上海市延安中学2025-2026学年高三下学期3月数学月考试卷（含解析）

延安中学2025-2026学年第二学期高三年级数学月考2026.3一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．设全集为，集合，则.

2．已知，若幂函数为奇函数，则实数.

3．数据的第25百分位数是.

4．已知向量，则在方向上的数量投影为.

5．二项式的展开式中常数项为.

6．已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则.

7．某单位安排4名员工到甲、乙、丙三个小区担任志愿者，每个小区至少安排1名员工，每名员工都要担任志愿者，则不同的安排方法共有种.

8．已知实数满足，则的最小值是.

9．若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则.

10．已知函数，若函数（为自然对数的底数）恰有3个零点，则的取值范围是.11．已知点分别是双曲线的左、右焦点，直线过点且与双曲线的右支交于点，原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为.

12．已知平面向量，若对区间内的三个任意的实数，都有，则向量与夹角的最大值的余弦值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分）

13．已知为实数，使得＂＂成立的一个充分不必要条件是（）.

A．B．C．D．

14．已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（）.A．B．C．D．

15．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，分别是的中点，过点的平面记为，则下列说法中正确的个数是（）.

①点到平面的距离与点到平面的距离之比为

②平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为

③平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形

A．0B．1C．2D．3

16．已知为非常数数列且，下列命题中正确的是（）.

A．对任意实数，数列都是严格增数列B．存在实数，使得C．存在实数，使得对任意正整数都成立D．存在实数，使得对任意正整数都成立

三、解答题（本大题共有题，满分分）下列各题必须在答题纸相应的位置作答.

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在直三棱柱中，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在中，角的对边分别为．

（1）求角；

（2）若，且是锐角三角形，求的最大值．

19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）

某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生对＂三项体育活动中要有篮球＂这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）男生女生合计同意7050120不同意305080合计100100200（1）能否有的把握认为学生对＂三项体育活动中要有篮球＂这种观点的态度与性别有关？

（2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择，若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响.记事件为＂学生甲选择足球＂，事件为＂甲、乙两名学生都没有选择篮球＂，求，判断事件是否独立并说明理由．（3）现从不同意的样本中，按性别进行分层抽样选出8人，再从8人中随机抽取3人进行访谈，求该3人中男生的人数的分布及期望．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知随圆过点，长轴长为4，点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上的动点，是以为圆心，为半径的圆上的动点，且直线与圆相切，求的最大值；

（3）过作动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数的定义域为，对任意，定义：．

（1）设，求；

（2）已知是一段连续的闭区间（如是一段连续的闭区间，不是连续闭区间），求实数的取值范围；

（3）设函数是定义在上的函数，其值域为，其导函数为，且当时，，若对任意，都有，求证：＂是上的严格增函数＂当且仅当＂＂.

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知点分别是双曲线的左、右焦点，直线过点且与双曲线的右支交于点，原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为.【答案】【解析】如图，由题意得，，故，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得，化简得，又，所以，方程两边同时除以得，解得，所以离心率．12．已知平面向量，若对区间内的三个任意的实数，都有，则向量与夹角的最大值的余弦值为.

【答案】【解析】如图，建立直角坐标系，且，则易有平行四边形区域为表示的区域，设则的几何意义为点到平行四边形内任意一点（包含边界）的距离，不小于点到点的距离的一半，由对称性，不妨设在直线下方，即显然点必在外，故点到平行四边形内任意一点（包含边界）的距离的最小值要么为，要么为到直线的距离，其中，故有当时整理得对恒成立当时，显然成立，而当时，有恒成立故，而所以由对称性可知，当在直线上方时，所以的最大值为，验证可知，此角比时的所有角都大，二、选择题13.B14.C15.C16.B15．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，分别是的中点，过点的平面记为，则下列说法中正确的个数是（）.

①点到平面的距离与点到平面的距离之比为

②平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为

③平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形

A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对于①：因为平面过线段的中点，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，由平面过的三等分点可知，点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，因此，点到平面的距离是点到平面的距离的2倍．故命题①正确；

延长交直线于点，连结，交棱于点，连结，，可得五边形．故命题④错误．

记平面将直四棱柱分割成上下两部分的体积分别为、，则所以∴．故命题③正确．故选C.16．已知为非常数数列且，下列命题中正确的是（）.

A．对任意实数，数列都是严格增数列B．存在实数，使得C．存在实数，使得对任意正整数都成立D．存在实数，使得对任意正整数都成立

【解析】当时，，数列为严格减数列，故A错假设存在，则两式相加得令则故为严格增函数，所以与已知为非常数数列不符，故假设不成立，C错，故D不成立从而排除法可以选出B若存在，考虑到，且，故取，构造特征函数，则易有时，为严格增函数，为保证，可使，三、解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）19.（1）有关（2），不独立20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知随圆过点，长轴长为4，点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上的动点，是以为圆心，为半径的圆上的动点，且直线与圆相切，求的最大值；

（3）过作动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）依题意解得故椭圆方程为（2）由勾股定理：，故当最大时，最大设则所以（3）假设存在满足条件的点，且设，另设当直线的斜率不存在时，有当直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立消整理得显然，该方程必有两个实根，故又所以整理得恒成立所以解得综上可知21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数的定义域为，对任意，定义：．

（1）设，求；

（2）已知是一段连续的闭区间（如是一段连续的闭区间，不是连续闭区间），求实数的取值范围；

（3）设函数是定义在上的函数，其值域为，其导函数为，且当时，，若对任意，都有，求证：＂是上的严格增函数＂当且仅当＂＂.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】（1）由题设，，由，化简得，解得，故；

（2）因为，代入定义得：，

构造函数，故，令，当时，，

所以存在；所以当时，，进一步，列表可得：单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增由此是函数的极大值点，

故当时，是一段闭区间，因此，

特别地，当时，,故仍是一段闭区间，故；

当时，，故当且仅当时，．

同理，是函数的极小值点，且取得最小值，

当时，是一段闭区间，由此得，综上所述，；

（3）证明：假设，若，则，因此矛盾，故，

①先证充分性：

引理：对任意，当满足时，，已知．

假设，设，任取，