332简单线性规划问题

§3.3.2-1简单线性规划问题2026/8/172复习：1、直线的截距：注意：截距不是距离，有正负y=x+1y=-x+3横截距：直线与X轴交点横坐标纵截距：直线与Y轴交点纵坐标3一.复习回顾1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo2026/8/174yxO问题1:x

有无最大（小）值？问题2:y

有无最大（小）值？问题3:z=2x+y

有无最大（小）值？在不等式组表示的平面区域内在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域2026/8/17555x=1x－4y+3=03x+5y－25=01ABCC(1.00,4.40)A(5.00,2.00)B(1.00,1.00)Oxy求z=2x+y的最大值和最小值。所以z最大值12z最小值为3这是斜率为-2，纵截距为z的直线【解析】2026/8/176转化转化转化四个步骤：1。画（画可行域）三个转化4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）3。移（平移直线L。寻找使纵截距取得最值时的点）2。作（作z=Ax+By=0时的直线L。）图解法想一想(结论):线性约束条件可行域线性目标函数Z=Ax+By一组平行线最优解寻找平行线组的

最大（小）纵截距2026/8/1770xy4348M（4，2）问题：求利润z=2x+3y的最值.2026/8/1780xy4348N（2，3）变式：求利润z=x+3y的最值.2026/8/179问题：

设z=2x-y，式中变量x，y满足下列条件求z的最大值和最小值.xyO这是斜率为2，纵截距为-z的直线【解析】return2026/8/1710两个结论：2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义y前系数为正y前系数为负1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。-Z增大，显然Z减小-Z减小，显然Z增大2026/8/1711A组专项基础训练练出高分2345678911052026/8/1712目标函数为Z＝x＋0.5y，xyoM容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmax＝3线性约束条件作业2026/8/1713思维启迪解析探究提高2026/8/1714题型二思维启迪解析探究提高求线性目标函数的最值2026/8/1715非线性目标函数的最值问题2026/8/1716问题3：默写两点间的斜率公式:

。

问题4：说出上述目标函数的几何意义:

。探究一：对形如

目标函数的最值可行域内的任一点(x,y)与定点M(a,b)的连线的斜率2026/8/17172026/8/1718例2：变量,满足;

(1)求可行域内的点

与原点连线的斜率

的表达式；(2)求

的取值范围。123456789-1-1123456yx0-2-3（2）因为表示可行域内任一点与原点O连线的斜率由图观察可知：2026/8/1719变式：变量

满足

；(1)设,求

的取值范围；(2)设,求

的取值范围。123456789-1-1123456yx0-2-3●Q●M2026/8/1720问题1：默写两点间的距离公式:

。

默写点到直线间的距离公式：。问题2：说出上述目标函数的几何意义:

。探究二：对形如

目标函数的最值可行域内的任一点(x,y)到定点M(a,b)的距离的平方2026/8/1721例1：变量

满足(1)求可行域内的点

到原点的距离的平方Z的表达式；(2)求Z的取值范围。123456789-1-1123456yx0-2-32026/8/1722123456789-1-1123456yx0-2-3解:画出可行域,如图所示表示可行域内的点(x,y)到定点O(0,0)距离的平方所以，由图观察可知求出交点坐标2026/8/1723变式：设

满足;

(1),求

的最小值；(2),求

的最值。123456789-1-1123456yx0-2-3●Q●M2026/8/1724三、课堂小结本节课你收获了什么？

。四、课后练习已知

求：

(1)的最小值(2)的范围。2026/8/1725思想与方法13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值题型分类·深度剖析审题视角规范解答温馨提醒2026/8/1726题型分类·深度剖析审题视角规范解答温馨提醒思想与方法13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值2026/8/1727题型分类·深度剖析审题视角规范解答温馨提醒思想与方法13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值2026/8/1728题型分类·深度剖析审题视角规范解答温馨提醒思想与方法4分

6分

13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值2026/8/1729题型分类·深度剖析审题视角规范解答温馨提醒思想与方法13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值2026/8/1730审题视角规范解答温馨提醒思想与方法13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值2026/8/1731【例2】题型二

非线性目标函数的最值问题2026/8/1732解作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．2026/8/1733规律方法非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：2026/8/17342026/8/1735A2026/8/1736课后作业1.已知

，求z=2x+y的最大值.2.已知,求z=|x-4y+1|的最小值.

3.已知

，求：

的最大值；的最小值；的范围.2026/8/1737含参数的线性规划题2026/8/1738线性

规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。

目标函数（线性目标函数）线性约束条件象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件Z=2x+y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数2026/8/1739线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；

可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)2026/8/1740设z=2x+y,求满足时,求z的最大值和最小值.线性目标函数线性约束条件线性规划问题任何一个满足不等式组的（x,y）可行解可行域所有的最优解目标函数所表示的几何意义

——在y轴上的截距或其相反数。2026/8/17412－22026/8/17422026/8/1743B组专项能力提升2026/8/1744二元一次不等式(组)表示的平面区域2026/8/17455、给出平面可行域(如下图),若使目标函数z=ax+y取最大值的最优解有无穷多个,则a=()答案:B2026/8/17462026/8/1747答案：A2026/8/1748审题指导这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率关系．【例3】题型三

已知目标函数的最值求参数2026/8/1749[规范解答]在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定)(3分)其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a.(6分)2026/8/17502026/8/1751【题后反思】随着对线性规划问题研究的不断深入，出现了一些线性规划的逆向问题．即已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题．解决这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标函数的几何意义，看最值在什么位置取得．2026/8/1752线性规划中最优整数解的选取2026/8/1753A组专项基础训练234567891练出高分

解析2026/8/1754A组专项基础训练234567891练出高分

解析动画展示2026/8/1755例3、要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

规格类型钢板类型第一种钢板第二种钢板A规格B规格C规格212131今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，可得2026/8/1756x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*

经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.答:(略)作出一组平行直线z=x+y，目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，将直线x+y=11.4继续向上平移,2026/8/17572x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.

作出一组平行直线z

=

x+y，目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.作直线x+y=12x+y=12解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)调整优值法2x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*x0y2026/8/17581.线性规划