2026年湘教版高一数学第八十五章数列与不等式同步练习试卷

2026年湘教版高一数学第八十五章数列与不等式同步练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），则该数列的通项公式a_n等于（）A.1/(n-1)B.1/nC.n/(n+1)D.1/(n+1)参考答案：B解析：由a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），可得S_n=a_n(S_n-1)，即S_n-a_nS_n=-a_n，整理得S_n(1-a_n)=-a_n，因为n≥2，所以S_n≠0，两边同时除以S_n，得1-a_n=-a_n/S_n，即a_n/S_n=1-a_n，又因为a_n=S_n-a_(n-1)，所以a_n/S_n=(S_n-a_(n-1))/S_n=1-a_(n-1)/S_n，即a_n/S_n=1-a_n，所以1-a_n=1-a_n，该等式恒成立，因此数列{a_n}满足a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），又因为a_1=1，所以数列{a_n}是首项为1，公比为1/2的等比数列，即a_n=1/2^(n-1)，化简得a_n=1/n，故选B。2.若数列{a_n}是等差数列，且a_3+a_7=12，a_5=7，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4参考答案：B解析：由等差数列的性质，得a_3+a_7=2a_5，又因为a_3+a_7=12，a_5=7，所以2a_5=14，即a_3+a_7=14，又因为a_3+a_7=12，所以14=12，矛盾，因此不存在这样的等差数列，故选B。3.已知数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b_1=2，b_n=3b_(n-1)-2（n≥2），则该数列的通项公式b_n等于（）A.3^n-1B.3^n+1C.23^(n-1)D.23^n参考答案：A解析：由b_n=3b_(n-1)-2（n≥2），可得b_n-1=3(b_(n-1)-1)，即b_n-1与b_(n-1)-1成等比数列，又因为b_1=2，所以b_1-1=1，所以b_n-1=3^(n-1)，即b_n=3^n-1，故选A。4.若数列{c_n}是等比数列，且c_2c_8=81，c_4=9，则该数列的公比q等于（）A.3B.1/3C.3或1/3D.-3或-1/3参考答案：C解析：由等比数列的性质，得c_2c_8=c_4^2，又因为c_2c_8=81，c_4=9，所以9^2=81，即81=81，所以等式成立，又因为c_2c_8=81，c_4=9，所以q^6=9，即q^6=3^2，所以q=±3或q=±1/3，又因为c_4=9，所以q≠-1/3，故q=3或q=1/3，故选C。5.已知数列{d_n}的前n项和为U_n，且满足d_1=1，d_n=2d_(n-1)+1（n≥2），则该数列的通项公式d_n等于（）A.2^n-1B.2^n+1C.n^2D.n^2+1参考答案：B解析：由d_n=2d_(n-1)+1（n≥2），可得d_n+1=2(d_(n-1)+1)，即d_n+1与d_(n-1)+1成等比数列，又因为d_1=1，所以d_1+1=2，所以d_n+1=2^n，即d_n=2^n-1，故选B。6.若数列{e_n}是等差数列，且前n项和为V_n，满足V_3=9，V_6=18，则V_9等于（）A.27B.36C.45D.54参考答案：C解析：由等差数列的性质，得V_6-V_3=3d，又因为V_3=9，V_6=18，所以18-9=3d，即9=3d，所以d=3，又因为V_3=9，所以a_1+2d=9，即a_1+6=9，所以a_1=3，所以V_9=9a_1+36d=93+363=27+108=135，故选C。7.已知数列{f_n}是等比数列，且前n项和为W_n，满足W_2=6，W_4=18，则W_6等于（）A.54B.66C.78D.90参考答案：A解析：由等比数列的性质，得W_4-W_2=q^2(W_2-W_1)，又因为W_2=6，W_4=18，所以18-6=q^2(6-W_1)，即12=q^2(6-W_1)，又因为W_2=6，所以W_1=6/q，所以12=q^2(6-6/q)，即12=q^2(6q-6)/q，即12=q(q-1)，即q^2-q-12=0，解得q=4或q=-3，又因为W_4-W_2=q^2(W_2-W_1)，所以q>0，所以q=4，又因为W_2=6，所以W_1=6/4=3/2，所以W_6=3/24^6=3/24096=6144，故选A。8.已知数列{g_n}的前n项和为X_n，且满足g_1=1，g_n=2g_(n-1)+n（n≥2），则X_5等于（）A.31B.35C.39D.43参考答案：C解析：由g_n=2g_(n-1)+n（n≥2），可得g_n-n=2(g_(n-1)-(n-1))，即g_n-n与g_(n-1)-(n-1)成等比数列，又因为g_1=1，所以g_1-1=0，所以g_n-n=0，即g_n=n，所以X_5=1+2+3+4+5=15，故选C。9.已知数列{h_n}是等差数列，且a_3=5，a_7=11，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-1B.2n+1C.n+4D.n-4参考答案：A解析：由等差数列的性质，得a_7-a_3=4d，又因为a_3=5，a_7=11，所以11-5=4d，即6=4d，所以d=3/2，又因为a_3=5，所以a_1+2d=5，即a_1+3=5，所以a_1=2，所以a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)3/2=2+3n/2-3/2=3n/2+1/2=2n-1，故选A。10.已知数列{i_n}是等比数列，且a_2=6，a_4=54，则该数列的通项公式i_n等于（）A.3^nB.23^(n-1)C.3^n+1D.23^n参考答案：D解析：由等比数列的性质，得a_4/a_2=q^2，又因为a_2=6，a_4=54，所以54/6=q^2，即9=q^2，所以q=3，又因为a_2=6，所以a_1q=6，即a_13=6，所以a_1=2，所以i_n=a_1q^(n-1)=23^(n-1)，故选D。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知数列{j_n}的前n项和为Y_n，且满足j_1=2，j_n=3j_(n-1)+1（n≥2），则j_5等于_________参考答案：244解析：由j_n=3j_(n-1)+1（n≥2），可得j_n+1=3(j_(n-1)+1)，即j_n+1与j_(n-1)+1成等比数列，又因为j_1=2，所以j_1+1=3，所以j_n+1=3^n，即j_n=3^n-1，所以j_5=3^5-1=243-1=244。2.若数列{k_n}是等差数列，且k_3+k_7=14，k_5=6，则该数列的公差d等于_________参考答案：2解析：由等差数列的性质，得k_3+k_7=2k_5，又因为k_3+k_7=14，k_5=6，所以2k_5=12，即k_3+k_7=12，又因为k_3+k_7=14，所以12=14，矛盾，因此不存在这样的等差数列。3.已知数列{l_n}是等比数列，且l_2l_8=64，l_4=8，则该数列的公比q等于_________参考答案：2解析：由等比数列的性质，得l_2l_8=l_4^2，又因为l_2l_8=64，l_4=8，所以8^2=64，即64=64，所以等式成立，又因为l_2l_8=64，l_4=8，所以q^6=8，即q^6=2^3，所以q=2，故q=2。4.若数列{m_n}的前n项和为Z_n，且满足m_1=1，m_n=2m_(n-1)+2（n≥2），则m_4等于_________参考答案：30解析：由m_n=2m_(n-1)+2（n≥2），可得m_n-2=2(m_(n-1)-2)，即m_n-2与m_(n-1)-2成等比数列，又因为m_1=1，所以m_1-2=-1，所以m_n-2=(-1)^2，即m_n=2+(-1)^2=3，所以m_4=30。5.已知数列{p_n}是等差数列，且前n项和为A_n，满足A_5=25，A_10=50，则A_15等于_________参考答案：75解析：由等差数列的性质，得A_10-A_5=5d，又因为A_5=25，A_10=50，所以50-25=5d，即25=5d，所以d=5，又因为A_5=25，所以5a_1+10d=25，即5a_1+50=25，所以5a_1=-25，所以a_1=-5，所以A_15=15a_1+105d=15(-5)+1055=75。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知数列{q_n}的前n项和为B_n，且满足q_1=1，q_n=4q_(n-1)+3（n≥2），求该数列的通项公式q_n。解：由q_n=4q_(n-1)+3（n≥2），可得q_n+3=4(q_(n-1)+3)，即q_n+3与q_(n-1)+3成等比数列，又因为q_1=1，所以q_1+3=4，所以q_n+3=4^n，即q_n=4^n-3，故该数列的通项公式q_n=4^n-3。2.若数列{r_n}是等差数列，且r_3+r_9=20，r_6=5，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列的性质，得r_3+r_9=2r_6，又因为r_3+r_9=20，r_6=5，所以2r_6=10，即r_3+r_9=10，又因为r_3+r_9=20，所以10=20，矛盾，因此不存在这样的等差数列。3.已知数列{s_n}是等比数列，且s_2s_8=64，s_4=8，求该数列的前7项和S_7。解：由等比数列的性质，得s_2s_8=s_4^2，又因为s_2s_8=64，s_4=8，所以8^2=64，即64=64，所以等式成立，又因为s_2s_8=64，s_4=8，所以q^6=8，即q^6=2^3，所以q=2，又因为s_4=8，所以s_1q^3=8，即s_18=8，所以s_1=1，所以S_7=(1-2^7)/(1-2)=127，故该数列的前7项和S_7=127。4.若数列{t_n}的前n项和为C_n，且满足t_1=2，t_n=3t_(n-1)+1（n≥2），求该数列的前5项和S_5。解：由t_n=3t_(n-1)+1（n≥2），可得t_n+1=3(t_(n-1)+1)，即t_n+1与t_(n-1)+1成等比数列，又因为t_1=2，所以t_1+1=3，所以t_n+1=3^n，即t_n=3^n-1，所以t_1=2，t_2=8，t_3=26，t_4=82