考研数学一（线性代数）模拟试卷4

考研数学一（线性代数）模拟试卷4

一、选择题（本题共9题，每题7.0分，共9分。）

1、设A,B为n阶可逆矩阵，则（）.

A、存在可逆矩阵Pi，P2，使得P「AP|,P『BP2为对角矩阵

B、存在正交矩阵Qi，Qi，使得QjAQ],Q2TBQ2为对角矩阵

C、存在可逆矩阵P,使得p」（A+B）P为对角矩阵

D、存在可逆矩阵P,Q,使得.PAQ=B

标准答案：D

知识点解析：因为A,B都是可逆矩阵，所以A,B等价，即存在可逆矩阵P,

Q,使得PAQ=B,选（D）.

2、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是（）.

A、A无负特征值

B、A是满秩矩阵

C、A的每个特征值都是单值

D、A*是正定矩阵

标准答案：D

知识点解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，（A）不对；若A为正

定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常

数，不能保证都是正数，（B）不对：（C）既不是充分条件又不是必要条件；显然（D）

既是充分条件又是必要条件.

3、下列说法正确的是（）.

A、任一个二次型的标准形是唯一的

B、若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同

C、若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型

D、二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的

标准答案：D

知识点解析：

（A）不对，如f=为勺，令『"",则/=工—如若令产5，3”,

1工2=”+”“2=V+3yt贝|Jf=yj

一9y2?；（B）不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相

同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；（C）不对，若一个二次型标准形系数没

有负数，只能说明其负惯性指数为O,不能保证其正惯性指数为n：选（D）,因为

二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一.

4、设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X^AX与X「A/X().

A、规范形与标准形都不一定相同

B、规范形相同但标准形不一定相同

C、标准形相同但规范形不一定相同

D、规范形和标准形都相同

标准答案：B

知识点解析：因为A与A”合同，所以XTAX与X”/规范形相同，但标准形不

一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B).

5、设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是().

A、可逆矩阵

B、实对称矩阵

C、正定矩阵

D^正交矩阵

标准答案：B

知识点解析：因为A与对角阵A合同，所以存在可逆矩阵P,使得P「AP二A,从

而A=(PT)/AP/=(P")TAP",AT=[(P'1)TAP-1]T=(Pd)TAP-1=A,选(B).

6、设A,B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P,使得AP=B,则().

A、A,B合同

B、A,B相似

C、方程组AX=O与BX=O同解

D、r(A)=r(B)

标准答案：D

知识点解析：因为P可逆,所以r(A)=r(B),选(D).

7、设A,B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是().

A、r(A)=r(B)

B、IAI=IBI

C、A〜B

D、A,B与同一个实对称矩阵合同

标准答案：D

知识点解析：

因为A.B与同一个实对称矩阵合同•则合同，反之若A.B合同，则A.b的正负惯

E,

性指数相同，从而A,B与一旦合同•选(D).

O

2-10100

设A=-120,B=001,则A与8().

00-5010

A、相似且合同

B、相似不合同

C、合同不相似

D、不合同也不相似

标准答案：C

知识点解析；由IXE-AI=0得A的特征值为1,3：—5,由IXE-BI=0得B的

特征值为1,1,一1,所以A与B合同但不相似，选(C).

9、ISA,B为三阶矩阵，且特征值均为一2,1,1,以下命题：(1)A〜B；(2)A,

B合同；(3)A,B等价；(4)IAI=IBI中正确的命题个数为().

A1个

、

B2个

、

c3个

、

D4个

、

标准答案：B

知识点解析：因为A,B的特征值为一2,1,1,所以IAI=IBI=一2,又因为

r(A)=r(B)=3,所以A,B等价,但A,B不一定相似或合同，选(B).

二、填空题(本题共4题，每题L0分，共4分。)

10、二次型f(X],X2，X3)=(X1—2X2)2+4X2X3的矩阵为

1-20

A=-242

标准答案：020

10

因为/(xi»x2»x3)为+4xJ—411彳2+4x：x9♦所以A-22

知识点解析:00

,(12,。3经过施密特正交规范化后

-1

11

v-，打1

标准答案「我二3

0

标准答案:

22

32=

3

A-3

由lAE-A|=~2A—3—2=(A—7)—2A—3—2=(A—7)Q—1)?=0

-2-2

得心=7=Aj=1,A•对应的特征值为"IMlIIA|

即〃1=1，〃2="=7.

因为B〜，所以B的特征值也为“=l，w=小=7,从而8+2七的特征值为3,9,9.

知识点解析：暂无解析

15、设人丁人二E,证明：A的实特征值的绝对值为1.

标准答案：i§AX=XX,«IJXTAT=XXT,从而有XTATAX4XTAX=/XTX,因为

ATA=E,所以（产一1）XTX=O,而XTX=IXI%0,所以入2=1,于是IXI=1.

知识点解析：暂无解析

16、设而为A的特征值.⑴证明：AT与A特征值相等；（2）求A2,AT+2A+3E

的特征值;（3）若IAI加，求A"，A‘，E—A”的特征值.

标准答案：（1）【证明】因为I九E一人TI二|（比一,4）1|二|证一AI,所以人丁

与A的特征值相等.（2）因为Aa=Xoa（a#O）,所以A2a=XoAa=Xo2a»

（A2+2A+3E）a=（Xo2+2Xo+3）a,于是A?,A?+2A+3E的特征值分别为小，

rA-1（I——（J

Xo-+2ko+3.⑶因为IAI=1山2...入f#0，所以比#0，由Aa=Ma得编,

由A・4a=|A|a得A・a=唱叫又（E-A-a=。一=）a，

于是,E-A］的特征值分别为及1一上.

AoAoAo

知识点解析：暂无解析

17、设Xi，X2分别为A的属于不同特征值入1，入2的特征向量.证明：X］+X2不是

A的特征向量.

标准答案：反证法不妨设X1+X2是A的属于特征值入的特征向量，则有

A（XI+X2）=X（XI+X2）,因为AX161X1，AX262X2,所以（入।一入）X|+（入2一

X）X2-O,而Xi，X2线性无关，于是入［夕2=入，矛盾，故X1+X2不是A的特征向

量.

知识点解析：暂无解析

ax仇aba\bi•••ah

a：62112bla2b2…%耳.一、

a=.#0./=.WO,A=....a。=5,a/,X0,求4的全

:::::*->

a„16.aj)\a,b2,••a.b.

部特征值•并证明4可以对角化.

标准答案:令Jp=k,R!|A2=kA,设AX=XX,则A?X<2x=kXX,BPX(X-k)X=O,

因为X#0,所以矩阵A的特征值为X=0或Z=k.由入|+…+猫=tr(A)且tr(A)=k得

X1=.=Xn-i=O,Xn=k.因为r(A)=l,所以方程蛆(OE—A)X=O的基础解系含有n-1

个线性无关的解向量，即入=0有"-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化.

知识点解析：暂无解析

19、设向量a=(a］，a2，…，a/,其中a/0,A=aaT.⑴求方程组AX=0的通

解；(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量.

标准答案：因为r(A)=l，所以AX=0的基础解系含有n-1个线性无关的特征向量,

其基础解系为

则方程组AX=0的通解为4q+Aa?+……为任意常数).

.

(2)因为/=£4,其中A=(a.a)=X。：>°，所以色的非零特征值为A，

•-I

因为他=aara=也•所以非零特征值A对应的线性无关的特征向俄为a.

知识点解析：暂无解析

1

T

设Q=0,A=a0•求|6E—A"

20、一1

10-1

由*=(aar)-(aaT)=21000

-101

标准答案：得I6E-*|=6，(6—2・).

知识点解析：暂无解析

21、

设A为三阶矩阵,4的特征值为猫=1,九=2,3=3,其对应的线性无关的特征向址分别

1](11

为亭=]《=2《=3.向量，=1，求女仄

93

A"=PPL于是=P2'P]p=2—2^4-3*+1

3WI12—2**J+3-，

标准答案：

知识点解析：暂无解析

22、设A是n阶矩阵，A是A的特征值，其对应的特征向量为X,证明：/是人2

的特征值，X为特征向量.若A2有特征值入，其对应的特征向量为X,X是否一

定为A的特征向量?说明理由.

标准答案：

由AX=AX得A2*=A（AX）=A（AX）=MX=解*可知V是+的特征值,X为

特征向量.若£*=AX，其中A=（::b*=O,T的特征值为人=0,取*=（：）,

显然A-OX,但初=（/0。：）（；）=（：）WOX,即X不是A的特征向量，因此结论未必

成立.

知识点解析：暂无解析

23、设A,B为n阶矩阵.⑴是否有AB〜BA；（2）若A有特征值1,2,n,

证明：AB〜BA.

标准答案：（1）一般情况下,AB与BA不等价，如

I；M=（：…：）0OK

2因为r(AB)，r(BA),所以AB

与BA不等价.（2）【证明】因为IAI=n!#）,所以A为可逆矩阵，取P=A,则有

P-1ABP=BA,故AB〜BA.

知识点解析：暂无解析

24、设a为n维非零列向量，"*.（1）证明：A可逆并求A”；（2）证

明：a为矩阵A的特征向量.

标准答案：

（1）因为Az=（E—^^0«丁）（E-^iraT）=E-=E,

所以A可逆且A-'=A.

<2）因为M=（£-否。丁）。=。-2<1=一<1,所以。是矩阵4的特征向母，其对应的

特征值为一1・

知识点解析：暂无解析

000

000

设矩阵A]有一个特征值为3.

00y

25、0012

标准答案：（1）因为3为A的特征值，所以I3E—Al=O,解得

y=2.（2）（AP）T（AP）PTATAP=PTA2P,

1000

0100，令A1=(：|AE-A|=0得儿=1,12=9,

0054

0045

当;I=1时，由(E-4)X=0得6=(/-[1U=9时，由（9法一4）*=0得此=（），

1000

o100

单位化得r「我（:卜7,=%（；），令P00/#'则

001X

a42

1000

00

(AP)T(AP)=01

0010

0009

知识点解析：西无解析

26、设A是三阶实对称矩阵，r（A）=l,A2-3A=0,设（1,1,一1产为A的非零

特征值对应的特征向量,（1）求A的特征值；（2）求矩阵A.

标准答案：（1）A?—3A=0一|A|I3E—AI=0->X=0,3,因为r（A）=l,所以

X1=3,兀2=入3=0.（2）设特征值。对应的特征向量为（X],X2，X3）T，则X1+X2-

X3=0,则0对应的特征向量为Ct]=（一1,1,0）T,。3=（1，0,l）T,令

1-1133

l

P=110tPAP=0,A=P0L.

-10100

知识点解析：暂无解析

设三阶实对称矩阵A的特征值为九=8,%=九=2,矩阵A的属于特征值箱=8的特征

1-1

向量为€1=k，属于特征值的=为=2的特征向量为最=1，求属于22=久3=2

10

的另一个特征向量.

标准答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有

1

《"z=-14-—0=>上==8对应的特征向量为1.

1

令筋=%=2对应的另一个特征向量为0=x,，由不同特征值对应的特征向量正交,

4

得工1+工2+工3=0=>{2=

知识点解析：暂无解析

28、设n阶矩阵A满足(岳A)(bE・A)=O且存匕证明：A可对角化.

标准答案：S(aE-A)(bE-A)=O,得IaE-AIIbE-AI=0,则IaE—AI=0或者I

bE-AI=0.又由(aE-A)(bE・A)=0,得r(aE—A)—r(bE—A)Sn.同时r(aE--

A)+r(bE—A)>r[(aE-A)-(bE—A)]=r[(a一b)E]=n.所以r(aE-A)+r(bE—A)=n.(1)

若IaE-AIRO,WJr(aE-A)=n,所以r(bE—A)=0,故A=bE.(2)若IbE—AI*0,

则r(bE—A)=n,所以r(aE-A)=0,故A=aE.(3)若aE-AI=0且IbE—AI=0,则

a,b都是矩阵A的特征值.方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r(aE-A)个线性无

关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r(aE-A)个；方程组

(bE—A)X=0的基础解系含有n-r(bE—A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的

线性无关的特征向量个数为n一r(bE—A)个.因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n,所以

矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.

知识点解析：暂无解析

29、设非零n维列向量a,p正交且证明：A不可以相似对角化.

标准答案：令兀为矩阵A的特征值，X为人所对应的特征向量，则AXMX,显然

A2X=X2X,因为a,。正交,所以庆2=邓丁?邱'1=0,于是/x=0,而X#),故矩阵A

的特征值为入1=入2=-=入n=0.又由a,P都是非零向量得A#),因为r(OE—

A尸r(A巨1,所以n-r(OE—A)<n-1

知识点解析：暂无解析

460

设A=-3-50

30、361

标准答案：⑴【证明】由IXE-AI=（入-1）2（入+2）=0得入1=51,入3二一

2.

-2][0

当久=1时•由（E-A）X=0得4=1对应的线性无关的特征向蛾为0=1d=0

01

1

当a=一2时，由（-2E-A）*=0得;1=-2对应的线性无关的特征向量为第=一】

1

因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化.

-2

⑵令P=1

0-2]

1一10

于是川•=P21

-20

2-(-2)-2-2(-2)-0

=-1+(-2尸-14-2(-2)-0

1-(-2)-2-2(-2)m1

知识点解析：暂无解析

001

A=ar1y

31、设10有三个线性无关的特征向量，求x,y满足的条件.

标准答案：

A0-1

由AE-A|=-xA-1->=。+1）。-1/得儿=一11=为=1,

-10A

因为A有三个线性无关的特征向量•所以A可以对角化，所以r（E—A）=1,

10-110一1

由E-A—-x0—y-►00—彳一y得jr+y=o.

-101000

知识点解析：暂无解析

32、设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k,使得Ak=0.证明：A不可以对角

化.

设矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P.使得

A：

久2

，两边A次褰得PA*P=

比

从而有Ai=At=…=A.=0,

标准答案：于是P=O,进一步得A=O,矛盾•所以矩阵A不可以对角化.

知识点解析：暂无解析

设A为三阶矩阵,4a,=况（1.2.3).。］

33、

标准答案:

12-2122

2-2-1,P1=2.-2,则PAP=2，于是

9

212-2-I23

170-2

1

A2P'05-2

3-2-26

知识点解析：暂无解析

1-33

a=为4=6x-6

34、设2y-913的逆矩阵A」的特征向量.求X,y,并求A,对

应的特征值巴

标准答案：

1-331

令4a=必%即6x-611，解得/io=4,1=10,y=-9,根据一

y-91322

对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知〃

4,

知识点解析：暂无解析

35、

a-1c-1

设A563,IA|=-l,a=-1为A,的特征向St.求A'的特征信入

1—c0―।

及a,6,c和A对应的特征值〃.

标准答案:

-1c-1

因为的特征向量也是A的特征向量，由b3-1-1得

0-(11

—a+1+c=-〃fl=-1

—5—6+3=—〃，解得b=­3•

因为IA|=—1,所以a=2•于是a=2,6=—3,c=2.AAl=i.

知识点解析：暂无解析

1-11200

设A〜4—2020

—3a00b

36、(1)求a,6,(2)求可逆矩阵P,使得LAP=B.

标准答案：

(1)1AE-A|=(A-2)[A*-(a+3)A+3(a-D]-/(A)•

因为久=2为A的二重特征值，所以a=5.

于是IAE-A|=。-2)2(2一6),故6=6.

1

（2）由（2E-=0得4=2对应的线性无关的特征向量为0

由（6E-A）X=0得人=6对应的线性无关的特征向量为第

令P10-2•则上=B.

013

知识点解析：暂无解析

200100

设4=0,5=00且A〜6.

01002

37、⑴求<2）求可逆矩阵P,使得PAP=B.

标准答案：

(D因为A〜B.所以tr(A)=即2+Q+O=1+(—D+2,于是Q=0.

A-200

(2)由|AE-A|=0A-1="+=0得A.B的特征债为

0-1A

Ai——1TA2=1»As=2.

当久=一1时•由(-E-A)*=0即(E+A)*=0得却=(0,-l,l)T；

当久=1时,由(E-A)X=0得々=(0,1.1)1

001

当a=2时，由(2E-A)X=0得0=(1,0,0户.取T=-11。,则

110

-1

l

PiAP}=1.

2

当a=一1时，由(-E-B)X=0即(E+S)X=0得小=(0.1,2)、

当入=1时•由(E-8)X=0得小=(1.0,0)。

010

当入=2时•由（2E-E）X=。得m=（0.0,1）1r，取巴=100.则

201

-1

巴也1

l

由PT'AP,=PiBPt得(REi)TA(P//)B,

00100-2

取P=P,P2-11001-10，则P'AP=B.

110110

知识点解析•：暂无解析

-2

38、用配方法化下列二次型为标准形：f（xi，X2，X3）=XI2+2X225x3+2xjx2-

2X]X3+2X2X3

11-1)X1

令A=1219X=Xi，则f(工।』，4)=X'AX,

一11-5x3

工i4-xj-X,=yi产i=y-"+3”

令《与+24=”,或1工z="一2»

xi=y»^3=%

1-1

设P=01“，显然F可逆，

00

标准答案:且/（©•/，*，）=yqpTxp*=乂+<-1。父.

知识点解析：暂无解析

39、用配方法化下列二次型为标准形:f（X|,X2»X3）=2XJX2+2X|X3+6X2X3.

XI=»一"1-101”

令<4=A+“，或*=PI,其中B=】1o.y=”且Pi可逆•

01”

JU/(X|.Xi»x3)=2y；-2y；+8%“+4””

2(yi+23)'—2(.yt-g>—6",

yi+2力=工q-2r,

y：—yj=x2•即=力+物，或Y=P/Z,

I=ZjI3-Z)

-3

-1•尸可逆，且

1

标准答案：f（4，力，△）=XTAXZT(PTAP)Z=2域-2zi-6z；.

知识点解析：暂无解析

40、「*ri01=XTAX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=0,

B=011.

7-1—2

其中(1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形；(2)求矩阵

A.

标准答案：⑴由AB+B=0得(E+A)B=0,从而r(E+A)+r(B)S3,因为r(B)=2,所以

r(E+A)<l,从而1为A的特征值且不低于2重，显然九=一1不可能为三重特

征值，则A的特征值为Xi=X2=-1，九3=5.由(E+A)B=0得B的列组为(E+A)X=0

10

故6=0，数=1为即=%=—1对应的线性无关解.

-1—1

令6=4为h=5对应的特征向量,

工J.

因为A，=4,所以广：一0,即广一口一°,解得用=]

⑷小=0—x=0

31

令Q=(力，力•力)，则f==一乂-y+5?；.

-10

(2)由。妆工0-1

00

-100

A=Q。70QT=2

的解，0051

知识点解析：暂无解析

41、二次型f(x],X2，X3)=x]2+ax22+X32-4x)X2-8x1x3―4x2X3经过正交变换化为标

准形5yJ+byz?—4y32,求：(1)常数a,b：(2)正交变换的矩阵Q.

1—2—4

⑴令A=T

-2a—2,X♦则/（*]»x3）=XAX,

标准答案:-4-21矩阵A

的特征值为Q=5,九2=b,九3二—4,

Jtr（A）=为+筋+筋+2=6+1ja=4

*[IAI=AiAtAjI-15a-40=-20b'Tb=5

1—2—4

从而A=-24—2，特征值为为=4,=5山=-4.

一4一21

（2）将九=A,=5代人（祝-4）*=0,即（5£—4）*=0,

411

2得为=为=5对应的线性无关的特征向量为小

000

4

000

-A）X=。，即（4E+4）*=0,

10

-4

由4E+A-202得九=一4对应的线性无关的特征向置为

5

00o

2

1

2

-42]

（。2>）.1_

令2，同-2

4=a5

05

-1-4[2

单位化得力=木

2•r1

0

42

一石3展T

2X

所求的正交变换矩阵为Q后T

0

3

知识点解析：暂无解析

42、设二次型f（x],X2，X3）=（a—l）x，+（a—l）x22+2x32+2x]X2（a>0）的秩为2.（1）

求a；（2）用正交变换法化二次型为标准形.

标准答案：

a-110

（DA=1a-10,因为二次型的秩为2,所以r（A）=2,从而a=2・

002

110

(2)A=110,由|油一4|=0得3=兀=2,木=0.

002

当入=2时，由（2E—A）X=0得;1=2对应的线性无关的特征向量为垢=

1

当a=0时，由（OE-A）X=O得a=0对应的线性无关的特征向量为a=-1

0

o

因为a必两两正交，单位化得7i=1，於=0

⑪o1

10

72(2

2•则/=MAX-YT①丁妆)丫=2＞；+2y\,

42o

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知识点解析：暂无解析

43、设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A?=A（A称为暴等阵）.求：（1）二次型

XTAX的标准形；（2）IE+A+A2+...+AnI的值.

标准答案：（1）因为A?=A,所以IAIIE—AI=0,即A的特征值为0或者1,

因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r（A）=i•得A的特