广东省汕头市澄海实验高级中学2025-2026学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省汕头市澄海实验高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若i为虚数单位，则复数z=5i（3-4i）在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图，△O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中∠O′A′B′=90°，O′B′=2，则原图形中最长的边长等于（）A.2

B.

C.

D.3.设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若异面直线m,n分别在平面α，β内，且α∩β=l,则直线l（）A.与直线m,n都相交 B.可能与m,n都平行

C.与m,n中的一条相交，另一条平行 D.至少与m,n中的一条相交5.如图，在河岸CD上测量河对面A，B两点间的距离，测得∠ACD=60°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠ADB=30°，CD=4，则AB=（）A.

B.

C.4

D.6.若a=（）-1，b=log23，c=（）0.3，则（）A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.c＜a＜b7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA⊥CB，AB=CC1=2，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（）A. B. C.8π D.8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n（m,n＞0），则+的最小值为（）A.2

B.3

C.

D.5二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.

B.与同向的单位向量为

C.在上的投影向量为

D.若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（-13，+∞）10.已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（-1，2），则下列说法正确的是（）A.a＜0

B.a+b+c＜0

C.不等式ax+b＜0的解集为（1，+∞）

D.不等式ax2+（c-1）x+2＞0的解集为11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则能判定△ABC一定是等腰三角形的为（）A.acosB=bcosA B.

C.a-b=c（cosB-cosA） D.sin2A+sin2B=2sinAsinBsinC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算：=

.13.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为

.14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，过D1，M，C作正方体的截面α，则截面图形的周长为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数，i为虚数单位.

（1）求；

（2）若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，求实数m,n的值.16.(本小题15分)

如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm,O1，O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm.

（1）求正四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积；

（2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积.17.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=2b-2acosC.

（1）求角A；

（2）若M为BC的中点，，求△ABC面积的最大值.18.(本小题17分)

已知函数.

（1）求f（x）的最小值；

（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间；

（3）若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围.19.(本小题17分)

如图，设Ox,Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，，分别为Ox,Oy同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x,y）叫做向量在斜坐标系α-xOy中的坐标，记为.

（1）在斜坐标系中，，求；

（2）在斜坐标系α-xOy中，，，且与的夹角.

①求α；

②A，B分别在射线Ox,Oy上，|AB|=3，E，F为线段AB上两点，且，，求的最小值.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】6π

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为复数，

所以；

（2）因为复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，

所以（2-i）2+m（2-i）+n=0，

可得4-4i+i2+2m-mi+n=0，即（3+2m+n）-（m+4）i=0，

所以，解得m=-4，n=5．

16.【答案】解：（1）如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的每个侧面皆为全等的等腰梯形，

分别取B1C1，BC的中点为M，N，连接O1M，ON，MN，

过点M作MH⊥ON于H，

则O1O=MH=60cm,O1M=20cm,ON=40cm,HN=20cm,

故，

所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积为；

（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，

则圆台O1O的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，

则圆台的上底面半径为20cm,下底面半径为40cm,高为60cm,

则圆台O1O的体积为．

17.【答案】解：解法一：（1）因为c=2b-2acosC，

由正弦定理得：sinC=2sinB-2sinAcosC，

所以sinC=2sin（A+C）-2sinAcosC=2cosAsinC，

因为sinC≠0，

所以，

为0＜A＜π，

所以；

（2）因为M为BC的中点，

所以，

所以，

即，

即b2+c2=12-bc,

而b2+c2≥2bc,

所以12-bc≥2bc即bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立，

所以△ABC的面积为，

即△ABC的面积的最大值为．

解法二：（1）因为c=2b-2acosC，

由余弦定理得：，

整理得bc=b2+c2-a2，

即a2=b2+c2-bc,

又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

所以，

因为0＜A＜π，

所以；

（2）设BM=MC=m,

在△ABM中，由余弦定理得，①

在△ACM中，由余弦定理得，②

因为∠AMB+∠AMC=π，所以cos∠AMB+cos∠AMC=0，

所以①+②式得b2+c2=6+2m2，③

在△ABC中，由余弦定理得4m2=b2+c2-2×bccosA，

而，所以4m2=b2+