第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（六大题型）（解析版）-2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示

目录

考点要求考题统计考情分析

（1）理解平面向量的意义、通过对近5年高考试题分析可知，高

几何表示及向量相等的含义.考在本节以考查基础题为主，考查形

（2）掌握向量的加法、减法2023年北京卷第3题，5分式也较稳定，考查内容一般为平面向

运算，并理解其几何意义及向2022年/卷第3题，5分量基本定理与坐标运算，预计后面几

量共线的含义.2021年乙卷（文）第13题，5分年的高考也不会有大的变化.

（3）了解平面向量基本定理2022年乙卷（文）第3题，5分

及其意义

（4）会用坐标表示平面向量

的加法、减法与数乘运算

©0OO

平面向■的慨念、线性

运算及坐标表示

・夯基-必备基础知识梳理

知识点一.向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

（2）向量的模：向量A8的大小，也就是向量A8的长度，记作|AB|.

（3）特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：。与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向最：长度相等且方向相反的向最.

知识点二.向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

①交换律

求两个向量和的a+b=b+a

加法

运算aa②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)

求d与方的相反/X

向量-〃的和的

减法a-b=a+(-b)

运算叫做〃与〃a

的差三角形法则

（1）\Aa\=4A\\a\

求实数4与向量（2）当%>0时，与。的方向相同；当

数乘(2+=Au+pa

a的积的运算4<（）时，与a的方向相同；

2(d+/>)=Ad+Ab

当7=0时，m=0

【注意】

（1）向量表达式中的零向量写成0,而不能写成0.

（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向最共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重

合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.

（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重

合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾

相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

（4）向量加法和减法儿何运算应该更广泛、灵活如：OA-OB=BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CA<z>OA-OB=CA<z>BA-CA=BA+AC=BC.

知识点三.平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果a=则。//2；反之，如果a//。且。工0,则一定存在唯一的实数2，使a=».（口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.

2、平面向量基本定理

如果q和6是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量。，都存在唯一的一对

实数4,%，使得。我们把不共线向量。，内叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

+%小叫做向量〃关于基底｛“©｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量G与6不共线，平面内的任一向量。都可以分解成形如

“=44+44的形式，并且这样的分解是唯一的.叫做“，&的一个线性组合.立面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

推论1：若a=4q+4.=44+4/，则4=4,4=4.

推论2：若〃=44+4%=o,则4=办=o.

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在A4BC中，若点。是边8c上的点，且4。=4。。（4工一1）,则向量4。=坐匕生.在

14-2

向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌

握.

4、三点共线定理

平面内三点A,B,。夬线的充要条件是：存在实数4〃，使OC=/IQ4+〃O8,其中2+〃=1,。为

平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A、5、C三点共线

o存在唯一的实数2,使得AC-2A3；

。存在唯一的实数人，使得OC=Q4+/M8；

o存在唯一的实数义，使得0c=（1-4）04+义。/?：

=存在2+4=1,使得=+

5、中线向量定理

如图所示，在ZMBC中，若点。定边BC的中点，则中线向量AO='（48+AC）,反之亦正确.

2

A

知识点四.平面向量的坐标表示及坐标运算

（1）平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与工釉，），轴正半轴方向相同的两个单位向量八/作为基底，那么由平面向

量基本定理可知，对于平面内的一个向量有且只有一对实数使〃=+切，我们把有序实数对（X,），）

叫做向量。的坐标，记作a=（x,y）.

（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是---对应的，即有

向曷二•向最O力—•点4（x,y）.

（3）设d=a，y）,方=区,外），则a+5=a+孙y+必），d-b={xx-x2,yl-y2）,即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若〃=",），），％为实数，则加=（/U,/l.y）,即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应

坐标.

（4）设A（N，y）,8（超,%），则=-。4=（z-/，X，即一个向量的坐标等于该向量的有向

线段的终点的坐标减去始点坐标.

知识点五.平面向量的直角坐标运算

22

①已知点A（玉,y）,B（X2，%），则人B=（x2y2-y\）,\AB|=yl（x2-xy）+（y2->））

②已知4=（%,，）,b=（x2,y,）,则4±b=（百，y土％），4a=（九

々•〃=内占+）[必，l〃l=Jx；+y；•

a//bx[y2-x2yt=0>«1/?<=>+y,y2=0

【解题方法总结】

（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为

多边形法则.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向最.

即A4+&

（2）\\a\-\b\\^a±b\<\a\+\b\,当且仅当d,b至少有一个为。时,向量不等式的等号成立.

（3）特别地：||。|-出|区|。±〃|或I。士〃凶。|+他|当且仅当。力至少有一个为0时或者两向量共线时,

向量不等式的等号成立.

（4）减法公式：AB-AC=CB,常用于向量式的化简.

（5）A、P、8三点共线。0夕=（1-/）OA+/OB（fwR）,这是直线的向量式方程.

题型归纳

题型一：平面向量的基本概念

例1.（2023•全国-高三专题练习）下列说法中正确的是（）

A.单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量a,〃，必有|a+b国a|+|b|

D.若满足且〃与力同向，则〃>力

【答案】C

【解析】依题意，

对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；

对于B,平行向量就是共线向量，故错误；

对于C若同向共线，14+方1=〃1+1〃|,

若反向共线，

若a,与不共线，根据向量加法的三角形法则及

两边之和大于第三边知|a+b|<|a|+|力|.

综上可知对于任意向量。力，必有+故正确；

对于D,两个向量不能比较大小，故错误.

故选：C.

例2.（2023•全国-高三专题练习）给出如下命题：

①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量。与〃平行，则。与〃的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同：

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量A8与向量CQ是共线向量，则点A,B,C,。必在同一条直线上.

其中正确的命题个数是（）

A.ID.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①，向量人8与向量B4,长度相等，方向相反，故①正确：

对于②，向量。与b平行时，。或匕为零向量时，不满足条件，放②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

对于⑤，向量AB与CO是共线向量，点A,B,C,。不一定在同一条直线上，故⑤错误.

综上，正确的命题是①③.

故选:B.

例3.（2023•全国-高三专题练习）下列命题中正确的是（）

A.若a=b,则3。＞26B.BC-BA-DC=AD

C,|+|"|=,+"|=。与，，的方向相反D.若卜卜忖=卜|,则4=人=。

【答案】B

【解析】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；

对于B选项，BC-BA-DC=AC+CD=ADf故B对；

对于C选项，"+愀=k+004与/，的方向相同，故C错；

对于D选项，若忖=M=H，但〃、b、c的方向不确定，故D错.

故选：B.

变式1.（2023•全国-高三专题练习）下列说法正确的是（）

A.若”＞忖，则B.若"=",则：=了

C.若：=，，则D.若…,则二］不是共线向量

【答案】C

【解析】A.因为向最不能比较大小，所以该选项错误；

3若"二网，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；

仁若：=^，则力〃，所以该选项正确；

D.若加/,，则京；也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.

故选:C

变式2.（2023•全国-高三对口高考）给出下列四个命题：

①若|〃|=|力|,则a=b,a=-bi

②若4B=OC，则A,B,C,。是一个平行四边形的四个顶点；

③若4=Z;,/?=C,则Q=c；

④若a〃5,bile»则a〃c;

其中正确的命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】①若|。|=|"，只能说明凡。模相等，它们方向不一定相同或相反，错：

②若4B=OC，若A8//O。且A8=OC,即A,B,C,。是一个平行四边形的四个顶点，若儿仇C。四点

共线，不能构成平行四边形，错；

③若a=O,h=c,即a,5、a,c分另J为相等向量，故4=°,对；

④若a//b，b//c，当力为零向量时£//：不一定成立，错.

故选：D

变式3.(2023•全国•高三对口高考)若〃+5+C=0，则“，人c()

A.都是非零向量时也可能无法构成个三角形

B.一定不可能构成三角形

C.都是非零向量时能构成三角形

D.一定可构成三角形

【答案】A

【解析】ACD选项，若非零向量共线时，也能满足〃+。+°=()，但无法构成一个三角形，A正确，

CD错误；

B选项，当非零向量〃，氏。两两不共线时，可构成三角形，B错误.

故选：A

【解题方法总结】

准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向段平行具有传

递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度村等，就是相

等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.

题型二：平面向量的线性表示

例4.(2023•山东泰安•统考模拟预测)在中，点。为AC中点，点E在8c上且8E=2”.记

AB=a,AC=bf则函=()

1-1-]1J-1-1-1-

A.——a+—hB.-a——bC.——a——bD.—a——b

36366336

【答案】B

【解析】如图所示：

由A13=a,AC=b,

所以8C=AC-A8=〃—4,

又・.•BE=2EC,

:.EC=-BC=-（b-aY

33、）

又因为£＞为AC中点,

:.CD——b,

2

贝ljED=EC+CD=--a--b

36f

故选：B.

例5.（2023•河北邯郸•统考三模）已知等腰梯形A8CQ满足A6〃C。，AC与8。交于点尸，且

AB=2CD=2BC,则下列结论惜用的是（）

A.AP=2PCB.\AP\=2\PD\

21]9

C.人尸=-八。+—八6D.AC=-AD+-AB

3333

【答案】D

【解析】

A»Appno

依题意，显然」APBS_DPC,故有器=釜=*=彳，

即AP=2PC,PB=2PD,则A户=2PC，故A正确;

乂四边形4BCO是等腰梯形，故叱=m，即网=2附|,故B正确;

I__1________1

在△A8O中，人尸=人0+。2=八。+—。4=八。十—（人4一人。）=一人力+—八月，故C正确;

3333

33(21、1

又AC=-AP=--AD+-AB\=AD+-AB所以D错误:

22133J2

故选：D.

例6.（2023•河北•统考模拟预测）己知D为/。C所在平面内一点，且满足CO=；QB,则（）

A.AD=-AB--ACB.AD=-AB+-AC

2233

C.AB=4AD-3ACD.AB=3AD-4AC

【答案】c

【解析】如图，

A

因为CO=go8,所以。是线段8c的四等分点，且8D=3£>C,

所以AD=/W+BO=A8+]c=/W+、(AC-")=；/W+14C,

故A,B错误;

由AO=!A8+3AC,可得AA=4A/)-3AC，故C正确，D错误，

故选:C.

变式4.(2023•河北•高三学业考试)化简幺-必+A8所得的结果是()

A.2ABB.2BAC.0D.PA

【答案】C

【解析】PA-PB+AB=PA+AB-PB=PB-PB=O.

故选:C

变式5.（2023•贡州贸阳•校联考模拟预测）在4BC中，A。为8c边上的中线，E为AD的中点，则EC=

()

13

A.-AB--ACB.——AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.——AB+-AC

4444

【答案】D

【解析】

由。为BC中点，根据向量的运算法则,

可得4Q=g(/18+AC),

1131

在-ABC中，EC=AC-AE=AC--AD=--(AB+AC)+AC=-AC一一AB.

2444

故选:D.

变式6.(2023•贵州黔东南•高三校考阶段练习)已知在平行四边形4BCO中，E,尸分别是边CD,8C的

中点，则石尸=()

A.-AB-ADB.-AB-BCC.-AB+-ADD.-AB--BC

222222

【答案】D

【解析】如图所示,由中位线定理和平行四边形的性质得:

EF=-DB=-(AB-AD舫-呵,

22、)=N

故选；D

变式7.(2023•山东滨州•校考模拟预测)如图所示，点上为的边AC的中点，尸为线段8E上靠近

C.--BA+-BCD.--BA+-BC

8844

【答案】C

1.3.1-3——

【解析】AF=AE+EF=^AC+^EB=^AC+^(AB-AE)

13313

二-AC+二AB——AC=—AC—二胡

24884

i-3-71

=-(BC-BA)——BA=——BA+-BC.

8488

故选：C.

变式8.(2023•全国•高三专题练习)在平行四边形A8CD中，对角线AC与8D交于点。，若A8+")=/MO,

则儿=()

A.；B.2C.-D.—

~32

【答案】B

【解析】在平行四边形AOCD中，AC=A6+A£)=4AO,所以2-2.

故选:B.

变式9.（2023•河南•襄城高中校联考三模）已知等腰梯形4BCZ）中，AB//DC,AB=2DC=2AD=2,

BC的中点为E,贝UAE=（）

A.-DB+-ACB.-DB+-AC

3336

2S

C.-D13+-ACD.-DB+-AC

3236

【答案】B

【解析】•；AB=DB-DA=DB-（DC+CA）=DB-DC-CA=DB-^AB-CA,

3

：.-AB=DB-CA,

22

，AB=-DB+-AC,

DI3+^Ac]+

-AC=-DB+-AC

236

【解题方法总结】

（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可,而此类问题又以“爪

子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题.

（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首

尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.

（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三

角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

题型三：向量共线的运用

例7.（2023•广东广州•统考模拟预测）在/8C中，M是AC边上一点，且AM=；MC,N是8M上一点,

4

1—

若AN=§AC+〃?BC,则实数，〃的值为（）

A.—B.——（D.

363

【答案】D

【解析】由AM=gMC,得出4c=3AM，

由AN="AC+〃?8C^4N="AC+〃?(AC—A8)=(*+〃,ACT〃A8

=(；+3mAM-mAB,

因为反N,M三点共线，所以鼻+3阳+(-〃?)=1,解得,〃=：.

故选:D.

例8.(2023•湖南长沙•长沙仁实验中学校考三模)如图，在MC'中，M为线段6c的中点，G为线段AM

上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线A3,AC于P,Q两点，A3=xAP(.r>0),AC=y4Q()，>0),

41

则一+---^的最小值为().

x)，+1

C39

D.

【解析】因为M为线段BC的中点，所以AM=；(A3+AC),又因为AG=2GM，所以

AG=-AM=-(AI3+AC)

33f

乂A8="P(x>0),AC=yAQ(y>0),所以=户,

33

rV

又PCQ三点共线，所以.+1=1,即x+y=3,

,一，41141、「,八］1「/x4(y+l)1f~x4(y+l)x9

当且仅当*=也±»,即x=g,y=:时取等号.

y+lx33

AA

BC

M

故选：B.

例9.（2023•山西•高三校联考阶段练习）如图，在中，。是3C边中点=CP的延长线

与交于AN,则（）

C.AN=-ABD.AN=-AB

67

【答案】B

【解析】设A8=4AN，

则AP=1AO」X」AB+AC)=L7^+14C=4AN+LAC,

332、f6666

因为N,P,C三点共线,

所以4+!=1，解得7=5,

66

所以A8=5AN，所以AN=，B.

故选：B.

变式10.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与4B,

AC两边交于M，N两点，设yAC=AN则'+'的值为（）

xy

C.5D.6

【答案】A

【解析】由题意AG=/IAM+(1-1)4N且0W/IW1,而XA8=AW，yAC=ANt

所以AG=xAAB+y(\-A)AC，

2I1

又G是△ABC的重心，故AG=QXK(A8+AC)=3(A8+AC),

=—

3可得导"，即f；=3.

所以

-2)=-

uJ

故选:A

变式11.（2023•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）在二ABC中，E为AC上一点，AC=3AE.P为

13

线段BE上任一点（不含端点），若AP=x48+yAC,则一+一的最小值是（）

%v

A.8B.10C.13D.16

【答案】D

【解析】由题意，如下示意图知：AP=/tAB+（l-/l）AE,且0＜义＜1,又4C=3A£，

1319皿八八］1-A92_.II-A9/1

故t/r一+-=(;+-—7)［义+(1—义)］i=n10+—;—r210+2.——----

xyA1-AA1-A—A

1-；921

仅当一二Jj，即4时等号成立.

A\-A4

所以1+3的最小值是16.

xy

故选：D

变式12.（2023•全国•高三专题练习）已知向量a、b不共线，且c=xa+"d=a+（2x-l）〃，若0与d共

线，则实数x的值为（）

A.1B.--C.1或一,D.一1或一,

222

【答案】C

【解析】因为c与d共线，则存在〃wR,使得4="，^a+（2x-\）b=kxa+kb,

因为向量〃、〃不共线，则匕",,整理可得x（2x-l）=l,即2/—x—l=0,

k=2x-\

解得x=-;或1.

故选：c.

变式13.（2023•全国•高三专题练习）已知直线/上有三点A,B,C,。为/外一点，乂等差数列｛%｝的

前0项和为S.，若。4=（4+%）。8+2即,。（7,则S“=（）

A.HB,3C.HDT

422

【答案】A

【解析】:点A、B、C是直线/上不同的三点，

•.存在非零实数2，使A4=28C=。8—OA=WC-OB）=04=（1+Z）OB-WCx

，「若OA=（〃|+a、）OB+2（il（lOC,

二I+/=4+%,—A—2«l0:

+

«I«3+2«10=1；

数列列J是等差数列,

,2%+2%=1=勺+4o=5=4：

J（q+qJJ

'24'

故选：A.

变式14.（2023•全国•高三对口高考）设两个非零向量。与〃不共线.

llim1IULMl1It\

⑴若A8=a+Z?，8c=2a+8。，CO=3（。-Z?）,求证AB,。三点共线.

（2）试确定实数k,使b和二+4共线.

【解析】⑴因为我=a+b»BC=2«+8Z?•C力=3（々-。）,，

所以BO=BC+CO=2a+8〃+3（4-A）

二加+8〃+3。-3〃=5（。+小5AB

所以A8，80共线，

又因为它们有公共点8,

所以A8,。三点共线；

（2）因为攵a+力和a+A〃共线,

所以存在实数4,使履+力=4（£+姐）,

所以％a+〃=4a+k/b»

即（k-X）a=（U-\）b.

乂a,8是两个不共线的非零向量,

所以％—4=攵几一1=0

所以42_[=0，

所以&=1或4=-1.

变式15.（2023•全国•高三对口高考）如图所示，在aABC中，D,尸分别是8C,AC的中点,

AE=-AD,AB=a.AC=b.

3

(1)||Ja,b表示AD.AE,AF.BE,BF；

⑵求证：B,E,尸三点共线.

【解析】(1)在AABC中，D,尸分别是8C,AC的中点，

^AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC=-a+-b,

22、72222

—2—1-I-

^AE=—AD=—a+—b,

333

AF=—AC=-b,

22

I-]1.，

BE=AE-AB=-a+—b-a=—b——a,

3333

BF=AF-AB=-b-a

2x

（2）证明：因为8E=g〃一=；仅一2a）,8尸二g仅一2o）,

一2-

所以8E=-8产，

3

所以BE//BF，

又因8产有公共点8,

所以比E,产二点共线.

【解题方法总结】

要证明A,B,C三点共线，只需证明43与4C共线，即证=（2G/?）.若已知A,B,。三

点共线，则必有与共线，从而存在实数4,使得A4=/IBC.

题型四：平面向量基本定理及应用

例10.（2023•上海•高三专题练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量

的一个基底的是（）

A.勺+色和芍一6B.q+2畛和62+2“

C.3q-26和46-6qD.e2和e2+q

【答案】C

【解析】依题意，G、e；不共线，

A选项，不存在//R使q+«2=7（q_/）,

所以4+/和4-%可以组成基底.

B选项，不存在/IsR使4+26=/1但+2"）,

所以q+2内和e；+2e；可以组成基底.

C选项，46-6。]=-2卜4-2e?）,

所以3q-2e2和4e2-6^不能构成基底.

D选项，不存在ZwR使《=丸卜2+6），

所以电和6+0可以组成基底.

故选：C

例11.（2023•四川成都•四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知向量%6是平面内所有向量的•组基

底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（）

A.｛用/一电｝B.\e^e2,e\-3e^

C.[et-2e,,-3e,+6e2｝D.｛么+3G，2e1-34｝

【答案】C

【解析】对于A,假设e；,e；—e；共线，则存在2eR,使得e；=2（e；-ej,

因为q,6不共线，所以没有任何一个/IwR能使该等式成立，

即假设不成立，也即不.-《不共线，则能作为基底：

对「B,假设4+e；，G-3e；共线，则存在awR，使得弓+程二川/一?6）,

A=1

即「।无解，所以没有任何一个2wR能使该等式成立，

即假设不成立，也即q+4，e「36不共线，则能作为基底；

对「C,因为-3/+&2=-3岱-26），所以两向量共线，

不能作为一组基底，C错误；

对于D,假设2e；+3e；,2G-3e；共线,则存在一wR,

使得2q+36=4(2C]-3g),

22=2

即,无解，所以没有任何一个4eR能使该等式成立,

-3A=3

即假设不成立，也即2q+3e，2e/3畛不共线，则能作为基底,

故选:C.

1

例⑵（2。23•河北沧州.校考模拟预测）在必比中金/，所［网+8C）,点P为4石与斯的交

2

点，=+贝1」义一〃=（)

A.0

。7D,i

【答案】B

【解析】因为BF=；（/M+BC）,所以厂为AC中点,

&P,尸三点共线，故可设=产，UPAP-AB=k（AF-AB）,

整理.得4P=kAF+(l-k)AB=(l-&)AB+gkAC,

—1-,1-1.1.9

因为3E=-EC,所以AE-AB=-AC——AE,AE=-AC+-AB,

22233

AP,三三点共线,

(1212

可得AP=mAE=m\-AC+—AB—mAC+—mAB,

33

2m

——=\-kk=-

32

所以।，解得

inI,3

—=—Km=—

324

可得AP=；AB+；1AC,则/l=T，〃=:1,九_〃=；.

故选:B

变式16.（2023•全国•模拟预测）如图，在二A6C中，CM=2CB，NC=RAC,其中0＜义＜1,

-3•

若AM与加V相交于点Q,且AQ^BN，则（）

A.沏=之十〃B.22〃=2+〃C.5Z=2+3〃/D.3Z=2+5〃/

【答案】c

【解析】由题意得BQ=|8N=[8A+AN）q[8A+（l—〃）AC]=|[B4+（l—〃）（8C—8A）]

5551~~

因为Q,M,4三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1,

匚亡[I331-〃।

所以»+~r=l，

331—4

化简整理得5%=2+3初.

故选：C.

变式17.（2023•广东汕头•统考三模）如图，点。、E分别AC、8。的中点，设A8=a,AC=〃，F是DE

的中点，则从尸=（）

【答案】C

【解析】因为点。、上分别AC、BC的中点，尸是。E的中点，

所以A"=AO+O^=,AC+,O£=-AC+-AB.

2224

即AF=—a+—b.

42

故选：C.

变式18.（2023•山西大同•统考模拟预测）在△AAC中，。为BC中点，M为A。中点，BM=mAB+nAC

则加+〃=（）

A.—B.!C.1D.—1

22

【答案】A

【解析】

因为。是BC的中点，所以AO=’A8+，AC,BD=-BC=-AAC-AB\=-AC--AB.

2222、722

又因为M是A。的中点，

所以，BM=—BAH—BD=—A8H—（AC—AB\=——ABH—AC,

2224、J44

又BM=mAB+nAC，所以机=-：，"=!，所以，“+〃=-[

442

故选：A.

变式19.（2023•广东•统考模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到

了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提

得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则AB=（）

B.--CE+-DE

2662

2-55-2-

C.——CE+-DED.--CE+-DE

3663

【答案】B

【解析】以。为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

不妨设41=2,则4（—1,6）,见5,56），力（0,0）,E（9，G）,。（0,46）,

故居二（6,46）,。E二（9,-36），DE=（9,>/3）.

6=9x+9y

]^AB=xCE+yDE,则

4百二-3屈+#/

5

6

解得

3

y=—

2

53

所以48=—三。七+巳。石.

62

故选：B.

变式20.（2023•吉林长春•统考模拟预测）如图，在平行四边形A8C。中，M,N分别为8C,CO上的点,

2

且BM=MC，C/V=-CD,连接AM,BN交于0点，若AP=/IPMBP=JJPN,则％+〃=()

19

D.T

【答案】C

【解析］在YA8CO中，取｛ABM。｝为平面的基底,

由BA/=MC，得==

2

由AP=zPM，得4尸=——AM=2AB+——-——AD,

X"，1寸]+%-%2(1+4)

2—--.2--

由CN=-CO,知6N=6C+CN=-=A6+AD,

33

由BP=〃PN得BP=

A_3+〃

因此AP=A8+8P=3且A8+FA。，则":3(1+^解得

3(1+〃)l+ju2_//5

2(1+幻―]+.

所以4+〃=（.

故选:C

变式21.（2023•湖北黄冈•沛水县第一中学校考模拟预测）如图，在四边形A88中，AB//CD,4?=48,

点E在线段C8上，旦CE=2EB,设相=〃，AD=b，则4E=（）

DC

A.力+4B.-a+-b

8228

C.++»D1/

43

【答案】D

【解析】在梯形A8CO中'AB。且-8,则比二达,

因为E在线段C8上，且CE=2以，则8七=京。,

13

I3C=I3A+AD+DC=-a+b+-a=b--a

44f

1if3131

所