2025-2026学年江苏省南通市海门区中南中学八年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南通市海门区中南中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，一元二次方程的个数有（）

（1）2x2-3=0；（2）x2+y2=5；（3）x2-5x=0；（4）x2+=2.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.函数y=中自变量x的取值范围是（）A.x＞-1 B.x≥-1 C.x＜-1 D.x≤-13.下列式子中，能表示y是x的函数的是（）A.|y|=1+|x| B.|y|=1+x C.y=1+|x| D.|y|=1+x24.下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（分）92959592方差3.63.67.48.1要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.在统计学中经常用箱线图来反映数据的分布情况.已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（）A.一班成绩比二班成绩集中 B.一班成绩的下四分位数是80分

C.一班有同学的成绩超过140分 D.一班成绩的中位数低于二班6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，CE平分∠BCD，∠CAB=∠ACE，则∠ABD的度数是（）

A.20° B.22.5° C.30° D.45°7.一次函数y=kx+b与正比例函数y=kbx在同一坐标系中的图象可能为（）A. B. C. D.8.如图，直线y=kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜x的解集为（）A.3＜x＜6 B.x＞3 C.x＜6 D.x＞3或x＜69.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示.则下列结论：

①A，B两城相距300千米；

②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；

③乙车出发后2.5小时追上甲车；

④当甲、乙两车相距50千米时，或.

其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.如图，将一个等腰直角三角板ABC按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边AC在x轴上.将直线l：y=x-3沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移.设平移过程中该直线被△ABC的边截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图2所示.下列说法正确的是（）

A.点A的坐标为（2，0） B.△ABC的面积为16

C.边AB所在直线的表达式为y=-3x+4 D.D点坐标为（6）二、填空题：本题共6小题，共22分。11.当k=

时，一次函数y=（k-1）x+k2-1的图象经过原点.12.某玉米种子的价格为40元/kg,若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折.购买xkg（x＞2）玉米种子，需付款y元，则y与x的函数关系式为

.13.某学校随机抽查了50名教职工，他们一周徒步的时间如表所示.徒步时间x/h0≤x＜22≤x＜44≤x＜66≤x＜88≤x＜10教职工人数51012176该学校教职工一周徒步的平均时间为

h.14.若一组数据：3，x,0，-1，-3的平均数是1，则这组数据的方差s2=

.15.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于

．

16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+8与坐标轴分别交于A，B两点.点P为直线AB上一动点，连接OP，过点O作OQ⊥OP，OQ=OP，以OB，OQ为一组邻边构造平行四边形BOQH.连接OH，P点横坐标为t,用含t的代数式表示Q点坐标为

，线段OH的最小值为

.

三、计算题：本大题共1小题，共10分。17.计算：(1)（m-3）（m+3）-（m-5）2(2)

四、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题10分)

已知：y+2与3x成正比例，且当x=1时，y的值为4(1)求y与x之间的函数关系式(2)若点（x1，a）、点（x2，b）是该函数图象上的两点，其中x1＜x2．试比较a、b的大小，并说明理由(3)将所得的函数图象平移，使它经过点P（1，3），求平移后的函数解析式19.(本小题10分)

利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明.

求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

（答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明）20.(本小题10分)

2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”.设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情.某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息：

a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100），

b：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79.

根据以上信息解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）；

（2）第三组竞赛成绩的众数是______分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______分；

（3）若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数.21.(本小题10分)

如图1，在正方形ABCD中，AB=4，动点P从点A出发，沿折线A-B-C运动，当点P到达点C时停止运动．连结DP，DB，若点P运动的路程为x（x≥0），△BPD的面积为y,当点P与点B重合时，y的值为0．

(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围(2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质(3)若直线y=x+m与（2）中的图象有2个交点，直接写出m的取值范围22.(本小题10分)

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．

（1）证明：AF=CE；

（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．23.(本小题12分)

为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售.成本价（万元/辆）售价（万元/辆）A型1616.8B型2829.4（1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？

（2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？

（3）实际进货时，厂家对A型电动汽车的成本价下调a（0＜a＜1）万元，若该4S店保持这两种型号电动汽车的售价不变，并且无论该4S店如何进货这20辆电动汽车的销售利润不变，求a的值.24.(本小题14分)

如图1，直线与x轴，y轴及直线分别交于点A（-2，0），B，C．

(1)求点B和点C的坐标(2)若点P在y轴上，并且S△ACP=8，求P点坐标(3)如图2，M为x轴上点A右侧一动点，以AB，AM为邻边作▱ABNM，连接CM，CN，在点M移动过程中，∠CMN能否等于45°？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由25.(本小题12分)

问题情境

如图，矩形ABCD中，AD=6，折叠矩形纸片ABCD，使点C的对应点F落在边AB上，得到折痕BE，把纸片展平；继续沿过点E的直线折叠，点A的对应点M落在边BC上，得到折痕EG，把纸片展平，AD的对应边MN交CD于点P．

【初步探究】(1)四边形BCEF的形状是

；

【深入探究】(2)用等式表示线段PE，PM之间的数量关系，并证明；

【拓展延伸】(3)设MG交BE于点Q，CM=2，求BG的长

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】D

11.【答案】-1

12.【答案】y=24x+32（x＞2）

13.【答案】5.36

14.【答案】10

15.【答案】

16.【答案】（2t+8，-t）

17.【答案】【小题1】（m-3）（m+3）-（m-5）2

=m2-9-（m2-10m+25）

=m2-9-m2+10m-25

=10m-34【小题2】原式=

=

18.【答案】【小题1】设y+2=k•3x（k≠0），

∵当x=1时，y的值为4，

∴4+2=k×3×1，

∴k=2，

∴y+2=2×3x=6x,

∴y=6x-2【小题2】a＜b,理由如下：

由（1）可得y=6x-2，

∵6＞0，

∴y随着x的增大而增大，

∵点（x1，a）、点（x2，b）是该函数图象上的两点，且x1＜x2，

∴a＜b【小题3】设平移后的函数解析式为y=6x+b,

则6×1+b=3，

解得b=-3，

∴平移后的函数解析式为y=6x-3

19.【答案】已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC⊥BD于点O，

求证：平行四边形ABCD是菱形；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，

∵AC⊥BD，

∴AD=CD，

∴平行四边形ABCD是菱形．

20.【答案】（1）第2组的人数为：50-4-12-20-4=10（人），

补全频数分布直方图如图所示：

（2）75，79；

（3）（人），

估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人．

21.【答案】【小题1】分0≤x≤4和4＜x≤8两种情况讨论如下：

当0≤x≤4时，△BPD的面积为，

当4＜x≤8时，△BPD的面积为，

即y与x之间的函数解析式为【小题2】函数的图象如图所示，该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x=4；

【小题3】当直线经过点（8，8）时，直线y=x+m与（2）中的图象有2个交点，

此时8=8+m,

解得m=0，

当直线经过点（4，0）时，直线y=x+m与（2）中的图象只有1个交点，

此时0=4+m,

解得m=-4，

∴当-4＜m≤0时，直线y=x+m与（2）中的图象有2个交点

22.【答案】解：（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，

∴DE∥AC，AC=2DE，

∵EF=2DE，

∴EF∥AC，EF=AC，

∴四边形ACEF是平行四边形，

∴AF=CE；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=90°-30°=60°，AC=AB=AE，

∴△AEC是等边三角形，

∴AC=CE，

又∵四边形ACEF是平行四边形，

∴四边形ACEF是菱形．

23.【答案】解：（1）设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，

根据题意，得：，

解得：，

答：购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆；

（2）设销售利润为w万元，购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20-m）辆，

∵购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，

∴m≥2（20-m），

即m≥，

根据题意，得：w=（16.8-16）m+（29.4-28）（20-m），

=-0.6m+28．

∵-0.6＜0，

∴w随m的增大而减小，

又∵m≥且为整数，

∴当m=14时，利润最大，最大值为：-0.6×14+28=19.6万元，

∴购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元．

（3）设购进A型电动汽车b辆，则购进B型电动汽车（20-b）辆，新利润为z元，由题意得：

z=（16.8-16+a）b+（29.4-28）（20-b），即w=（a-0.6）b+28，

∵不论b为何值，z均不变，

∴a-0.6=0，

∴a=0.6．

24.【答案】【小题1】直线与x轴，y轴及直线分别交于点A（-2，0），B，C．将点A（-2，0）代入得：

∴-1+b=0，

解得：b=1，

∴，

当x=0时，得：y=1，

∴B（0，1）；

当时，

解得：x=2，

∴，

∴C（2，2）【小题2】如图1，A（-2，0），B（0，1），C（2，2），设P点坐标为（0，p），

∴PB=|p-1|，

∵，S△ACP=8，

∴2|p-1|=8，

解得：p=5或p=-3，

∴P点坐标为（0，5）或（0，-3）【小题3】∠CMN能等于45°；理由如下：

如图2，过点C作CQ⊥MC交MN于点Q，过C点作EF∥x轴，过点M作ME⊥EF交于E点，过点Q作QF⊥EF交EC于F点，

∵∠CMN=