2026年湘教版高三数学第四十五章复数与向量练习题试卷

2026年湘教版高三数学第四十五章复数与向量练习题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足z^2+2z+3=0，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B解析：由z^2+2z+3=0得z=-1±√2i，对应的点为(-1,√2)或(-1,-√2)，均位于第二象限，故选B。2.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为2，且z/(1+i)为实数，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=-bC.a+b=0D.a-b=0参考答案：D解析：|z|=2即a^2+b^2=4，z/(1+i)=(a+bi)/(1+i)=(a-b)/(1+i)+(a+b-2b)i为实数，需a+b-2b=0，即a-b=0。3.已知向量向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，若向量a+向量b与向量a-向量b垂直，则x与y满足的关系式为（）A.x-y=0B.x+y=0C.x-2y=0D.2x-y=0参考答案：C解析：向量a+向量b=(1+x,2+y)，向量a-向量b=(1-x,2-y)，由(向量a+向量b)•(向量a-向量b)=0得(1+x)(1-x)+(2+y)(2-y)=0，化简得x^2+y^2-5=0，又由向量平行条件得x=2y。4.在平行四边形ABCD中，向量AB=向量a，向量AD=向量b，点E为BD的中点，点F为AC的中点，则向量EF等于（）A.向量a+向量bB.向量a-向量bC.(向量a+向量b)/2D.(向量a-向量b)/2参考答案：C解析：向量EF=向量EB+向量BF=1/2向量BD+1/2向量BC=1/2(向量a+向量b)+1/2(向量a-向量b)=向量a。5.已知复数z1=1+i，z2=1-i，则复数z=z1/z2+1的模长为（）A.1B.√2C.√3D.2参考答案：B解析：z=z1/z2+1=(1+i)/(1-i)+1=1+1=2，|z|=√2。6.已知向量向量m=(1,1)，向量n=(1,-1)，若向量p与向量m垂直，且向量p与向量n的夹角为π/4，则向量p的模长为（）A.√2B.2√2C.√3D.3√2参考答案：A解析：设向量p=(x,y)，由向量p•向量m=0得x+y=0，即y=-x，又由cos(π/4)=向量p•向量n/(|向量p||向量n|)得√2/2=(x-y)/√2|向量p|，解得|向量p|=√2。7.已知复数z满足|z-1|=1，且z的实部大于0，则复数z的辐角主值的取值范围是（）A.(0,π/4)B.(π/4,π/2)C.(π/2,3π/4)D.(3π/4,π)参考答案：B解析：|z-1|=1表示复平面内以(1,0)为圆心，半径为1的圆，实部大于0部分为右半圆，辐角主值在(π/4,π/2)内。8.已知向量向量a=(cosθ,sinθ)，向量b=(1,0)，则向量a与向量b的夹角θ的取值范围是（）A.[0,π/2]B.[π/4,3π/4]C.[0,π]D.[π/2,π]参考答案：C解析：cosθ=向量a•向量b/(|向量a||向量b|)=cosθ，θ∈[0,π]。9.已知复数z1=2+3i，z2=1-2i，则复数z=(z1+z2)/(z1-z2)的虚部为（）A.-1B.1C.-3D.3参考答案：B解析：z=(2+3i+1-2i)/(2+3i-1+2i)=3-i，虚部为-1。10.已知向量向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a与向量b的向量积向量a×向量b等于（）A.(6,2)B.(-6,2)C.(6,-2)D.(-6,-2)参考答案：D解析：向量a×向量b=|ijk||120||340|=(-6,-2,0)，取z分量为(-6,-2)。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知复数z=1+i，则复数z^2-2z+3的值为________。参考答案：3+2i解析：z^2-2z+3=(1+i)^2-2(1+i)+3=1+2i+i^2-2-2i+3=2i。2.已知向量向量a=(2,3)，向量b=(x,1)，若向量a与向量b平行，则x的值为________。参考答案：2/3解析：向量a与向量b平行，3x=2×1，x=2/3。3.已知向量向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，则向量m×n的模长为________。参考答案：1解析：向量m×n=|ijk||100||010|=k，模长为1。4.已知复数z=a+bi（a,b∈R），且|z|=2，argz=π/3，则a的值为________。参考答案：√3解析：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=√3+i，a=√3。5.已知向量向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a•向量b+向量a×向量b的值为________。参考答案：10解析：向量a•向量b=1×3+2×4=11，向量a×向量b=(1×4-2×3,-(1×4-2×3))=(-2,2)，原式=11+(-2)+2=11。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知复数z1=1+i，z2=2-3i，（1）求复数z1•z2的模长；（2）求复数z1/z2的辐角主值。解：（1）z1•z2=(1+i)(2-3i)=5-i，|z1•z2|=√(5^2+(-1)^2)=√26。（2）z1/z2=(1+i)/(2-3i)=(1+i)(2+3i)/13=-5/13+3i/13，arg(z1/z2)=arctan(3/(-5))=π-π/5=4π/5。2.在△ABC中，已知向量AB=向量a，向量AC=向量b，点D为BC的中点，点E为AD的中点，求证：向量DE=1/4向量a+1/4向量b。证明：向量DE=向量DA+向量AE=1/2向量BC+1/2向量AC=1/2(向量AC-向量AB)+1/2向量AC=1/2向量b-1/2向量a+1/2向量AC=1/4向量a+1/4向量b。3.已知复数z满足|z-1|=2，且z的实部与虚部互为相反数，求复数z的模长及辐角主值。解：设z=a-bi，由|z-1|=2得(a-1)^2+b^2=4，又a=-b，代入得2b^2=4，b=±1，当b=1时，a=-1，z=-1-i，|z|=√2，argz=3π/4；当b=-1时，a=1，z=1+i，|z|=√2，argz=π/4。4.已知向量向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，（1）求向量a与向量b的夹角θ；（2）求向量a在向量b上的投影长度。解：（1）cosθ=向量a•向量b/(|向量a||向量b|)=11/√(1^2+2^2)×√(3^2+4^2)=11/25，θ=arccos(11/25)。（2）|向量a|cosθ=|向量a||向量b|cosθ=11/5。5.已知复数z1=2+3i，z2=1-2i，（1）求复数z1+z2的模长；（2）求复数z1•z2的辐角主值。解：（1）z1+z2=3+i，|z1+z2|=√(3^2+1^2)=√10。（2）z1•z2=7-i，arg(z1•z2)=arctan(-1/7)=2π-arctan(1/7)。四、应用题（本大题共2小题，共30分）1.在△ABC中，已知向量AB=向量a，向量AC=向量b，点D为BC的中点，点E为AD的中点，若向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量DE的坐标。解：向量DE=1/4向量a+1/4向量b=1/4(3,4)+1/4(1,2)=(1,1.5)。2.在复平面内，已知复数z1=1+i，复数z2=2-3i，（1）求复数z1+z2的模长；（2）求复数z1•z2的辐角主值。解：（1）z1+z2=3-i，|z1+z2|=√(3^2+