线性代数基础班讲义(学生版)

1bbbGeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarebbbForevaluationonly.第一讲行列式要求2．会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式．行列式的概念(ax+ax=b(ax+ax=b解 a11b2-b1a21x=2x=aaa2a21 b1a22-a12b2x=x=aa-a12a21 aab+aba+baa-baa-aab-abaaaa+aaa+a aab+aba+baa-baa-aab-abaaaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaa112233122331132132132231122133112332a11aa11aa=aaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaa21a31D=a222311223312233113213213223112213321a31D=aa32a33abba11 1ba11aa12a22a32a11D=bb则Dbba11 1ba11aa12a22a32a11D=bb则D=aD=aaa23,221a3122 323,321a312,b 3aa33333a22a32123D123x=x=x=x=1,2,3.DDD2GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.a11a12a13a21a22a23a31a32a33112233122331132132132231a11a12a13a21a22a23a31a32a33112233122331132132132231122133112332,n递归式)1112...11112...1n............n1n2...n1n2...nn3GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.n例3证明上三角行列式D=na11a2a22aaaa2nnn1122nn.=1122nn.4GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.行列式的性质性质2互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。性质3行列式某行(列)的公因子可外提，即ii11*...*in=*1jkanj性质4若行列式中某一行(列)元素均为两数之和，则可分解为两个行列式之和，即**ain+bin=aa**ain+*bbi1bb*性质5将行列式的某行(列)元素k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。性质6行列式某行(列)元素乘以另一行(列)对应元素的代数余子式之和等于零，即5GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.三、行列式的计算法：n例4计算D=na11112a21an计算Dn+1=a011anxx，x0.6例5计算D=.n例6计算范德蒙行列式D=n例5计算D=.n例6计算范德蒙行列式D=nForevaluationonly.x1mx1xx22xm2x2xnxnnxmn11a121a11a11a22a22a21an2ananabc2ab2b2ca+b=7GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.2.克拉默法则非齐次线性方程组(1)若其系数行列式D=(aij)丰0，则方程组有唯一解 j jjD其中Dj为把D的第j列换成常数列得到的行列式。(2)若该非齐次线性方程组有无穷多解或无解，则其系数行列式D=0.齐次线性方程组(1)若其系数行列式D=(aij)丰0，则方程组只有零解；(2)该齐次线性方程组有非零解D=0.例7解方程组4=1,8GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.9GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.第二讲矩阵及其运算要求质.矩阵求逆矩阵．变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．阵的概念引例矩阵的一一对应关系(a11x1+a12x2+…+a1nx1=b1,「a11…a1nb1]矩阵的一一对应关系(y1=a11x1+a12x2+…+a1nx1,「a11a12…a1n]2.定义「a11a12…a1n]||A=(aij)m根n=|，其中aij为实数。Lam1Lam1am2…amn」3.同型矩阵与矩阵相等4.几个特殊类型的矩阵(1)零矩阵：元素都是0。(2)行矩阵，列矩阵「b]A=(a1a2…am)(行向量)；B=|「b]GeneratedbyFoxitPDFCreatorForevaluationonly.单位矩阵E=|1|=In||「k]数量矩阵kE=L]对角矩阵Λ=|λ2|矩阵对称矩阵AT=A，反对称矩阵AT=-A阵的运算算(1)加减(2)数乘2.矩阵乘法GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.a2…an),B=||||：GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.3.方阵的乘幂与多项式(1)乘幂k个 (2)方阵的多项式m次多项式(结果为与A同阶的方阵)GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.4.矩阵的转置(1)定义(2)性质5.方阵的行列式A「A11A21…An1]|…………|LAnLAnA2n…Ann」E「21200]0GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.逆矩阵2.定义AGeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.3.矩阵可逆条件与求逆公式A可逆A0。EAEGeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly. bEBaE(2)A可逆一B可逆。A，B，C，D都是n阶矩阵，满足ABCD=E。证明：矩阵A，B，C，D都可逆，并求A-1，B-1。01]0|0-5」GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.4.逆矩阵的性质(1)当矩阵A可逆时，有BBAGeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.「260]例10设矩阵A可逆，且A*B=A1+B,证明矩阵B可逆。当A=|时,求矩阵B.(1)加减(2)数乘(3)乘法AGeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitAForevaluationonly.(4)转置(5)分块对角阵的行列式与逆=|=|A|，其中Ai均为方阵，且都可逆，A=A1A2…As；A-1A-1=|2A-12A]|0||||003200011000004-10]00202|0GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitForevaluationonly.2.两种常用的分块方法\am1am2…amn)\bm)Ab=(Ab=(a1,a2,…,an)||=b1a1+b2a2+…+bnan.a1a2a12a22a323a3组形式Ax=b。形式x1a1+x2a2+…+xnan=b。1GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.\bni)即AB的第i个列向量ri是A的列向量组a1,a2,…,an的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的aaaaaa注对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用其主对角线上的元素依次乘A的各列向量；对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用其主对角线上的元素依次乘A的各行向量；只须把对角线上对应元素相乘；对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂。、矩阵的初等变换法②用一个非0数k乘某一个方程；③把某一方程的k倍加到另一个方程上去。例如，用消元法求解线性方程组(211-111341024)52)(112\1004)52)(112\100542)1133930142009313))11-1))1212000000000000EEE于是方程组的解为x4=2，x3=-3，x2定义矩阵三种初等行(列)变换〈|lGeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.(1)定义换共有3种初等矩(1000000010010000000000000000000000=||=||0(100000|0k000000100000000000000000000||=0||=00|E(i,j(k))：把E的第j行的k倍加到第i行上，或把E的第i列的k倍加到第j列上，(100000|01000k00100000000000000000000||=0||=00|3GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.(2)初等矩阵的作用定理对A实施一次初等行(列)变换，相当于左(右)乘相应的初等矩阵。(100k0)|01000|=(a1,a2,a3,a4,a5)|00100|=(a1,a2,a3,ka1+a4,a5)(3)初等矩阵的运算性质E(i,j)=-1,E(i(k))=k,E(i,j(k))=1；4.等价矩阵BAB4|GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftware|Forevaluationonly.5.利用初等变换求矩阵的逆矩阵、解矩阵方程「100]已知A=1101|1|5GeneratedbyFoxitPDFCreator©Forevaluationonly.第三讲向量要求无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.渡矩阵．(数一要求)7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法．8．了解规范正交基(数一要求)、正交矩阵的概念以及它们的性质．一、向量的概念与运算线性运算「b1]二、线性组合与线性表示设有向量组a1,a2,…,as，k1a1+k2a2+…+ksas为向量组a1,a2,…,as的一个线性组合，其中线性表示。可记为b)a1,a2,…,as。例如，0)a1,a2,…,as，ai)a1,a2,…,as。示。2)若b可以由a1,a2,…,as的部分向量组线性表示，则b)a1,a2,…,as。6GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.2.向量组间的线性表示与等价2则QTAQ=。7GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.三、线性相关与线性无关性表示关系定义则称a1,a2,…,as线性相关，否则称a1,a2,…,as线性无关。aasa,a2,…,as线性相关。2)单个非零向量线性无关。8GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.2,232线性相关；9GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.3.向量组线性相关性的基本性质GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.2.向量组秩的基本性质(2)判断下列部分组中哪几个是极大无关组：(b)GeneratedbyFoxitPDFCreator©(b)Forevaluationonly.的秩.矩阵的秩的定义矩阵秩的基本性质(1)初等变换不改变矩阵的秩。AA丰0一A可逆一A的行(列)向量组线性无关一Ax=0只有零解，Ax=bGeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitForevaluationonly. (8)设A是n阶矩阵，则Y(A*)=〈|1,An4.矩阵秩的基本计算方法GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.b和b=2：bb和b=2：bn)GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关。(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。、向量空间)量的内积(1)定义(2)向量正交「b]「b](3)向量的模施密特正交化方法4.规范正交基(正交矩阵的构造方法)nGeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.第四讲线性方程组要求性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．．代数形式〈bm与通解二、齐次方程组有非零解的条件及解的结构(1)〈1 (3)〈GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.的判定有非零解<有非零解<丰一A0。质4.基础解系与通解(1)基础解系——解向量集合的一个极大无关组。(2)通解GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.(3)求解Amxnx=0通解的方法步骤GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.「1||||例3设A=11203a1155③b1+b2+b3,b1-b3；④b1,b3,b1-b2+b3。0GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.三、非齐次方程组有解的条件及解的结构x的判定1GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.质snAx4.非齐次的通解2GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.3GeneratedbyFoxitPDFCreator©Forevaluationonly.第五讲相似矩阵，方阵的特征值，特征向量要求方法.似对角矩阵的方法.阵的特征值和特征向量的性质．JJJ「Er0]J一、相似矩阵的概念与性质、方阵可对角化条件对A作相似变换。若Q-1AQ=Λ=4|GeneratedbyFoxitPDFCreator©|Forevaluationonly.2．相似矩阵的基本性质B方阵可对角化条件2λ25)2)1)|AT=053-32)2)1)|AT=053-32Forevaluationonly.三、方阵的特征值，特征向量特征向量定义，得\2.特征值、特征向量的求法70000102-320532-3-2--3)(1)特征值求法(2)特征向量求法A6GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.(100)3.特征值、特征向量的基本性质(1)(kA)a=(k入)a.(2)(aA+bE)a=aAa+ba=a入a+ba=(a入+b)a.aa…a的特征向量1,2,aa…a7GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.例如，An=AAAn=入3n； 入nA。8GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.i=1i=1i=1x-a-a21-a31-ax-a22-a32-a-a23x-a332-2-1-111]22|9GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.特征值、特征向量及其对角化称矩阵的特征值，特征向量性质「λ]可对角化，且必可找到一正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=|1λ2|，其中λi为A「λ]2.实对称矩阵的正交变换对角化方法「1-22]例5设A=|-2-24|，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角阵。GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.第六讲二次型要求y问题(1)5x2+5y2-6xy=2在平面直角坐标系中是什么曲线？如何研究二、二次型的基本概念及其矩阵表示n个变量的二次齐次多项式函数称为n元二次型(系数为实数的称为实二次型)，其一般形式为f(x1,x2,…,xn)=naiix+2aijxixji=1i<jGeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwareForevaluationonly.211112121n1n211112121n1n212122222n2n+axx+212122222n2n21n1n