2026年天津市苏教版初中数学第3章课后练习题

2026年天津市苏教版初中数学第3章课后练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版初中数学第3章中，关于二次函数y=ax²+bx+c的图像性质，下列说法正确的是（）A.当a>0时，函数图像开口向上，顶点为最高点B.当b=0时，函数图像关于y轴对称，对称轴为x=bC.当c=0时，函数图像与y轴相交于原点(0,0)D.函数图像的顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)解析：选项A正确，二次函数y=ax²+bx+c中，系数a决定开口方向，a>0时开口向上，顶点为最小值点；选项B错误，对称轴应为x=-b/2a，而非x=b；选项C错误，c=0时图像与x轴相交于原点；选项D错误，顶点坐标应为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax²+bx+c。该题考查二次函数基本性质，需结合图像分析判断。2.已知二次函数y=2x²-4x+1的图像，下列关于该函数的描述中，正确的是（）A.函数的最小值为-1，此时x=1B.函数图像与x轴有两个交点，坐标分别为(1,0)和(2,0)C.函数图像的对称轴为x=2D.当x>2时，函数值y随x增大而减小解析：选项A正确，通过配方法y=2(x-1)²-1可知顶点为(1,-1)，故最小值为-1；选项B错误，令y=0解方程2x²-4x+1=0，判别式Δ=(-4)²-4×2×1=8>0，但解为x=(2±√2)/2，非(1,2)；选项C错误，对称轴为x=1；选项D错误，x>1时y随x增大而减小。该题综合考查二次函数图像特征与性质。3.在苏教版第3章例题中，求解方程x²-6x+5=0的正确方法为（）A.因式分解法：(x-1)(x-5)=0，解得x=1或x=5B.公式法：x=(-b±√Δ)/(2a)，代入a=1,b=-6,c=5得x=3±2√2C.配方法：x²-6x+9=4，即(x-3)²=4，解得x=1或x=5D.图像法：作出y=x²-6x+5的图像，与x轴交点横坐标为解解析：选项A正确，因式分解为(x-1)(x-5)=0，符合十字相乘法；选项B错误，公式法计算错误，正确解为x=3±√4=1或5；选项C错误，配方法应为x²-6x+9=4→(x-3)²=4，解得x=7或-1；选项D虽为辅助方法但非标准解法。该题考查一元二次方程解法选择。4.已知点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程为（）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x+y-4=0D.x-2y+3=0解析：选项A正确，线段AB中点为(2,1)，斜率为(0-2)/(3-1)=-1，垂直平分线斜率为1，方程为y-1=1(x-2)→x-y-1=0；选项B错误，代入中点(2,1)不满足；选项C错误，代入B(3,0)不满足；选项D错误，代入A(1,2)不满足。该题考查线段垂直平分线方程求解。5.二次函数y=-x²+4x-3的图像在y轴上的截距为（）A.-3B.4C.1D.-1解析：选项A正确，令x=0得y=-0²+4×0-3=-3；选项B错误，4为函数最大值；选项C错误，1为函数与x轴交点之一；选项D错误，-1为函数与y轴交点纵坐标。该题考查二次函数截距概念。6.已知抛物线y=mx²+4x-5的顶点在直线y=x上，则m的值为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：选项A正确，顶点坐标为(-2m/m,-1)，代入y=x得-1=-2m/m→m=-2，但需验证m≠0；选项B错误，代入得-1=-4/m→m=4；选项C错误，代入得-1=4m/m→m=-1；选项D错误，代入得-1=-4/m→m=4。该题考查抛物线顶点坐标与直线关系。7.在苏教版第3章习题中，关于一元二次方程根的判别式Δ，下列说法正确的是（）A.Δ>0时方程必有两个不相等的实数根B.Δ=0时方程必有两个相等的实数根C.Δ<0时方程必有两个虚数根D.Δ的值与方程系数a,b,c无关解析：选项A正确，Δ=b²-4ac>0时判别式大于0，方程有两个不等实根；选项B正确，Δ=b²-4ac=0时判别式等于0，方程有两个相等实根；选项C错误，Δ<0时方程无实根但有两个共轭虚根；选项D错误，Δ=b²-4ac与系数直接相关。该题考查根的判别式性质。8.已知函数y=ax²+bx+c的图像如图所示（开口向上，顶点在x轴上，对称轴为x=1），则下列关系正确的是（）A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c>0C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b>0,c<0解析：选项C正确，开口向上→a>0；顶点在x轴上→c=0；对称轴x=1→-b/2a=1→b=-2a<0。该题考查二次函数图像与系数关系。9.在苏教版第3章综合题中，若方程x²-px+q=0的两根之比为2:3，则p与q的关系为（）A.p²=8qB.p²=9qC.p²=6qD.p²=4q解析：选项A正确，设两根为2k,3k，则2k+3k=p,2k×3k=q→p=5k,q=6k²→p²=25k²=8×6k²=p²=8q；选项B错误，p²=9q→25k²=9×6k²；选项C错误，p²=6q→25k²=6×6k²；选项D错误，p²=4q→25k²=4×6k²。该题考查根与系数关系。10.已知点P(x,y)在抛物线y=x²-2x+3上运动，则点P到直线x-2y+1=0的距离最小值为（）A.1B.√2C.√5D.2解析：选项A正确，抛物线y=x²-2x+3可化为(y-1)=(x-1)²，顶点为(1,1)，到直线x-2y+1=0距离d=|1-2×1+1|/√(1²+(-2)²)=0，但需计算切线距离，设抛物线切线方程y=kx+b，联立y=x²-2x+3得x²-(2+k)x+(3-b)=0，Δ=(2+k)²-4(3-b)=0→k²+4k-4=0→k=-2±2√2，最小距离为|k+1|/√5=1。该题考查抛物线与直线位置关系。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若二次函数y=3x²-6x+m的图像与x轴只有一个交点，则m=_________。参考答案：3解析：Δ=(-6)²-4×3×m=0→36-12m=0→m=3。该题考查判别式与交点关系。2.抛物线y=-2(x-1)²+4的顶点坐标为_________，对称轴方程为_________。参考答案：(1,4)；x=1解析：标准式顶点为(h,k)，对称轴x=h。该题考查抛物线标准式特征。3.一元二次方程x²+4x-5=0的两根之和为_________，两根之积为_________。参考答案：-4；-5解析：根据韦达定理x₁+x₂=-b/a=-4，x₁x₂=c/a=-5。该题考查根与系数关系。4.已知点A(2,3)和点B(-1,0)，则线段AB的中点坐标为_________。参考答案：(1/2,3/2)解析：中点坐标为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)=(2-1)/2,(3+0)/2=(1/2,3/2)。该题考查中点公式。5.抛物线y=4x²-8x+1的顶点坐标为_________，图像开口_________（填"向上"或"向下"）。参考答案：(1,0)；向上解析：配方法y=4(x-1)²-3，顶点(1,-3)，a=4>0，开口向上。该题考查抛物线图像特征。6.若方程x²-2x+k=0有两个正根，则k的取值范围是_________。参考答案：0<k<1解析：Δ=(-2)²-4k≥0→k≤1，两根为1±√(1-k)>0→1-√(1-k)>0→k<1，且k>0。该题考查根的正负条件。7.已知函数y=ax²+bx+c的图像如图所示（开口向下，对称轴x=-1，与y轴交点为(0,2)），则b=_________。参考答案：2解析：对称轴x=-1→-b/2a=-1→b=-2a，与y轴交点(0,2)→c=2，a<0。该题考查对称轴与系数关系。8.抛物线y=mx²+4x-3的顶点在第二象限，则m的取值范围是_________。参考答案：-3<m<0解析：顶点(-2m/m,-1)，第二象限需-2m/m<0且-1>0，即m<0。该题考查顶点象限。9.若方程x²-px+q=0的两根之差为2，则p²-4q=_________。参考答案：16解析：设两根为a,b，a-b=2，a+b=p，(a-b)²=4→a²-2ab+b²=4，(a+b)²-4ab=4→p²-4q=4×2=8。该题考查根差条件。10.已知点P(x,y)在抛物线y=2x²-4x+1上，则点P到直线y=x的距离最小值为_________。参考答案：√2/2解析：设抛物线切线y=kx+b，联立y=2x²-4x+1得2x²-(4+k)x+(1-b)=0，Δ=(4+k)²-8(1-b)=0→k²+8k-4=0→k=-4±2√5，最小距离为|k-1|/√2=√2/2。该题考查抛物线切线与距离关系。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，则方程ax²+bx+c=0必有两个不等实根。（×）解析：Δ=b²-4ac决定根的情况，开口向上仅说明a>0，若Δ<0则无实根。该题考查开口方向与根的关系。2.抛物线y=-(x+2)²+3的顶点坐标为(-2,3)，对称轴为x=-2。（√）解析：标准式顶点为(-h,k)，对称轴x=-h。该题考查抛物线顶点与对称轴关系。3.一元二次方程x²+mx+n=0的两个根的倒数和为1，则m=n。（×）解析：设两根为a,b，1/a+1/b=(a+b)/ab=1→a+b=ab，即m=n。该题考查倒数和条件。4.线段AB的垂直平分线上的点到A、B两点的距离相等。（√）解析：垂直平分线定义保证等距性。该题考查垂直平分线性质。5.若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在x轴上，则方程ax²+bx+c=0必有两个相等实根。（×）解析：顶点在x轴上仅说明Δ=0，但若a=0则不是二次方程。该题考查顶点与判别式关系。6.抛物线y=2x²-4x+1的对称轴为x=1。（√）解析：对称轴x=-b/2a=-(-4)/4=1。该题考查对称轴公式。7.若方程x²-px+q=0的两根为a,b，则a+b=p，ab=q。（√）解析：根据韦达定理。该题考查根与系数关系。8.抛物线y=-x²+2x-1的顶点为最高点，其最大值为1。（×）解析：a<0时顶点为最高点，但最大值为-1。该题考查顶点性质。9.已知点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的垂直平分线方程为x+y-3=0。（×）解析：中点(2,1)，斜率-1，方程为x-y-1=0。该题考查方程求解。10.若二次函数y=ax²+bx+c的图像与y轴相交于(0,c)，则c为方程ax²+bx+c=0的根。（×）解析：c为y轴截距，若a≠0则c不是根。该题考查截距与根的区别。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知二次函数y=mx²+4x-3的图像与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，求m的值。解：设两交点为(x₁,0),(x₂,0)，x₁+x₂=-4/m，x₁x₂=-3/m，|AB|=|x₁-x₂|=4→(x₁-x₂)²=16→(x₁+x₂)²-4x₁x₂=16→(-4/m)²-4(-3/m)=16→16/m²+12/m-16=0→m²-3m-4=0→m=-1或4。评分标准：列韦达定理方程2分，解方程得m=-1或4得2分。2.抛物线y=-2x²+4x-1的顶点坐标与对称轴方程。解：配方法y=-2(x²-2x)+1=-2(x-1)²+3，顶点(1,3)，对称轴x=1。评分标准：配方法得顶点2分，对称轴2分。3.若方程x²-3x+k=0的一个根为2，求k的值及另一个根。解：代入x=2得4-6+k=0→k=2，设另一根为x₁，x₁+2=3→x₁=1。评分标准：求k值2分，求另一根2分。4.已知点A(1,3)和点B(3,1)，求线段AB的垂直平分线方程。解：中点(2,2)，斜率AB=-1/1=-1，垂直平分线斜率1，方程y-2=1(x-2)→x-y=0。评分标准：求中点2分，求斜率2分。5.抛物线y=3x²-6x+5的顶点是否在直线y=x上？解：顶点(1,2)，代入y=x得2≠1，不在直线y=x上。评分标准：求顶点2分，判断位置2分。6.若方程x²-px+q=0的两根之比为1:2，求p与q的关系。解：设两根为a,2a，a+2a=p→3a=p，a×2a=q→2a²=q→p²/9=2q/9→p²=8q。评分标准：列关系式2分，推导得p²=8q得2分。7.已知函数y=ax²+bx+c的图像如图所示（开口向上，对称轴x=2，与y轴交点为(0,1)），求a+b+c的值。解：对称轴x=2→-b/2a=2→b=-4a，与y轴交点(0,1)→c=1，a>0，取a=1→b=-4，c=1→a+b+c=1-4+1=-2。评分标准：求b、c各1分，求a+b+c得2分。8.抛物线y=-x²+4x-3的顶点关于直线y=x对称的点的坐标。解：顶点(2,1)，关于y=x对称点为(1,2)。评分标准：对称点求法2分。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某商场销售某种商品，日销售量y（件）与价格x（元）满足关系y=-2x²+20x-30，若要日销售利润最大，商品应定价多少元？解：利润函数L=(x-10)(-2x²+20x-30)=-2x³+20x²-60x+300，求导L'=-6x²+40x-60，令L'=0→x=5或x=2，L''=-12x+40，x=5时L''<0，最大利润对应x=5。评分标准：列利润函数2分，求导得x=5得2分。2.已知抛物线y=mx²+4x-3的顶点在直线y=2x上，求m的值及顶点坐标。解：顶点(-2m/m,2(-2m/m))，代入y=2x得-4m/m=2(-2m/m)→m=-1，顶点(1,2)。评分标准：列方程2分，求m及顶点2分。3.若方程x²-px+q=0的两根平方和为10，且p=3，求q的值。解：设两根为a,b，a²+b²=(a+b)²-2ab=9-2q=10→q=-1/2。评分标准：列方程2分，求q得2分。4.已知点A(1,2)和点B(3,0)，求线段AB的垂直平分线与抛物线y=x²-2x+3的交点坐标。解：垂直平分线x-y-1=0，联立y=x²-2x+3得x-(x²-2x+3)-1=0→x²-x-4=0→x=1±√5，交点为(1+√5,2+√5)和(1-√5,2-√5)。评分标准：求交点方程2分，解方程得交点2分。5.抛物线y=-x²+4x-3的顶点关于x轴对称的点的坐标。解：顶点(2,1)，关于x轴对称点为(2,-1)。评分标准：对称点求法2分。6.若方程x²-px+q=0的两根之差为