2026年人教版高一数学第六十一章数列与不等式同步练习试卷

2026年人教版高一数学第六十一章数列与不等式同步练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），则该数列的通项公式a_n等于（）A.1/(n-1)B.1/nC.n/(n+1)D.1/(n+1)答案B解析当n=1时，a_1=1符合条件。当n≥2时，由a_n=S_n/(S_n-1)可得S_n=a_n(S_n-1)，整理得S_n=a_nS_n-a_n，即S_n(1-a_n)=a_n，所以S_n=a_n/(1-a_n)。又因为S_n-S_{n-1}=a_n，所以a_n/(1-a_n)-a_{n-1}/(1-a_{n-1})=a_n，整理得a_n/(1-a_n)=2a_n/(1-a_{n-1})，即1-a_n=2(1-a_{n-1})，所以a_n=2a_{n-1}-1。由此可知a_2=1，a_3=1，a_4=1，...，即当n≥2时，a_n=1/n，故数列的通项公式为a_n=1/n。2.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n^2C.n(n+1)D.2^n+n-1答案D解析由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即b_n+1=2b_n（其中b_n=a_n+1），所以数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，即b_n=3×2^{n-1}，故a_n=3×2^{n-1}-1。所以S_n=3(2^0+2^1+...+2^{n-1})-n=3(2^n-1)-n=2^n+n-1。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3n^2+n，则该数列的第5项a_5等于（）A.30B.31C.32D.33答案C解析由S_n=3n^2+n可得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-3(n-1)^2-(n-1)=6n-2，所以a_5=6×5-2=32。4.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，则该数列的前n项和S_n等于（）A.3^n-1B.3^n+nC.3^n-nD.3^n+n-1答案D解析由a_n+1=3a_n+2可得a_n+1+1=3(a_n+1)，即b_n+1=3b_n（其中b_n=a_n+1），所以数列{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即b_n=2×3^{n-1}，故a_n=2×3^{n-1}-1。所以S_n=2(1+3+...+3^{n-1})-n=2(3^n-1)/2-n=3^n-n。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n=S_n/(n+1)，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2/(n+1)B.2n/(n+1)C.2/(n^2)D.2n答案B解析当n=1时，a_1=2/2=1，不符合条件。当n≥2时，由a_n=S_n/(n+1)可得S_n=a_n(n+1)，整理得S_n=S_n(n+1)-na_n，即S_n(n+1)=na_n，所以S_n=na_n/(n+1)。又因为S_n-S_{n-1}=a_n，所以na_n/(n+1)-(n-1)a_{n-1}/n=a_n，整理得na_n/(n+1)=a_n+a_{n-1}/n，即a_n/(n+1)=1+1/(2n)，所以a_n=2n/(n+1)。6.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n^2C.n(n+1)D.2^n+n-1答案D解析由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即b_n+1=2b_n（其中b_n=a_n+1），所以数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2×2^{n-1}=2^n，故a_n=2^n-1。所以S_n=(2^1-1)+(2^2-1)+...+(2^n-1)=2(2^1+2^2+...+2^n)-n=2(2^{n+1}-2)-n=2^{n+1}-n-4。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2n^2+n，则该数列的第5项a_5等于（）A.30B.31C.32D.33答案C解析由S_n=2n^2+n可得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-2(n-1)^2-(n-1)=4n-1，所以a_5=4×5-1=19。8.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，则该数列的前n项和S_n等于（）A.3^n-1B.3^n+nC.3^n-nD.3^n+n-1答案D解析由a_n+1=3a_n+2可得a_n+1+1=3(a_n+1)，即b_n+1=3b_n（其中b_n=a_n+1），所以数列{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即b_n=2×3^{n-1}，故a_n=2×3^{n-1}-1。所以S_n=2(1+3+...+3^{n-1})-n=2(3^n-1)/2-n=3^n-n。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n=S_n/(n+1)，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2/(n+1)B.2n/(n+1)C.2/(n^2)D.2n答案B解析当n=1时，a_1=2/2=1，不符合条件。当n≥2时，由a_n=S_n/(n+1)可得S_n=a_n(n+1)，整理得S_n=S_n(n+1)-na_n，即S_n(n+1)=na_n，所以S_n=na_n/(n+1)。又因为S_n-S_{n-1}=a_n，所以na_n/(n+1)-(n-1)a_{n-1}/n=a_n，整理得na_n/(n+1)=a_n+a_{n-1}/n，即a_n/(n+1)=1+1/(2n)，所以a_n=2n/(n+1)。10.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n^2C.n(n+1)D.2^n+n-1答案D解析由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即b_n+1=2b_n（其中b_n=a_n+1），所以数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2×2^{n-1}=2^n，故a_n=2^n-1。所以S_n=(2^1-1)+(2^2-1)+...+(2^n-1)=2(2^1+2^2+...+2^n)-n=2(2^{n+1}-2)-n=2^{n+1}-n-4。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），则该数列的前5项和S_5等于_________。答案15解析由a_n=S_n/(S_n-1)可得S_n=a_n(S_n-1)，整理得S_n=a_nS_n-a_n，即S_n(a_n-1)=a_n，所以S_n=a_n/(a_n-1)。当n=2时，S_2=a_2/(a_2-1)，又因为S_2=a_1+a_2=1+a_2，所以1+a_2=a_2/(a_2-1)，整理得a_2^2-a_2-1=0，解得a_2=(1±√5)/2，由于a_2>0，所以a_2=(1+√5)/2。当n=3时，S_3=a_3/(a_3-1)，又因为S_3=a_2+a_3=(1+√5)/2+a_3，所以(1+√5)/2+a_3=a_3/(a_3-1)，整理得a_3^2-a_3-2=0，解得a_3=2。当n=4时，S_4=a_4/(a_4-1)，又因为S_4=a_3+a_4=2+a_4，所以2+a_4=a_4/(a_4-1)，整理得a_4^2-a_4-2=0，解得a_4=2。当n=5时，S_5=a_5/(a_5-1)，又因为S_5=a_4+a_5=2+a_5，所以2+a_5=a_5/(a_5-1)，整理得a_5^2-a_5-2=0，解得a_5=2。所以S_5=1+(1+√5)/2+2+2+2=15。2.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n+2，则该数列的通项公式a_n等于_________。答案3^{n-1}-1解析由a_n+1=3a_n+2可得a_n+1+1=3(a_n+1)，即b_n+1=3b_n（其中b_n=a_n+1），所以数列{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列，即b_n=3×3^{n-1}=3^n，故a_n=3^n-1。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3n^2+n，则该数列的第6项a_6等于_________。答案36解析由S_n=3n^2+n可得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-3(n-1)^2-(n-1)=6n-2，所以a_6=6×6-2=34。4.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n=S_n/(n+1)，则该数列的前4项和S_4等于_________。答案10解析当n=1时，a_1=S_1/(1+1)=S_1/2=1，所以S_1=2。当n=2时，a_2=S_2/(2+1)=S_2/3，又因为S_2=a_1+a_2=2+a_2，所以2+a_2=S_2/3，整理得S_2=3(2+a_2)，即3+a_2=3(2+a_2)，解得a_2=3。当n=3时，a_3=S_3/(3+1)=S_3/4，又因为S_3=a_2+a_3=3+a_3，所以3+a_3=S_3/4，整理得S_3=4(3+a_3)，即12+4a_3=4(3+a_3)，解得a_3=4。当n=4时，a_4=S_4/(4+1)=S_4/5，又因为S_4=a_3+a_4=4+a_4，所以4+a_4=S_4/5，整理得S_4=5(4+a_4)，即20+5a_4=5(4+a_4)，解得a_4=5。所以S_4=2+3+4+5=14。5.已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前5项和S_5等于_________。答案55解析由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即b_n+1=2b_n（其中b_n=a_n+1），所以数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，即b_n=3×2^{n-1}，故a_n=3×2^{n-1}-1。所以S_5=3(2^0+2^1+...+2^4)-5=3(2^5-1)-5=55。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），求该数列的通项公式a_n。解当n=2时，S_2=a_2/(a_2-1)，又因为S_2=a_1+a_2=1+a_2，所以1+a_2=a_2/(a_2-1)，整理得a_2^2-a_2-1=0，解得a_2=(1±√5)/2，由于a_2>0，所以a_2=(1+√5)/2。当n≥3时，S_n=a_n/(a_n-1)，又因为S_n=S_{n-1}+a_n，所以S_{n-1}+a_n=a_n/(a_n-1)，整理得S_{n-1}(a_n-1)+a_n(a_n-1)=a_n，即S_{n-1}a_n-a_n+a_n^2-a_n=a_n，所以S_{n-1}a_n=a_n^2，即S_{n-1}=a_n，这与S_{n-1}=a_{n-1}矛盾，所以该数列的通项公式为a_n=1/n。2.已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n+2，求该数列的前n项和S_n。解由a_n+1=3a_n+2可得a_n+1+1=3(a_n+1)，即b_n+1=3b_n（其中b_n=a_n+1），所以数列{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列，即b_n=3×3^{n-1}=3^n，故a_n=3^n-1。所以S_n=(3^1-1)+(3^2-1)+...+(3^n-1)=3(3^1+3^2+...+3^n)-n=3(3^{n+1}-3)-n=3^{n+1}-n-9。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2n^2+n，求该数列的第10项a_10。解由S_n=2n^2+n可得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-2(n-1)^2-(n-1)=4n-1，所以a_10=4×10-1=39。4.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n=S_n/(n+1)，求该数列的前n项和S_n。解当n=1时，S_1=a_1=1。当n≥2时，由a_n=S_n/(n+1)可得S_n=a_n(n+1)，整理得S_n=S_n(n+1)-na_n，即S_n(n+1)=na_n，所以S_n=na_n/(n+1)。又因为S_n-S_{n-1}=a_n，所以na_n/(n+1)-(n-1)a_{n-1}/n=a_n，整理得na_n/(n+1)=a_n+a_{n-1}/n，即a_n/(n+1)=1+1/(2n)，所以a_n=2n/(n+1)。所以S_n=2(1+1/2+...+1/n)/(n+1)=2(1-(1/(n+1)))/(n+1)=2/(n+1)。5.已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=2a_n+1，求该数列的前n项和S_n。解由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即b_n+1=2b_n（其中b_n=a_n+1），所以数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，即b_n=3×2^{n-1}，故a_n=3