应力状态和强度理论课件

应力状态和强度理论材料力学·第八章·授课学时8学时Contents本章内容框架系统梳理应力状态分析与经典强度理论的核心脉络与关键知识点。01应力状态概述02二向应力状态解析分析03应力圆及其应用04三向应力状态分析05广义虎克定律06四大经典强度理论CHAPTER01应力状态概述从单向拉伸实验引出应力状态的基本概念与分类方法StressAnalysis为什么要研究应力状态材料破坏形式与截面方向密切相关——仅知道横截面应力不足以判断失效，必须掌握过一点所有方向截面上的应力分布规律。低碳钢与铸铁在拉伸、扭转实验中的断裂形态对比01低碳钢拉伸：试样沿横截面发生屈服破坏，说明横截面上的正应力达到材料屈服极限02低碳钢扭转：试样沿与轴线成45°的螺旋面断裂，表明斜截面上存在更大的应力分量03铸铁拉伸：脆性材料沿横截面直接断裂，断裂面垂直于最大拉应力方向04铸铁扭转：沿45°螺旋面断裂，说明脆性材料在最大拉应力作用面首先失效CHAPTER02·STRESSANALYSIS应力状态与单元体应力状态是过一点无数截面上应力情况的集合。通过取微小正六面体作为单元体，可用其六个面上的应力分量完整描述该点的应力状态。单元体分析是应力状态研究的基本方法，各面应力遵循正负号规定和切应力互等定理。01应力状态定义：过构件上一点所有可能截面上的正应力和切应力的完整集合，反映该点受力的全貌。通过分析各方向截面的应力分布，可全面了解该点的受力特性，为强度设计提供理论基础。全貌02单元体概念：围绕受力点取出的微小正六面体，其各面应力可代表该点不同方向的应力分量。单元体尺寸趋于无穷小，各面上的应力可视为均匀分布，从而建立一点的应力状态模型。六面体03正负号规定：正应力以拉伸为正、压缩为负；切应力以使单元体顺时针转动为正、逆时针为负。统一的符号约定是应力分析计算和结果比较的基础，确保不同方法所得结论的一致性。±04切应力互等定理：单元体相互垂直两面上的切应力大小相等、方向相反，即τxy=τyx。该定理由力矩平衡条件导出，是应力张量对称性的体现，可简化复杂应力状态的分析计算。τxy=τyxCHAPTER06·STRESSANALYSIS主平面与主应力主平面是切应力为零的特殊截面，其上的正应力即为主应力。过一点总存在三个相互垂直的主平面，对应三个主应力σ₁≥σ₂≥σ₃，是判断材料强度的关键参数。主平面定义单元体上切应力全为零的截面，过一点总能找到三个相互垂直的主平面τ=0主应力定义主平面上的正应力，用σ₁、σ₂、σ₃表示，按代数值大小排列σ₁≥σ₂≥σ₃σ₁≥σ₂≥σ₃主单元体完全由主平面构成的单元体，其六个面上只有正应力而无切应力PURENORMAL物理意义主应力代表过一点正应力的极值，最大主应力σ₁是该点可能出现的最大拉应力STRENGTHSTRESSCLASSIFICATION应力状态的分类按不为零的主应力个数，应力状态分为单向、二向和三向三类，其中简单与复杂应力状态在工程中各有典型场景。单向应力状态仅一个主应力不为零，其余两个主应力均为零，是最基础的应力形式典型场景：轴向拉伸/压缩杆件横截面上的点、纯弯曲梁的中性层属于简单应力状态，可直接用胡克定律进行强度与变形分析简单·Uniaxial二向应力状态两个主应力不为零，第三个主应力为零，是工程中最常见的应力状态又称平面应力状态，薄板、薄壁压力容器、受扭圆轴表面常见需通过解析法或应力圆确定主应力大小和方向，进而校核强度平面·Biaxial三向应力状态三个主应力均不为零，是最复杂的应力状态，需采用强度理论分析又称空间应力状态，高压容器内壁、滚珠接触点、地基深处常见分析需借助三向应力圆和广义虎克定律，采用第三或第四强度理论空间·TriaxialSTRESSANALYSIS单向拉伸斜截面应力分析单向拉伸时，斜截面上的正应力和切应力随截面倾角变化。当α=0°时正应力最大(σmax=σ)，当α=45°时切应力最大(τmax=σ/2)。横截面·主平面α=0°正应力σασmax=σ切应力τα0最大切应力面α=45°正应力σασ/2切应力τατmax=σ/2最大切应力面与最大正应力面成45°夹角01正应力公式σα=σ·cos²α=σ(1+cos2α)/2，σ为横截面正应力，α为斜截面与横截面夹角02切应力公式τα=σ·sin2α/2，切应力在α=45°时取得最大值τmax=σ/203横截面（主平面）α=0°时正应力取最大值σα=σ，切应力为零0445°斜截面与扭转破坏α=45°时切应力最大τα=σ/2，正应力为σ/2，解释了低碳钢扭转沿45°螺旋面断裂的现象Chapter02二向应力状态解析分析掌握任意斜截面应力公式推导与主应力求解方法STRESSANALYSIS·应力状态任意斜截面应力公式二向应力状态下，已知σx、σy、τxy三个应力分量，可通过解析公式求解任意α角斜截面上的正应力σα和切应力τα。公式推导基于微元体平衡条件和切应力互等定理，是应力状态解析分析的核心工具，也是后续求解主应力的基础。01已知条件单元体x面上正应力σx、切应力τxy，y面上正应力σy、切应力τyx，其中τxy=τyx。建立坐标系时需明确各应力分量的正负号规定，拉应力为正、压应力为负。02斜截面正应力σα=(σx+σy)/2+(σx−σy)cos2α/2−τxy·sin2α，α为斜截面外法线与x轴夹角。该式表明正应力随角度呈周期性变化，可通过求导确定极值位置。03斜截面切应力τα=(σx−σy)sin2α/2+τxy·cos2α，正负号按切应力符号规定判断。切应力同样随角度周期性变化，当τα=0时对应的截面即为主平面。04公式应用要点代入数据时须注意σx、σy、τxy的正负号，拉应力为正、压应力为负。角度α以逆时针为正，计算结果需结合物理意义进行合理性检验。PrincipalStress主应力与主平面方位将正应力公式对α求导令其为零，可确定主平面方位角α0。主平面方位满足tan2α0=-2τxy/(σx-σy)，存在两个相差90°的解，对应两个相互垂直的主平面。将α0代回正应力公式可得最大和最小主应力，主平面上切应力必然为零，验证了主平面的定义。01主平面方位角tan2α0=−2τxy/(σx−σy)，绝对值较小的α0对应最大主应力所在平面02主应力计算公式σmax/min=(σx+σy)/2±√[((σx−σy)/2)²+τxy²]03主平面正交性α0与α0+90°分别对应最大和最小正应力所在的平面，两个主平面相互垂直04主平面验证将α0代入切应力公式得τα=0，证明正应力极值面即主平面（切应力为零的面）EXTREMUMANALYSIS切应力极值分析对切应力公式求导令其为零可确定极值切应力方位。极值切应力面与主平面成45°夹角，面内最大切应力τmax=(σmax-σmin)/2。切应力极值面上的正应力一般不为零，等于两个主应力的平均值。01切应力极值方位tan2α1=(σx−σy)/(2τxy)，方程有两个解确定两个相互垂直的极值切应力面02面内最大切应力τmax=√[((σx−σy)/2)²+τxy²]=(σmax−σmin)/203极值切应力面与主平面关系α1=α0±45°，即最大切应力面与主平面成45°夹角04极值面上的正应力σα=(σx+σy)/2，等于两个主应力的平均值，一般不为零STRENGTHTHEORY·SUMMARY主应力与切应力极值关系总结二向应力状态解析分析揭示了主平面与极值切应力面的内在联系：二者成45°夹角，主应力代表正应力极值，面内最大切应力等于两主应力之差的一半。掌握这些关系是进行复杂应力状态强度校核的基础，也是理解材料破坏机理的关键。PRINCIPALPLANE主平面特征01主平面上切应力为零，只有正应力（主应力）02主应力代表该点正应力的极值（最大和最小）03两个主平面相互垂直，方位角相差90°EXTREMESHEAR极值切应力面特征01极值切应力面与主平面成45°夹角02面内最大切应力τmax=(σ₁−σ₂)/203极值切应力面上正应力等于平均正应力(σ₁+σ₂)/2CHAPTER03应力圆及其应用掌握应力圆的推导、画法及其在应力分析中的应用应力状态分析应力圆方程推导将斜截面应力公式中的参数2α消去，可得以σα和τα为变量的圆方程。圆心位于横轴上((σx+σy)/2,0)处，半径R恰好等于面内最大切应力。01推导方法：将正应力和切应力公式中的cos2α和sin2α项移项后平方相加，利用三角恒等式sin²2α+cos²2α=1消去参数2α，从而建立应力圆的基本关系式。02应力圆方程：(σα−(σx+σy)/2)²+τα²=((σx−σy)/2)²+τxy²，是以σα和τα为变量的标准圆方程，完整描述了平面应力状态下各方向应力的变化规律。03圆心坐标：C((σx+σy)/2,0)，位于σ轴上，横坐标为两个正应力的平均值，纵坐标始终为零。圆心位置反映了单元体平均正应力的大小。04圆的半径：R=√[((σx−σy)/2)²+τxy²]，物理意义上等于面内极值切应力的大小。半径越大，应力状态的差异程度越显著。应力状态分析应力圆的画法步骤绘制四步走：建坐标、标点、定心、画圆，正确标定Dx、Dy并注意切应力正负号即可。01建立坐标系建立σ-τ直角坐标系，横轴正应力向右为正，纵轴切应力向上为正，选定比例尺σ—τ正交坐标系02标定特征点标出Dx(σx,τxy)代表x面，Dy(σy,−τxy)代表y面，注意切应力正负号Dx·Dy两点确定直线03确定圆心连接Dx与Dy，连线与σ轴交点即为圆心C，横坐标为(σx+σy)/2C=(σx+σy)/2平均正应力04完成画圆以C为圆心、CDx为半径画圆，可从图上直接读取主应力与极值切应力R=CDx应力圆半径MOHR'SCIRCLE·CORRESPONDENCE单元体与应力圆的对应关系应力圆与单元体存在三大对应关系：点面对应（圆上点坐标等于截面应力）、转向对应（旋转方向一致）、二倍角对应（圆上转角为实际转角两倍）。这三个对应关系是使用应力圆进行应力分析的核心法则，掌握后可快速求解任意截面应力和主应力。点面对应应力圆上某一点的坐标(σ,τ)等于单元体某一截面上的正应力和切应力值σ,τ转向对应应力圆上半径旋转方向与单元体截面法线旋转方向保持一致，同为顺时针或逆时针同向二倍角对应应力圆上半径转过的圆心角等于单元体截面法线实际旋转角度的两倍2θSTRESSANALYSIS应力圆上的极值应力确定应力圆与σ轴的两个交点对应两个主应力（切应力为零），圆的最高点和最低点对应极值切应力。从已知点转到主应力点的圆心角之半即为主平面方位角。主应力确定应力圆与σ轴交点A、B的横坐标即为主应力σ₁和σ₂，纵坐标为零验证主平面定义。σ₁,σ₂极值切应力确定圆最高点与最低点纵坐标为±τmax，极值切应力大小等于圆的半径R。τmax=R主平面方位确定从Dx沿弧转到A点，圆心角2α₀之半即为主平面方位角α₀。2α₀→α₀任意截面应力将Dx旋转2α角至新点，其坐标即为α方向截面的正应力与切应力。σα,ταCHAPTER04三向应力状态分析从二向扩展到空间应力状态，掌握三向应力圆的构建方法STRESSANALYSIS三向应力状态的三个主应力三向应力状态有三个不为零的主应力σ1≥σ2≥σ3，它们完全确定该点的应力状态。三向分析可视为三个二向问题的叠加：σ1-σ2面、σ2-σ3面、σ1-σ3面各构成一个二向应力状态。最大正应力为σ1，而整体最大切应力由最大和最小主应力决定，等于(σ1-σ3)/2。三向应力状态特征三个主应力σ1、σ2、σ3均不为零，按σ1≥σ2≥σ3排列，完整描述一点的应力状态。σ1≥σ2≥σ3分解方法三向问题可分解为三个二向应力状态的叠加——σ1-σ2、σ2-σ3、σ1-σ3平面各构成独立分析。3个二向叠加最大正应力σmax=σ1，出现在与σ1方向垂直的主平面上，是三向应力状态中的最大拉应力。σmax=σ1绝对最大切应力τmax=(σ1−σ3)/2，出现在与σ2平行且与σ1、σ3方向成45°的截面上。τmax=(σ1−σ3)/2应力状态分析三向应力圆的画法三向应力圆由三个二向应力圆组合而成：以σ1-σ2、σ2-σ3、σ1-σ3为直径各画一个圆。最大圆（σ1-σ3圆）的半径即为绝对最大切应力。任意斜截面的应力点必落在三个圆所围区域内，这一几何特性使得三向应力状态的极值分析变得直观清晰。01三个应力圆：分别以(σ₁,σ₂)、(σ₂,σ₃)、(σ₁,σ₃)为直径端点画三个圆02圆的嵌套关系：σ₁-σ₃大圆包含σ₁-σ₂和σ₂-σ₃两个小圆，两小圆内切于大圆03应力点分布区域：任意斜截面上的(σ,τ)点必落在三个圆所围成的阴影区域内04极值确定：大圆最高点给出绝对最大切应力τmax=(σ₁−σ₃)/2，大圆与σ轴交点给出σ₁和σ₃应力状态与强度理论三向应力状态极值应力总结绝对最大切应力τmax=(σ₁−σ₃)/2是强度校核的关键参数，忽视σ₂的影响会导致切应力被低估。正应力极值01最大正应力σmax=σ₁（第一主应力）σ₁02最小正应力σmin=σ₃（第三主应力）σ₃切应力极值01三个面内极值切应力：τ₁₂=(σ₁−σ₂)/2τ₂₃=(σ₂−σ₃)/2τ₁₃=(σ₁−σ₃)/202绝对最大切应力τmax=(σ₁−σ₃)/2=τ₁₃，是强度校核必须使用的值τmaxCHAPTER05广义虎克定律建立复杂应力状态下应力与应变的完整关系STRESS–STRAINREVIEW单向应力-应变关系回顾单向应力状态下，纵向应变ε=σ/E，横向应变ε'=-μσ/E，切应变γ=τ/G。弹性模量E、泊松μ和剪切模量G满足G=E/(2(1+μ))，仅两个独立。纵向胡克定律正应变与正应力成正比，弹性模量E（杨氏模量）为比例常数：ε=σ/Eε=σ/E横向变形泊松比μ描述横向收缩与纵向伸长的比值关系：ε'=−μσ/Eε'=−με剪切胡克定律切应变与切应力成正比，剪切模量G为比例常数：γ=τ/Gγ=τ/G三参数关系弹性模量E、泊松比μ、剪切模量G三者相互约束，仅两个独立G=E/(2(1+μ))STRESS–STRAINRELATIONSHIP复杂应力状态的广义虎克定律三向应力状态下，每个方向的应变由三个正应力叠加决定。广义虎克定律ε1=[σ1-μ(σ2+σ3)]/E等三组公式完整描述了应力-应变关系。反之可由应变反求应力，广泛应用于实验应力分析。01ε₁第一主方向应变ε₁=[σ₁−μ(σ₂+σ₃)]/E，由σ₁的拉伸效应减去σ₂、σ₃的横向收缩效应叠加而成。σ₁拉伸主导02ε₂第二主方向应变ε₂=[σ₂−μ(σ₁+σ₃)]/E，同理考虑三个主应力在该方向的叠加贡献。σ₂拉伸主导03ε₃第三主方向应变ε₃=[σ₃−μ(σ₁+σ₂)]/E，完整描述三向应力状态下的变形特征。σ₃拉伸主导04INVERSE逆关系应用已知ε₁、ε₂、ε₃可反求σ₁、σ₂、σ₃，广泛应用于应变片实验应力分析。实验应力分析VolumetricHooke'sLaw体积胡克定律体积应变θ等于三个主应变之和，与平均应力σm成正比，与体积模量K成反比，即θ=σm/K。体积变化仅取决于三个主应力的平均值，与各主应力的差异无关。当μ=0.5时K趋向无穷大，材料不可压缩。体积应变θ=ε₁+ε₂+ε₃=(1−2μ)(σ₁+σ₂+σ₃)/E，等于三个主应变之和，反映材料单位体积的体积变化率θ=Σεᵢ平均应力σm=(σ₁+σ₂+σ₃)/3，三个主应力的算术平均值，反映静水压力效应，决定体积变化趋势σm=Σσᵢ/3体积模量K=E/(3(1−2μ))，反映材料抵抗体积变化的能力，μ=0.5时K→∞，材料表现为不可压缩特性K=E/(3(1−2μ))体积胡克定律θ=σm/K，体积应变与平均应力成正比，与偏应力（形状改变）无关，是广义胡克定律的体积分量θ=σm/KCHAPTER06四大经典强度理论建立复杂应力状态下材料失效判据与强度校核方法STRENGTHTHEORY强度理论概述与分类强度理论基于材料破坏的单一因素假设，将复杂应力状态的失效判据转化为等效的单向应力与极限值比较。四大理论分为两类：第一、第二理论针对脆性断裂，分别以最大拉应力和最大拉应变为判据；第三、第四理论针对塑性屈服，分别以最大切应力和形状改变比能为判据。脆性断裂理论第一强度理论断裂由最大拉应力达到极限值引起σ₁最大拉应力脆性断裂理论第二强度理论断裂由最大拉应变达到极限值引起ε₁最大伸长线应变塑性屈服理论第三强度理论屈服由最大切应力达到极限值引起τmax最大切应力塑性屈服理论第四强度理论屈服由形状改变比能达到极限值引起uf形状改变比能STRENGTHTHEORY·01第一强度理论（最大拉应力理论）第一强度理论假设材料脆性断裂由最大拉应力σ1控制，当σ1达到单向拉伸极限σb时材料断裂。强度条件为σ1≤[σ]，形式简洁但仅考虑第一主应力，忽略了σ2和σ3的影响。适用于铸铁等脆性材料在拉应力主导的应力状态，不能解释三向受压不破坏的现象。01基本假设无论何种应力状态，只要最大拉应力σ1达到单向拉伸极限值σb，材料即发生脆性断裂。σ1→σb02断裂条件σ1=σb，其中σb为单向拉伸实验测得的强度极限，是材料发生断裂的临界应力值。σ1=σb03强度条件σ1≤[σ]，其中许用应力[σ]=σb/n，n为安全系数，确保构件在安全范围内工作。σ1≤[σ]04适用范围与局限适用于脆性材料拉应力为主的工况；未考虑σ2、σ3影响，不适用纯压应力状态。脆性材料StrengthTheory·Ⅱ第二强度理论（最大伸长线应变理论）第二强度理论假设断裂由最大伸长线应变ε₁控制，强度条件σ₁−μ(σ₂+σ₃)≤[σ]综合考虑三个主应力影响，但实验验证不够充分，工程中使用较少。01基本假设无论何种应力状态，只要最大伸长线应变ε₁达到单向拉伸极限应变εᵤ，材料即发生断裂破坏。该理论认为线应变是导致脆性断裂的根本原因。ε₁02断裂条件利用广义虎克定律将应变条件转化为应力表达：ε₁=[σ₁−μ(σ₂+σ₃)]/E。当ε₁=σᵦ/E时，材料达到断裂临界状态。σb/E03强度条件σ₁−μ(σ₂+σ₃)≤[σ]。等效应力σᵣ₂=σ₁−μ(σ₂+σ₃)称为相当应力，用于与许用应力[σ]进行安全校核。σr204适用评价考虑三个主应力综合影响，可解释脆性材料在拉压组合应力下的断裂现象。但实验数据支持有限，且计算复杂，工程中实际应用较少。BrittleStrengthTheory第三强度理论（最大切应力理论）第三强度理论假设屈服由最大切应力τmax控制，当τmax=(σ1−σ3)/2达到单向拉伸屈服极限σs/2时材料屈服。强度条件形式简洁，与塑性材料实验吻合良好。基本假设无论何种应力状态，只要最大切应力τmax达到单向拉伸屈服时的极限值，材料即发生屈服。τmax屈服条件τmax=(σ1−σ3)/2=τu=σs/2，其中σs为单向拉伸屈服极限。σs/2强度条件σ1−σ3≤[σ]，相当应力σr3=σ1−σ3，形式极其简洁，便于工程计算。σr3适用评价与低碳钢等塑性材料实验吻合好，工程中广泛使用；未考虑σ2影响使计算偏保守。偏保守STRENGTHTHEORY·04第四强度理论（形状改变比能理论）第四强度理论假设屈服由形状改变比能控制，相当应力σr4与塑性材料实验结果最为吻合，是现代有限元分析和压力容器设计中首选的屈服判据。基本假设无论何种应力状态，只要形状改变比能达到单向拉伸屈服时的极限值，材料即发生屈服。该假设揭示了体积变形与形状变形对材料强度的不同贡献机制。YIELDHYPOTHESIS强度条件相当应力σr4=√[((σ₁−σ₂)²+(σ₂−σ₃)²+(σ₃−σ₁)²)/2]≤[σ]，该公式综合反映三个主应力的耦合影响，适用于复杂应力状态分析。σr4≤[σ]与第三理论比较σr4一般小于σr3，结果更精确且不偏保守；二者差异最大约15.5%。第四理论能更准确预测塑性材料的屈服行为。≈15.5%工程应用现代有限元分析的标准屈服准则，广泛应用于压力容器与航空结构设计。ANSYS、ABAQUS等主流软件均采用此理论作为默认屈服判据。FEASTANDARDSTRENGTHTHEORIES四大强度理论综合对比四大强度理论各有适用范围：第一理论适用脆性拉伸断裂，第三理论适用塑性屈服，第四理论最精确。选用需根据材料性质与应力状态综合判断。四大经典强度理论对比表强度理论破坏类型相当应力σr适用范围第一理论脆性断裂σr1=σ1脆性材料拉应力为主工况第二理论脆性断裂σr2=σ1−μ(σ2+σ3)脆性材料拉压组合（少用）第三理论塑性屈服σr3=σ1−σ3塑性材料，工程设计常用第四理论塑性屈服σr4=√[Σ(σi−σj)²/2]