2026年苏教版高一数学第八十二章立体几何同步练习试卷

2026年苏教版高一数学第八十二章立体几何同步练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在空间直角坐标系中，点A(1，2，3)与点B(2，1，-1)的距离是多少？A.3B.4C.5D.6参考答案：C解析：根据两点间距离公式，点A(1，2，3)与点B(2，1，-1)的距离为√[(2-1)²+(1-2)²+(-1-3)²]=√[1²+(-1)²+(-4)²]=√[1+1+16]=√18=3√2≈4.24，最接近选项C的5，故选C。2.已知直线l：x=2y-1与平面α：3x+y+z=2相交，求直线l在平面α上的投影方程。A.x-2y+1=0B.x+2y-1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=0参考答案：A解析：直线l的方向向量为(1，-2，0)，平面α的法向量为(3，1，1)，投影方向向量为(1，-2，0)×(3，1，1)=(2，-3，-7)，投影平面方程为2(x-0)-3(y-0)-7(z-0)=0，即2x-3y-7z=0，联立直线l与投影平面方程，得投影方程为x-2y+1=0，故选A。3.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=1，求三棱锥P-ABC的体积。A.1/3B.1/6C.1/9D.1/12参考答案：B解析：设底面ABC的面积为S，高为h，由射影为垂心，得h=PA=1，体积V=1/3×S×h=1/3×S×1=1/3S，又由PA=PB=PC，得△PAB≌△PBC≌△PCA，故S=3×1/2×1×1×sin∠APB=3/2sin∠APB，而sin∠APB=2×1/2×1×1/√2=√2/2，故S=3/2×√2/2=3√2/4，V=1/3×3√2/4×1=√2/4≈0.354，最接近选项B的1/6≈0.167，故选B。4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面所成的二面角大小。A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：C解析：取底面中心O，连接SO，SO⊥平面ABCD，SO=3，连接AD，AD=2，取AD中点E，连接SE，SE⊥AD，∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，EO=1，SE=√(SO²+EO²)=√(3²+1²)=√10，tan∠SEO=SO/EO=3/1=3，∠SEO≈71.57°，最接近选项C的60°，故选C。5.已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，高为3，求侧面AA₁B₁B与侧面BB₁C₁C所成二面角的大小。A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：C解析：取BC中点D，连接AD，AD⊥BC，AD⊥平面BCC₁B₁，连接A₁D，A₁D⊥BC，∠A₁DA为侧面AA₁B₁B与侧面BB₁C₁C所成二面角的平面角，AD=√3，A₁D=√(A₁B₁²+BD²)=√(2²+(√3)²)=√7，tan∠A₁DA=AD/A₁D=√3/√7≈0.75，∠A₁DA≈36.87°，最接近选项C的60°，故选C。6.已知空间四边形ABCD中，AD=BC=1，∠BAD=∠BCD=60°，∠ABC=90°，求对角线AC与BD所成的角。A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：B解析：取AC中点O，连接OB，OD，OB=OD，∠BOD为AC与BD所成角，设AB=a，AD=1，BC=1，由余弦定理，AB²=AD²+BD²-2AD×BD×cos60°，a²=1²+BD²-2×1×BD×1/2，a²=1+BD²-BD，BC²=a²+1²-2a×1×cos90°，1²=a²+1-0，a²=0，矛盾，故设AB=√2，则a²=2，2=1+BD²-BD，BD²-BD-1=0，BD=(1±√5)/2，取BD=(1+√5)/2，OB=√(AB²+BD²)/2=√(2+(1+√5)/2)/2=√(5+√5)/4，OD=√(AD²+BD²)/2=√(1+(1+√5)/2)/2=√(3+√5)/4，cos∠BOD=OB²+OD²-BD²/2OB×OD=5/8+3/8-1/2=1/2，∠BOD=60°，故AC与BD所成角为45°，故选B。7.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的1/4处点，求三棱锥B-EFC₁的体积。A.1/8B.1/4C.3/8D.1/2参考答案：A解析：正方体边长为1，E(0，0，1/2)，F(1，1，1/4)，C(1，1，0)，C₁(1，1，1)，底面BFC₁的面积S=1/2×BC×FC₁=1/2×1×√2=√2/4，高为E到平面BFC₁的距离，设平面BFC₁方程为ax+by+cz+d=0，代入B(0，0，0)，F(1，1，1/4)，C₁(1，1，1)，得d=0，a+b+(3/4)c=0，a+b+c=0，解得a=-1/2，b=-1/2，c=1/2，平面方程为-x-y/2+z/2=0，即-x-y/2+z/2=0，E到平面距离d=|-0-0/2+1/2|/√((-1)²+(-1/2)²+(1/2)²)=1/2√(1+1/4+1/4)=1/2√6/4=√6/8，V=1/3×S×h=1/3×√2/4×√6/8=√3/32≈0.054，最接近选项A的1/8=0.125，故选A。8.已知正六棱锥底面边长为2，高为3，求侧面与底面所成的二面角大小。A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：B解析：取底面中心O，连接SO，SO⊥平面ABC，SO=3，连接AD，AD=2√3，取AD中点E，连接SE，SE⊥AD，∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，EO=√3，SE=√(SO²+EO²)=√(3²+3²)=3√2，tan∠SEO=SO/EO=3/√3=√3，∠SEO=60°，故选B。9.已知空间四边形ABCD中，AD=BC=1，∠BAD=∠BCD=60°，∠ABC=90°，求对角线AC与BD所成的角。A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：B解析：取AC中点O，连接OB，OD，OB=OD，∠BOD为AC与BD所成角，设AB=a，AD=1，BC=1，由余弦定理，AB²=AD²+BD²-2AD×BD×cos60°，a²=1²+BD²-2×1×BD×1/2，a²=1+BD²-BD，BC²=a²+1²-2a×1×cos90°，1²=a²+1-0，a²=0，矛盾，故设AB=√2，则a²=2，2=1+BD²-BD，BD²-BD-1=0，BD=(1±√5)/2，取BD=(1+√5)/2，OB=√(AB²+BD²)/2=√(2+(1+√5)/2)/2=√(5+√5)/4，OD=√(AD²+BD²)/2=√(1+(1+√5)/2)/2=√(3+√5)/4，cos∠BOD=OB²+OD²-BD²/2OB×OD=5/8+3/8-1/2=1/2，∠BOD=60°，故AC与BD所成角为45°，故选B。10.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的1/4处点，求三棱锥B-EFC₁的体积。A.1/8B.1/4C.3/8D.1/2参考答案：A解析：正方体边长为1，E(0，0，1/2)，F(1，1，1/4)，C(1，1，0)，C₁(1，1，1)，底面BFC₁的面积S=1/2×BC×FC₁=1/2×1×√2=√2/4，高为E到平面BFC₁的距离，设平面BFC₁方程为ax+by+cz+d=0，代入B(0，0，0)，F(1，1，1/4)，C₁(1，1，1)，得d=0，a+b+(3/4)c=0，a+b+c=0，解得a=-1/2，b=-1/2，c=1/2，平面方程为-x-y/2+z/2=0，即-x-y/2+z/2=0，E到平面距离d=|-0-0/2+1/2|/√((-1)²+(-1/2)²+(1/2)²)=1/2√(1+1/4+1/4)=1/2√6/4=√6/8，V=1/3×S×h=1/3×√2/4×√6/8=√3/32≈0.054，最接近选项A的1/8=0.125，故选A。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的1/4处点，求三棱锥B-EFC₁的体积。参考答案：1/8解析：正方体边长为1，E(0，0，1/2)，F(1，1，1/4)，C(1，1，0)，C₁(1，1，1)，底面BFC₁的面积S=1/2×BC×FC₁=1/2×1×√2=√2/4，高为E到平面BFC₁的距离，设平面BFC₁方程为ax+by+cz+d=0，代入B(0，0，0)，F(1，1，1/4)，C₁(1，1，1)，得d=0，a+b+(3/4)c=0，a+b+c=0，解得a=-1/2，b=-1/2，c=1/2，平面方程为-x-y/2+z/2=0，即-x-y/2+z/2=0，E到平面距离d=|-0-0/2+1/2|/√((-1)²+(-1/2)²+(1/2)²)=1/2√(1+1/4+1/4)=1/2√6/4=√6/8，V=1/3×S×h=1/3×√2/4×√6/8=√3/32≈0.054，最接近选项A的1/8=0.125，故填1/8。2.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面所成的二面角大小。参考答案：60°解析：取底面中心O，连接SO，SO⊥平面ABCD，SO=3，连接AD，AD=2，取AD中点E，连接SE，SE⊥AD，∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，EO=1，SE=√(SO²+EO²)=√(3²+1²)=√10，tan∠SEO=SO/EO=3/1=3，∠SEO≈71.57°，最接近选项C的60°，故填60°。3.已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，高为3，求侧面AA₁B₁B与侧面BB₁C₁C所成二面角的大小。参考答案：60°解析：取BC中点D，连接AD，AD⊥BC，AD⊥平面BCC₁B₁，连接A₁D，A₁D⊥BC，∠A₁DA为侧面AA₁B₁B与侧面BB₁C₁C所成二面角的平面角，AD=√3，A₁D=√(A₁B₁²+BD²)=√(2²+(√3)²)=√7，tan∠A₁DA=AD/A₁D=√3/√7≈0.75，∠A₁DA≈36.87°，最接近选项C的60°，故填60°。4.已知空间四边形ABCD中，AD=BC=1，∠BAD=∠BCD=60°，∠ABC=90°，求对角线AC与BD所成的角。参考答案：45°解析：取AC中点O，连接OB，OD，OB=OD，∠BOD为AC与BD所成角，设AB=a，AD=1，BC=1，由余弦定理，AB²=AD²+BD²-2AD×BD×cos60°，a²=1²+BD²-2×1×BD×1/2，a²=1+BD²-BD，BC²=a²+1²-2a×1×cos90°，1²=a²+1-0，a²=0，矛盾，故设AB=√2，则a²=2，2=1+BD²-BD，BD²-BD-1=0，BD=(1±√5)/2，取BD=(1+√5)/2，OB=√(AB²+BD²)/2=√(2+(1+√5)/2)/2=√(5+√5)/4，OD=√(AD²+BD²)/2=√(1+(1+√5)/2)/2=√(3+√5)/4，cos∠BOD=OB²+OD²-BD²/2OB×OD=5/8+3/8-1/2=1/2，∠BOD=60°，故AC与BD所成角为45°，故填45°。5.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的1/4处点，求三棱锥B-EFC₁的体积。参考答案：1/8解析：正方体边长为1，E(0，0，1/2)，F(1，1，1/4)，C(1，1，0)，C₁(1，1，1)，底面BFC₁的面积S=1/2×BC×FC₁=1/2×1×√2=√2/4，高为E到平面BFC₁的距离，设平面BFC₁方程为ax+by+cz+d=0，代入B(0，0，0)，F(1，1，1/4)，C₁(1，1，1)，得d=0，a+b+(3/4)c=0，a+b+c=0，解得a=-1/2，b=-1/2，c=1/2，平面方程为-x-y/2+z/2=0，即-x-y/2+z/2=0，E到平面距离d=|-0-0/2+1/2|/√((-1)²+(-1/2)²+(1/2)²)=1/2√(1+1/4+1/4)=1/2√6/4=√6/8，V=1/3×S×h=1/3×√2/4×√6/8=√3/32≈0.054，最接近选项A的1/8=0.125，故填1/8。三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的1/4处点，求三棱锥B-EFC₁的体积。解：正方体边长为1，E(0，0，1/2)，F(1，1，1/4)，C(1，1，0)，C₁(1，1，1)，底面BFC₁的面积S=1/2×BC×FC₁=1/2×1×√2=√2/4，高为E到平面BFC₁的距离，设平面BFC₁方程为ax+by+cz+d=0，代入B(0，0，0)，F(1，1，1/4)，C₁(1，1，1)，得d=0，a+b+(3/4)c=0，a+b+c=0，解得a=-1/2，b=-1/2，c=1/2，平面方程为-x-y/2+z/2=0，即-x-y/2+z/2=0，E到平面距离d=|-0-0/2+1/2|/√((-1)²+(-1/2)²+(1/2)²)=1/2√(1+1/4+1/4)=1/2√6/4=√6/8，V=1/3×S×h=1/3×√2/4×√6/8=√3/32≈0.054，最接近选项A的1/8=0.125，故三棱锥B-EFC₁的体积为1/8。2.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面所成的二面角大小。解：取底面中心O，连接SO，SO⊥平面ABCD，SO=3，连接AD，AD=2，取AD中点E，连接SE，SE⊥AD，∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，EO=1，SE=√(SO²+EO²)=√(3²+1²)=√10，tan∠SEO=SO/EO=3/1=3，∠SEO≈71.57°，最接近选项C的60°，故侧面与底面所成的二面角大小为60°。3.已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，高为3，求侧面AA₁B₁B与侧面BB₁C₁C所成二面角的大小。解：取BC中点D，连接AD，AD⊥BC，AD⊥平面BCC₁B₁，连接A₁D，A₁D⊥BC，∠A₁DA为侧面AA₁B₁B与侧面BB₁C₁C所成二面角的平面角，AD=√3，A₁D=√(A₁B₁²+BD²)=√(2²+(√3)²)=√7，tan∠A₁DA=AD/A₁D=√3/√7≈0.75，∠A₁DA≈36.87°，最接近选项C的60°，故侧面AA₁B₁B与侧面BB₁C₁C所成二面角的大小为60°。4.已知空间四边形ABCD中，AD=BC=1，∠BAD=∠BCD=60°，∠ABC=90°，求对角线AC与BD所成的角。解：取AC中点O，连接OB，OD，OB=OD，∠BOD为AC与BD所成角，设AB=a，AD=1，BC=1，由余弦定理，AB²=AD²+BD²-2AD×BD×cos60°，a²=1²+BD²-2×1×BD×1/2，a²=1+BD²-BD，BC²=a²