理在解决数学问题上的作用：可以作为数学证明的工具，缺少创造性，但它严密的论证有助于科学的理论化和系统化。例如，三角函数都是周期函数，y=sinα是三角函数，因此

y=sinα是周期函数。合情推理与演绎推理的关系:两者有区别，合情推理是从部分到整体、从个别到一般或从特殊到特殊的推理，演绎推理是从一般到特殊的推理;同时两者紧密联系，互相依赖，互为补充，演绎推理的一般性原理必须借助合情推理从具体的经验中概括出来，可以说没有合情推理就没有演绎推理;合情推理也离不开演绎推理，由合情推理得到的结论是否正确必须借助演绎推理去论证。

16正确答案是：（1）学生1在解答过程中只关注了-与同向或反向时，在两个向量模长相等时与满足的关系，但是忽略了-与两个向量不共线的情况。学生2在解答过程中虽然注意到向量模长的性质，即=·，但是在化简过程中把向量的数量积与实数乘法产生了混淆。学生3在解答过程中忽略了向量数量积的性质，即·=||||·cosθ，其中θ为两向量的夹角。（2）向量的线性运算不仅涉及向量的长度，还涉及向量的方向，因此提出以下问题引导学生思考问题1：向量在进行线性运算加减法的时候，满足什么样的运算法则呢？问题2：三角形法则与平行四边形法则，两种法则在计算过程中应根据向量的何种特征进行合理地选择呢？问题3：现在我们将a与b分两种情况进行讨论：①两向量共起点时，②两向量首尾相连时，两种情况下分别对两个向量进行减法的线性运算。可以在纸上画出与满足何种位置关系时，能够使|-|=||。我们又可以借助哪些特殊的图形对两个向量的位置关系进行描述呢？问题4：两种情况最终都可以用等腰三角形这样的图形进行概括描述，如图，在等腰三角形ABC中，其中AB=AC，令=，=，则-=-=。又AB=AC，则|-|=||。那么接下来，大家继续借助等腰三角形ABC，在其基础上画出2与-2，那么你可以发现什么结论呢？继续画出2与2-，那么你又可以发现什么结论呢？结论：根据三角形任意两边和大于第三边可以得出||>|-2|，2与2-的关系无法判断，应选A。（3）向量运算与实数运算的本质区别在于，向量运算不仅涉及向量长度的计算，还涉及向量的方向。向量的线性运算与实数运算虽然在运算过程中均满足：交换律、结合律、分配律，但是向量线性运算结果为向量，实数运算结果为实数。向量的数量积与实数运算虽然在运算过程中均满足：交换律、分配律且运算结果均为实数，但实数的乘法满足消去律，向量的数量积则不满足消去律。在实数运算中，若a≠0，且ab=0，则b=0。但在向量运算中，若≠0，且·=0，则有两种情况：=0或⊥。17正确答案

(1)针对高中函数的单调性中“增减”函数的概念形成过程的教学设置如下教学重点、难点:

教学重点:函数单调性的概念;

教学难点:在形成“增减”函数的形式化定义的过程中，从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达。(2)定义:函数的定义域为I，区间，任取中的两个值

，，当改变量时，有，则称函数

在区间上是增函数;若，则称函数在区间上是减函数。(3)高中函数单调性中增减性的研究是对初中相关内容的进一步深化和提高，具体给出了函数在某个区间是增函数或减函数的定义，要点归纳为:函数的单调性是相对于某个区间来说的;在增减函数形式化定义的形成过程中要注重从特殊到一般的过程。环节一:PPT展示一次函数和二次函数的图象，请学生观察函数图象的规律及图象上的特殊点。教师有针对性地由浅入深地提出问题以引发学生思考，引导学生分小组讨论，并展示讨论成果。最后教师总结，得出结论。教学方案:结合一次函数和二次函数的图象，请学生利用3分钟的时间分小组讨论两个函数的变化趋势。即:由图象可以看出一次函数的图象由左

至右是一直上升的;二次函数的图象在

y轴左侧是下降的，在轴右侧是上升的。环节二:引导学生在理解的基础上，结合直观感受学习函数单调性的概念。教学方案:学生通过感知函数图象的“上升”“下降”体会其反映的函数的一个基本性质———单调性。以二次函数

为例，请学生讨论如何描述函数图象的“上升”和“下降”。二次函数

的图象在轴左侧“下降”，也就是在区间上，随着的增大，相应的函数值减小;二次函数的图象在轴右侧“上升”，也就是在区间上，随着的增大，相应的函数值也增大。环节三:运用数学语言描述得到形式化定义。教学方案:教师进行总结得到增函数的定义，对于我们可以这样来描述“在区间上，随着的增大相应的函数值也增大”