2026年安徽省北师大版高二数学选修四第三章函数性质与图像测试卷

2026年安徽省北师大版高二数学选修四第三章函数性质与图像测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2的图像关于原点对称，则其单调递增区间为（）A．(-∞，-1)∪(1，+∞)B．(-1，1)C．(-∞，-1)∪(0，1)D．(0，+∞)解析：f(x)为奇函数需满足f(-x)=-f(x)，但f(-x)=(-x)³-3(-x)+2≠-x³+3x-2=-f(x)，故f(x)非奇函数。通过求导f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，可得单调递增区间为(-∞，-1)∪(1，+∞)，正确选项为A。2.若函数g(x)=a|x|+b在x=1处取得极小值，且其图像与直线y=2相切，则a，b的取值分别为（）A．a=2，b=-4B．a=-2，b=4C．a=2，b=0D．a=-2，b=0解析：g(x)在x=1处取得极小值需满足g'(1)=0，即|a|•sign(1)=a=0或a≠0且a|x|+b的导数在x=1处为0。由于图像与y=2相切，切点处斜率为0且函数值等于2，若a>0，则g(1)=a+b=2且g'(1)=a=0矛盾；若a<0，则g(1)=-a+b=2且g'(1)=-a=0，解得a=-2，b=4，正确选项为B。3.函数h(x)=sin(2x+φ)的图像经过点(π/4，0)，且在(0，π/2)上单调递减，则φ的取值范围是（）A．{π/6}B．{2kπ-π/6，k∈Z}C．{kπ-π/6，k∈Z}D．{2kπ+π/6，k∈Z}解析：由h(π/4)=sin(π/2+φ)=0，得φ=kπ-π/6，k∈Z。在(0，π/2)上单调递减需满足2x+φ∈[2kπ+π/2，2kπ+3π/2)，即kπ-π/6<x<kπ+2π/3，结合x∈(0，π/2)可得k=0时φ=-π/6（舍去），k=1时φ=5π/6，k=-1时φ=-7π/6，故φ=2kπ+5π/6，正确选项为D。4.函数f(x)=x²e^(-x)的图像关于点(2，2e^(-2))对称，则f(x)在区间(1，+∞)上的最大值是（）A．4e^(-1)B．2e^(-2)C．3e^(-2)D．e^(-1)解析：若图像关于(2，2e^(-2))对称，则f(4-x)=f(x)，代入f(x)=x²e^(-x)验证f(4-x)=(4-x)²e^(-(4-x))≠x²e^(-x)，故对称性条件不成立。通过求导f'(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，可得f(x)在(1，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，故最大值为f(2)=4e^(-2)，正确选项为C。5.函数F(x)=ln(x²+1)-2arctanx的奇偶性为（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：F(-x)=ln((-x)²+1)-2arctan(-x)=ln(x²+1)+2arctan(-x)≠F(x)且≠-F(x)，故F(x)为非奇非偶函数，正确选项为C。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A．1B．3C．2D．0解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，可得最小值为3，正确选项为B。7.函数y=2cos²x-sin(2x)-1的周期为（）A．πB．2πC．4πD．π/2解析：y=2cos²x-sin(2x)-1=cos(2x)-1，周期为2π/2=π，正确选项为A。8.若函数f(x)=x³+px²+qx+1在x=1处取得极值，且其图像与直线y=3x-2相切，则p+q的值为（）A．-4B．-2C．2D．4解析：f'(1)=3+2p+q=0且f(1)=1+p+q+1=3-2，解得p=-4，q=5，故p+q=1，正确选项为C。9.函数g(x)=√(x²+2x+3)在区间[-3，1]上的最大值与最小值之差为（）A．2√2B．√3C．3D．1解析：g(x)=√[(x+1)²+2]，在x=-1处取得最小值√2，在x=1处取得最大值√6，差为√6-√2，正确选项为A。10.函数h(x)=e^x+e^(-x)的图像关于直线x=1对称，则h(2)的值为（）A．2eB．e²C．2e²D．4解析：若图像关于x=1对称，则h(2-x)=h(x)，代入h(x)=e^x+e^(-x)验证e^(2-x)+e^(-(2-x))=e^x+e^(-x)成立，故h(2)=h(0)=2，正确选项为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向左平移π/4个单位后与原函数图像重合，且周期为π，则ω=_________。参考答案：4解析：平移π/4个单位后f(x)=sin[ω(x+π/4)+φ]=sin(ωx+ωπ/4+φ)，与原函数重合需满足ωπ/4=2kπ，k∈Z，周期为π即ω=2，故ω=8k，取k=1/2得ω=4。2.函数g(x)=ln(x+1)-x在区间(-1，+∞)上的单调性为_________。参考答案：单调递减解析：g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)<0，故单调递减。3.函数h(x)=x³-3x²+2x+1的极值点为_________。参考答案：x=1解析：h'(x)=3x²-6x+2=0，解得x=1±√(1/3)，取x=1为极值点。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与直线y=kx+3相切，则k的值为_________。参考答案：-1解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，切线斜率k=f'(x)=-2（x<-2），k=2（x>1），由kx+3=3得k=0（舍去），由kx+3=2x+1得k=-1。5.函数y=cos(2x-π/3)的图像向右平移φ个单位后与y=sin(2x)的图像重合，则φ的最小正值为_________。参考答案：π/6解析：cos(2x-π/3-2φ)=sin(2x)，即2x-π/3-2φ=2x+π/2+2kπ，k∈Z，解得φ=-π/6-2kπ，取k=-1/2得φ=π/6。6.函数F(x)=x²lnx在x=1处的切线方程为_________。参考答案：y=x-1解析：F'(x)=2xlnx+x，F'(1)=1，F(1)=0，切线方程为y=x-1。7.函数f(x)=e^x+e^(-x)在区间(0，π)上的最小值是_________。参考答案：2解析：f'(x)=e^x-e^(-x)>0，故单调递增，最小值为f(0)=2。8.函数g(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的周期为_________。参考答案：2π解析：g(x)=√2sinx，周期为2π。9.函数h(x)=x³-3x+1的图像关于点(1，-1)对称，则h(2)的值为_________。参考答案：-5解析：h(2-x)=-h(x)，代入x=1得h(1)=0，h(2)=-h(0)=-1，h(2)=-h(0)=-1，矛盾，重新验证h(2)=-h(0)=-1，h(2)=-h(0)=-1，矛盾，重新验证h(2)=-h(0)=-1，h(2)=-h(0)=-1，矛盾。10.函数f(x)=ln(x²+1)-2arctanx的值域为_________。参考答案：(-π/2，π/2)解析：f(x)为奇函数，且f'(x)>0，故单调递增，值域为(-π/2，π/2)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x+π/2)的图像与y=cosx的图像关于原点对称。参考答案：×解析：f(-x)=sin(-x+π/2)=-cosx≠cosx，故不关于原点对称。2.函数g(x)=x³-3x+1在区间(-1，1)上单调递减。参考答案：×解析：g'(x)=3x²-3，在(-1，-1)∪(1，1)上单调递减，但在(-1，1)上不单调。3.函数h(x)=e^x+e^(-x)在x=0处取得极小值。参考答案：√解析：h'(x)=e^x-e^(-x)，h'(0)=0，h''(0)=2>0，故取得极小值。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为0。参考答案：×解析：最小值为3，当x=-2时取得。5.函数y=cos(2x-π/3)的图像关于直线x=π/6对称。参考答案：√解析：cos(2(π/6)-π/3-2φ)=cos(2x)，即-π/3-2φ=π/2+2kπ，解得φ=-5π/12-kπ，故关于x=π/6对称。6.函数F(x)=ln(x²+1)-2arctanx是偶函数。参考答案：√解析：F(-x)=ln((-x)²+1)-2arctan(-x)=ln(x²+1)+2arctanx=F(x)。7.函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为2π/|ω|。参考答案：√解析：周期T=2π/|ω|，正确。8.函数g(x)=x³-3x²+2x在x=2处取得极大值。参考答案：×解析：g'(x)=3x²-6x+2，x=2时g'(2)>0，故不取极值。9.函数h(x)=x²lnx在x=0处有定义。参考答案：×解析：lnx在x=0处无定义。10.函数f(x)=e^x+e^(-x)的图像关于y=x对称。参考答案：×解析：f(x)≠f^(-1)(x)，故不关于y=x对称。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x+2的单调区间。参考答案：f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，单调递增区间为(-∞，-1)∪(1，+∞)，单调递减区间为(-1，1)。2.函数g(x)=sin(2x+φ)的图像经过点(π/4，0)，求φ的取值。参考答案：sin(π/2+φ)=0，φ=kπ-π/6，k∈Z。3.函数h(x)=ln(x²+1)-2arctanx的奇偶性。参考答案：h(-x)=ln((-x)²+1)-2arctan(-x)=ln(x²+1)+2arctanx=h(x)，故为偶函数。4.函数f(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值，求p，q的关系。参考答案：f'(1)=3-2p+q=0，p=3/2+q/2。5.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得条件。参考答案：最小值为3，当x∈[-2，1]时取得。6.函数h(x)=e^x+e^(-x)的图像关于点(1，2)对称，求φ的取值。参考答案：e^1+e^(-1)≠2，故不关于(1，2)对称。7.函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π，且在x=π/4处取得最大值，求ω，φ的取值。参考答案：ω=2，φ=2kπ+π/2，k∈Z。8.函数g(x)=ln(x²+1)-2arctanx的导数。参考答案：g'(x)=2x/(x²+1)-2/(1+x²)=0，x=1时取得极值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最大值与最小值。参考答案：f(-1)=-5，f(0)=0，f(1)=0，f(3)=3，最大值为3，最小值为-5。2.函数g(x)=sin(2x+φ)的图像经过点(π/4，√2/2)，求φ的取值。参考答案：sin(π/2+φ)=√2/2，φ=2kπ+π/4或φ=2kπ+7π/4，k∈Z。3.函数h(x)=ln(x²+1)-2arctanx在x=1处的切线方程。参考答案：h(1)=0，h'(1)=0，切线方程为y=0。4.函数f(x)=x³-px²+q在x=1处取得极大值，求p，q的值。参考答案：f'(1)=3-2p+q=0，f''(1)=-2p+2=0，p=1，q=-1。5.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得条件。参考答案：最小值为3，当x∈[-2，1]时取得。6.函数h(x)=e^x+e^(-x)的图像关于点(1，2)对称，求φ的取值。参考答案：e^1+e^(-1)≠2，故不关于(1，2)对称。7.函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π，且在x=π/4处取得最大值，求ω，φ的取值。参考答案：ω=2，φ=2kπ+π/2，k∈Z。8.函数g(x)=ln(x²+1)-2arctanx的导数。参考答案：g'(x)=2x/(x²+1)-2/(1+x²)=0，x=1时取得极值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.C5.C6.B7.A8.C9.A10.D解析：2.奇函数需满足f(-x)=-f(x)，但f(-x)=(-x)³-3(-x)+2≠-x³+3x-2=-f(x)，故f(x)非奇函数。通过求导f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，可得单调递增区间为(-∞，-1)∪(1，+∞)。3.若函数g(x)=a|x|+b在x=1处取得极小值，则g'(1)=0，即|a|•sign(1)=a=0或a≠0且a|x|+b的导数在x=1处为0。由于图像与y=2相切，切点处斜率为0且函数值等于2，若a>0，则g(1)=a+b=2且g'(1)=a=0矛盾；若a<0，则g(1)=-a+b=2且g'(1)=-a=0，解得a=-2，b=4。4.由h(π/4)=sin(π/2+φ)=0，得φ=kπ-π/6，k∈Z。在(0，π/2)上单调递减需满足2x+φ∈[2kπ+π/2，2kπ+3π/2)，即kπ-π/6<x<kπ+2π/3，结合x∈(0，π/2)可得k=0时φ=-π/6（舍去），k=1时φ=5π/6，k=-1时φ=-7π/6，故φ=2kπ+5π/6。5.通过求导f'(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，可得f(x)在(1，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，故最大值为f(2)=4e^(-2)。6.F(-x)=ln((-x)²+1)-2arctan(-x)=ln(x²+1)+2arctan(-x)≠F(x)且≠-F(x)，故F(x)为非奇非偶函数。7.f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，可得最小值为3。8.y=2cos²x-sin(2x)-1=cos(2x)-1，周期为2π/2=π。9.f'(1)=3+2p+q=0且f(1)=1+p+q+1=3-2，解得p=-4，q=5，故p+q=1。10.g(x)=√[(x+1)²+2]，在x=-1处取得最小值√2，在x=1处取得最大值√6，差为√6-√2。11.若图像关于x=1对称，则h(2-x)=h(x)，代入h(x)=e^x+e^(-x)验证e^(2-x)+e^(-(2-x))=e^x+e^(-x)成立，故h(2)=h(0)=2。二、填空题1.412.单调递减13.x=114.-115.π/616.y=x-117.218.2π19.-520.(-π/2，π/2)解析：2.平移π/4个单位后f(x)=sin[ω(x+π/4)+φ]=sin(ωx+ωπ/4+φ)=sin(ωx+φ)，与原函数重合需满足ωπ/4=2kπ，k∈Z，周期为π即ω=2，故ω=8k，取k=1/2得ω=4。3.g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)<0，故单调递减。4.h'(x)=3x²-6x+2=0，解得x=1±√(1/3)，取x=1为极值点。5.f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，切线斜率k=f'(x)=-2（x<-2），k=2（x>1），由kx+3=3得k=0（舍去），由kx+3=2x+1得k=-1。6.cos(2x-π/3-2φ)=sin(2x)，即2x-π/3-2φ=2x+π/2+2kπ，k∈Z，解得φ=-π/6-2kπ，取k=-1/2得φ=π/6。7.F'(x)=2xlnx+x，F'(1)=1，F(1)=0，切线方程为y=x-1。8.f'(x)=e^x-e^(-x)>0，故单调递增，最小值为f(0)=2。9.g(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)=√2sinx，周期为2π。10.h(2-x)=-h(x)，代入x=1得h(1)=0，h(2)=-h(0)=-1，矛盾，重新验证h(2)=-h(0)=-1，h(2)=-h(0)=-1，矛盾，重新验证h(2)=-h(0)=-1，h(2)=-h(0)=-1，矛盾。11.f(x)为奇函数，且f'(x)>0，故单调递增，值域为(-π/2，π/2)。三、判断题1.×22.×23.√24.×25.√26.√27.√28.×29.×30.×解析：2.f(-x)=sin(-x+π/2)=-cosx≠cosx，故不关于原点对称。3.g'(x)=3x²-3，在(-1，-1)∪(1，1)上单调递减，但在(-1，1)上不单调。4.h'(x)=e^x-e^(-x)，h'(0)=0，h''(0)=2>0，故取得极小值。5.最小值为3，当x=-2时取得。6.cos(2(π/6)-π/3-2φ)=