2026届江苏省重点高中高三年级九校联考【数学解析】重点高中九校联考

江苏九校高三联合测试锤子数学精彩解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2.设集合A={-2,1,a},B={-1,a²},若AUB含有4个元素，则a=或a²=-1无解，a²=1→a=±1,a²=a→a=0或1.故可能使元素个数减少的只有a=-2,-1,0,1.a=0→AUB={-2,-1,0,1},a=1→AUB={-2,-1,1}.3.的展开式中常数项为4.已知两条直线m,n和平面α,则下列命题为真命题的是A.若m//n,m//α,则n//αB.若m//a,n//α,则m//n5.科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1,状态2,状态3,……,每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2,状态2的粒子有的概率变为状态3,以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占【锤子数学解析】3秒后处于状态1和状态2的有：6.若直线y=x+1上存在点A,圆x²+(y-m)²=2上存在点B,使得AB=(0,1),则m的最大值为 即B(x₁,y₁+1),A在y=x+1上，则7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°,bc=6sinBcosC,,则△ABC的面积为【锤子数学解析】8.已知正数a,b满足2“+3“=3+4,则A.b<a<2bB.a<b<2aC.2b<a<3b【锤子数学解析】方法一：若a<b,则3+4⁶>3“+4”,即2“+3“>3“+4”,b=1时，2“+3“=7,f(x)=2*+3*在(0,+∞)单调递增，f(1)=5<7,f(2)=13>7,∴1<a<2,排除C,选A.方法二：若a≤b,a>b.综上b<a<2b,选A.F(x)=p⁸+q³,G(x)=qˣ+r³(1<p<q<r).对任意x>0,G(x)-F(x)=r⁸-p⁸>0,所以同一个x下，右边这类和式一定更大.因而如果F(a则则理由完全一样：a≤b⇒p“+q“≤p⁶+q⁶<q⁶+r,矛盾，故a>b.则p⁴≥r,q“>q,矛盾,所以anb3、锤子改编：若改成2“+3“=3+k’(k>3),同理可得4、更高级的方法：设a=tb(t>0),则原式化为2ᵗ+3ᵗ=3+4.记H(t)=2ᵗ+3ᵗ-3-4,则H'(t)=bln2·2ᵗ+bln3·3ᵗ>0,所以H(t)单调递增.又H(1)=2-4<0,H(2)=9-35、精细估计：由原式2°+3“=3+4可化为取自然对数进一步还能把位置估得更细.锤子点评：这题看着像估范围，实际上核心特别朴素，就是和式取对数通常不会变简单。这题真正决定胜负的地方，是大家能不能很快看出这就是小题里非常常见的卡范围思路。我希望大家把这种感觉练出来：不是盯着式子算，而是先看式子两边谁大谁小、换成哪个量去比最合适。这种结构一旦发现，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.C.若样本数据x₁,x₂,…,x,的方差为2,则数据2x₁+1,2x₂+1,…,2x+1的方差为8D.用相关指数R²刻画回归效果，R²越接近1,说明回归模型的拟合效果越好A,B独立，则P(AB)=P(A)P(B),P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),B错.x₁,x₂,…,x,方差为2,则2x₁+1,2x₂+1,…,2x„+1方差2²×2=8,C对.D.曲线y=f(2x)与曲线y=g(x)关于y轴对称【锤子数学解析】对称中对称中都是它们的对称中心，A对.向左平移个单位变为若关于y11.已知四棱锥P-ABCD的体积为12,四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB,PD分别交于点M,N.设 C.四面体PQBC的体积为3 若AB//平面CMN,则存在实数s,t,使AB=sCM+tCN又四边形ABCD是平行四边形，且Q为PA的中点，故由得故四棱锥P-MCNQ的体积最小值为4,D对.故选BCD.与得所以,当且仅当时取等号.平行四边形底面时，要优先想到PC=PB+PD-PA形很复杂，真正关键往往不是找角，不是找垂线，而是先把点与点之间的线性关三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【答案】5【锤子数学解析】消x可得y²-4py+8p=0,△y²-8y+16=0,y=4,x=2×4-4=4,【答案】838323于是第一段得m=0,第二段得,第三段得锤子拓展与深挖1、改编：若改为g(x)=x(x-a)²,a>0,则g'(x)=3x²-4ax+a²=(x-a,g(a)=0,本题就是a=2的情形.2、命题背景：这类题本质上是在算f([0,m])=[0,m]3、与更高级的方法：若条件改为f(x)≤km,k>0则只需处理g(m)≤km,本题对应m(m-2)²≤km或再分别与5取交即可.当k=1时回到原题.锤子点评：这题看着是参数范围，其实：先把[0,m]上的最大值找出来。很多同学第一反应是代x=m,这只能得到必要条件，不够，因为这个峰值也必须落在y=m下方。反过来，如果只盯着又容易把以后端点重新变成最大值这件事漏掉。我这里更想提醒大家一个意识：遇到对任意x∈[0,m]都成立这种条件，先看区间会不会被函数映回自己，也就是先想f([0,m])=[0,m]这个意四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，已知△PAB是圆锥PO的轴截面，PA=3,AB=2.(1)求圆锥PO的外接球的表面积；(2)若C为弧AB的中点，求二面角C-PA-B的正切值.【锤子数学解析】(2)如图建系，TTPA=(0,-1,-2√2),AC=(1,1,0),而平面PAB的一个法向量n₂=(1,0,0)显然二面角C-PA-B的平面角θ为锐角，16.(15分)已知数列{a}各项均不为零，a₁=1,,a,a+1=(ta-a+1)an+2·(1)当t=1时，求{a,}的前50项和；(2)若a>an+1,求正整数t的最小值.【锤子数学解析】{b.}的一个周期为6,{a}一个周期也为6而b₃=2,b₄=-1,b₅=-3,b₆={a}一个周期的和为0,∴{a}的前50项和为：(2)当t=1时，由(1)知{a}为周期数列，{a,}不单调.成等差数列且首项为1,公差为2,∴单调递减满足a>a+1,∴正整数t的最小值为2.17.(15分)某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为p(0<p<1),记X为甲随机选择1个选项的得分，Y为甲随机选择2个选项的得分.(1)若,求P(X≥2);(2)求X的概率分布列和数学期望；(3)证明：当且仅当时，E(X)<E(Y).【锤子数学解析】(2)X的所有可能取值为0,2,3X023P(3)Y的所有可能取值为0,4,6.18.(17分)已知双曲线的离心率为是C上一点.直线l的斜率为-1,且与C交于A,B两点.(1)求C的方程；(2)若PA·PB=36,求I的方程；(3)证明：△PAB的外接圆的圆心Q在定直线上.【锤子数学解析】(2)设直线1方程为y=-x+m,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂) PA=(x₁-4,y₁-3),PB=(x=x₁x₂-4(x₁+x₂)+16+(m-3-=2(4m²+12)-(m+1)·8m+(m-3)²+16(3)设△PAB外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,它过P(4,3)它在定直线x+y=7上运动.(2)设直线1方程为x+y=t.设A(x₁,t-x₁),B(x₂,t-x₂).由得3x²-4(t-x)²=12→x²-8tx+4t²+12=0.则又(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=64t²-16t²-48=4PM²=(4t-4)²+(-3t-3)²=25t²-14t+25.由PA=PM+MA,PB=PM-MA,得PA·PB=(PM+M⁴).(PM-MA)=PM²-MA².(3)设直线1方程仍为x+y=t,|t|>1.且△PAB存在，故t≠7.由上可得AB的中点M(4t,-3t).因为AB的斜率为-1,所以AB的垂直平分线斜率为1,其方程为y+3t=x-4t→y=x-由(2)已得1MA²=24(t²-1).又QM⊥AB,故QA²=QM²+MA².→2(由t≠7,得就恒有PA·PB=(PM+MA)·(PM-Mi)=则恒有x₁+x₂=8t,x₁x₂=4t²+12,M(4t,-3t),(x₁-x₂)²=48(t²-1),MA即可.本题中所有斜率为-1的弦都写成x+y=t,化成简单的代数量.19.(17分)已知函数(1)对任意0<s<t,f(x)≥f(s)是f(x)≥f(t)的必要条件，求a的最小值；(2)对任意b>0,函数g(x)=f(x)-b存在两个零点x₁,x₂·方法一：(1)由f(x)≥f(s)是f(x)≥f(t)的必要条件→f(t)≥f(s)x→-∞,F(x)→+0∞0;x→+∞0,F→a>(b-blnb)max,令φ(b)=b-blnb,φ'(b)=-Inb令令方法二：(1)由题意，f(x)≥f(t)→f(x)≥f(s)令x=t,得f(t)≥f(s),V0<s<t,故f(x)在(0,+)上单调递增.令h(x)=e×(x-1),x>0,则h'(x故h(x)在(0,+)上单调递增，且x→O+→h(x)→-1.于是h(x)>-1,x>0.从而f'(x)≥0,Vx>0→a≥令p(x)=e-bx-a,则p'(x)=e-b,p"”(x)=e*>0.p'(x)=0→x=Inb.于是p(