2026年天津市苏教版高中数学高二年级下册第7章函数性质综合测试卷

2026年天津市苏教版高中数学高二年级下册第7章函数性质综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.10B.8C.6D.4解析：首先对函数f(x)求导得到f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0解得x=0或x=2。分别计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，因此最大值M=18，最小值m=-10，M+m=8。选项B正确。2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,2]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数g(x)在x=-2时取最小值3，在x=1时取值2，在x=2时取值3，因此区间(-∞,2]上的最小值为2。选项B正确。3.若函数h(x)=x²+2ax+1在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：由h'(x)=2x+2a，令x=1得到2+2a=0，解得a=-1。选项A正确。4.函数k(x)=ln(x²-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,3)∪(3,+∞)D.R解析：由x²-2x+3>0恒成立，因此定义域为实数集R。选项D正确。5.函数p(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.eB.1/eC.2eD.1解析：由p'(x)=e^x-a，令x=1得到e-a=0，解得a=e。选项A正确。6.函数q(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.8π解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。选项A正确。7.函数r(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称，则实数k的值为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：若图象关于(1,0)对称，则r(1+k)-r(1)=-2k，代入r(x)得k=-1。选项B正确。8.函数s(x)=2^x-4x在区间(0,2)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：由s'(x)=2^xln2-4，令s'(x)=0解得x=ln(4/ln2)，此时函数取得极值，因此单调性为先增后减。选项C正确。9.函数t(x)=√(x²+1)-x在区间(0,+∞)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.不确定解析：由t'(x)=x/(√(x²+1)-x)>0，因此函数单调递增。选项A正确。10.函数u(x)=x/(x²-1)在区间(1,+∞)上的值域为（）A.(0,1/2)B.(0,1)C.(0,1/3)D.(0,1/4)解析：令y=x/(x²-1)，变形为y(x²-1)=x，即yx²-x-y=0，由判别式Δ=(-1)²-4y(-y)=1+4y²>0，解得y>0，又由x²=(x-y)/(y-1)>1，解得y<1/2，因此值域为(0,1/2)。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数v(x)=x³-3x+1的极值点为_________解：由v'(x)=3x²-3=0解得x=±1，经检验x=1为极大值点，x=-1为极小值点。参考答案：x=±12.函数w(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_________解：分段函数w(x)在x=-2时取值3，在x=1时取值2，在x=2时取值3，因此最小值为2。参考答案：23.函数z(x)=ln(x²-2x+3)在x=1处的导数为_________解：由z'(x)=2x-2/(x²-2x+3)，代入x=1得到z'(1)=0。参考答案：04.函数p(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的取值范围是_________解：由p'(x)=e^x-a，令x=1得到e-a=0，解得a=e，又由p''(x)=e^x>0，因此a=e。参考答案：e5.函数q(x)=sin(x)+cos(2x)的图象关于点(π/2,0)对称，则k的值为_________解：由sin(x+k)+cos(2x+k)=sin(x)+cos(2x)，得到sink=-sin(2x+k)，cosk=-cos(2x+k)，解得k=π/2。参考答案：π/26.函数r(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称，则实数k的值为_________解：由r(1+k)-r(1)=-2k，代入r(x)得k=-1。参考答案：-17.函数s(x)=2^x-4x在区间(0,2)上的最大值为_________解：由s'(x)=2^xln2-4，令s'(x)=0解得x=ln(4/ln2)，计算s(0)=1，s(2)=4-8=-4，s(ln(4/ln2))>0，因此最大值为s(ln(4/ln2))。参考答案：s(ln(4/ln2))8.函数t(x)=√(x²+1)-x在区间(0,+∞)上的值域为_________解：由t'(x)=x/(√(x²+1)-x)>0，因此函数单调递增，又由t(0)=1，lim(x→+∞)t(x)=0，因此值域为(0,1)。参考答案：(0,1)9.函数u(x)=x/(x²-1)在区间(1,+∞)上的最大值为_________解：令y=x/(x²-1)，变形为yx²-x-y=0，由判别式Δ=1+4y²>0，解得y>0，又由x²=(x-y)/(y-1)>1，解得y<1/2，因此最大值为1/2。参考答案：1/210.函数v(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值之差为_________解：由v'(x)=3x²-6x=0解得x=0或x=2，计算v(-2)=-10，v(0)=2，v(2)=-2，v(4)=18，因此最大值M=18，最小值m=-10，M-m=28。参考答案：28三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极大值。（）解：由f'(x)=3x²-3=0解得x=±1，经检验x=1为极大值点。参考答案：正确2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在x=0处取得最小值。（）解：分段函数在x=1时取最小值2，不在x=0处。参考答案：错误3.函数h(x)=x²+2ax+1在x=1处取得极小值，则a=1。（）解：由h'(x)=2x+2a，令x=1得到2+2a=0，解得a=-1。参考答案：错误4.函数k(x)=ln(x²-2x+3)的定义域为实数集R。（）解：由x²-2x+3>0恒成立，因此定义域为R。参考答案：正确5.函数p(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=e。（）解：由p'(x)=e^x-a，令x=1得到e-a=0，解得a=e。参考答案：正确6.函数q(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为π。（）解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。参考答案：正确7.函数r(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称。（）解：由r(1+k)-r(1)=-2k，代入r(x)得k=-1，因此对称中心为(1,0)。参考答案：正确8.函数s(x)=2^x-4x在区间(0,2)上单调递减。（）解：由s'(x)=2^xln2-4，令s'(x)=0解得x=ln(4/ln2)，此时函数取得极值，因此单调性为先增后减。参考答案：错误9.函数t(x)=√(x²+1)-x在区间(0,+∞)上单调递减。（）解：由t'(x)=x/(√(x²+1)-x)>0，因此函数单调递增。参考答案：错误10.函数u(x)=x/(x²-1)在区间(1,+∞)上的值域为(0,1/2)。（）解：令y=x/(x²-1)，变形为yx²-x-y=0，由判别式Δ=1+4y²>0，解得y>0，又由x²=(x-y)/(y-1)>1，解得y<1/2，因此值域为(0,1/2)。参考答案：正确四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的极值点。解：由f'(x)=3x²-6x=0解得x=0或x=2，经检验x=0为极大值点，x=2为极小值点。2.求函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数在x=1时取最小值2，此时x=1。3.求函数h(x)=x²+2ax+1在x=1处取得极小值时a的值。解：由h'(x)=2x+2a，令x=1得到2+2a=0，解得a=-1。4.求函数k(x)=ln(x²-2x+3)的定义域。解：由x²-2x+3>0恒成立，因此定义域为实数集R。5.求函数p(x)=e^x-ax在x=1处取得极值时a的值。解：由p'(x)=e^x-a，令x=1得到e-a=0，解得a=e。6.求函数q(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期。解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。7.求函数r(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件。解：充要条件为r(1+k)-r(1)=-2k，代入r(x)得k=-1。8.求函数s(x)=2^x-4x在区间(0,2)上的单调性。解：由s'(x)=2^xln2-4，令s'(x)=0解得x=ln(4/ln2)，此时函数取得极值，因此单调性为先增后减。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-2,4]上的最大值和最小值。解：由f'(x)=3x²-6x=0解得x=0或x=2，计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，因此最大值M=18，最小值m=-10。2.已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|，求g(x)在区间(-2,2)上的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数在x=1时取最小值2，此时x=1。3.已知函数h(x)=x²+2ax+1在x=1处取得极小值，求h(x)在x=3时的值。解：由h'(x)=2x+2a，令x=1得到2+2a=0，解得a=-1，代入h(x)得h(3)=9-6+1=4。4.已知函数k(x)=ln(x²-2x+3)，求k(x)在x=2时的导数。解：由k'(x)=2x-2/(x²-2x+3)，代入x=2得到k'(2)=4-2/3=10/3。5.已知函数p(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，求p(x)在x=0时的值。解：由p'(x)=e^x-a，令x=1得到e-a=0，解得a=e，代入p(x)得p(0)=1。6.已知函数q(x)=sin(x)+cos(2x)，求q(x)在x=π/4时的值。解：代入x=π/4得到q(π/4)=√2/2+√2/2=√2。7.已知函数r(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称，求r(x)在x=-1时的值。解：由r(1+k)-r(1)=-2k，代入r(x)得k=-1，代入r(x)得r(-1)=-1+3+1=3。8.已知函数s(x)=2^x-4x，求s(x)在x=1时的导数。解：由s'(x)=2^xln2-4，代入x=1得到s'(1)=2ln2-4。六、案例分析（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²+10x+100（x为产量），求产量x=10时的边际成本。解：边际成本为C'(x)=2x+10，代入x=10得到C'(10)=30。2.某商品的需求函数为p=50-2x（p为价格，x为销量），求当x=10时的需求弹性。解：需求弹性为Ep=-dp/dx•x/p=-(-2)•10/30=2/3。3.某公司投资某项目的收益函数为R(x)=100x-x²（x为投资额），求投资额x=20时的边际收益。解：边际收益为R'(x)=100-2x，代入x=20得到R'(20)=60。4.某产品的成本函数为C(x)=x³-6x²+15x+50，求成本函数的凹凸区间。解：由C''(x)=6x-12，令C''(x)=0解得x=2，当x<2时C''(x)<0，函数凹；当x>2时C''(x)>0，函数凸。5.某商品的需求函数为p=100-3x，求当x=10时的需求价格弹性。解：需求价格弹性为Ep=-dp/dx•x/p=-(-3)•10/70=3/7。6.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²+5x+100，求产量x=5时的平均成本。解：平均成本为C(x)/x=x+5+100/x，代入x=5得到平均成本为20。7.某产品的收益函数为R(x)=50x-x²，求当x=20时的边际收益。解：边际收益为R'(x)=50-2x，代入x=20得到R'(20)=10。8.某商品的需求函数为p=80-4x，求当x=10时的需求价格弹性。解：需求价格弹性为Ep=-dp/dx•x/p=-(-4)•10/40=1。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法及其应用。解：函数单调性判定方法：（1）若f'(x)>0，则f(x)单调递增；（2）若f'(x)<0，则f(x)单调递减。应用：可判断函数增减区间、求最值、证明不等式等。2.论述函数极值与最值的区别与联系。解：区别：极值是局部性质，最值是全局性质；联系：最值一定是极值，但极值不一定是最值。3.论述函数凹凸性的判定方法及其几何意义。解：凹凸性判定方法：（1）若f''(x)>0，则f(x)凹；（2）若f''(x)<0，则f(x)凸。几何意义：凹函数图象为"U"型，凸函数图象为"∩"型。4.论述函数对称性的判定方法及其应用。解：对称性判定方法：（1）若f(-x)=f(x)，则关于y轴对称；（2）若f(a-x)=f(a+x)，则关于x=a对称。应用：可简化函数研究、求函数值等。5.论述函数周期性的判定方法及其应用。解：周期性判定方法：（1）若存在T>0，使f(x+T)=f(x)恒成立，则f(x)周期；（2）最小正周期T满足f(x+T)=f(x)。应用：可简化函数图象绘制、求函数值等。6.论述函数零点存在性定理及其应用。解：零点存在性定理：若f(a)f(b)<0，则f(x)在(a,b)内至少有一个零点。应用：可判断方程根的存在性、求根的近似范围等。7.论述函数极值点的判定方法。解：极值点判定方法：（1）驻点法：若f'(x)=0且f''(x)≠0，则x为极值点；（2）导数变号法：若f'(x)在x处变号，则x为极值点。8.论述函数最值求解的一般步骤。解：一般步骤：（1）求导数，找出驻点和不可导点；（2）比较端点值、驻点值、不可导点值；（3）最大值为最大值，最小值为最小值。9.论述函数凹凸性与二阶导数的关系。解：关系：（1）若f''(x)>0，则f(x)凹；（2）若f''(x)<0，则f(x)凸；（3）若f''(x)=0，则可能存在拐点。10.论述函数对称性与奇偶性的关系。解：关系：（1）偶函数f(x)关于y轴对称；（2）奇函数f(x)关于原点对称；（3）非奇非偶函数既不对称也不对称。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.D5.A6.A7.B8.C9.A10.A二、填空题1.x=±112.213.014.e15.π/216.-117.s(ln(4/ln2))2.(0,1)19.1/220.28三、判断题1.正确22.错误23.错误24.正确25.正确26.正确2.正确28.错误29.错误30.正确四、简答题1.极大值点x=0，极小值点x=22.最小值2，取得最小值时的x=13.a=-14.定义域为实数集R5.a=e6.最小正周期π7.充要条件为r(1+k)-r(1)=-2k，k=-18.单调性为先增后减五、应用题1.最大值M=18，最小值m=-102.最小值2，取得最小值时的x=13.h(3)=44.k'(2)=10/35.p(0)=16.q(π/4)=√27.r(-1)=38.s'