考研数学三（无穷级数）模拟试卷17

考研数学三(无穷级数)模拟试卷17

一、选择题(本题共78题，每题1.0分，共78分。)

y

1、设级数£u.收敛，则下列选项必为收敛级数的为()

A、£(-D-

.

£

C、•^i(U2n-lU2n)。

y

D、0・i(Un+Un+l)。

标准答案：D

yyyy

知识点解析：因为级数Wun收敛，而£un+「「£un只差一项，故Wun+]收敛，

.

Y

再由收敛级数的和仍收敛可知，级数£(Un+Un+])收敛，故选D。

yy

2、如果级数:^^口和£bn都发散，则()

V

A、台⑶一加)必发散c

y

B、£anbn必发散。

y

C、£l(an+|bn|)必发散。

y

D、£(|an|+|bnl)必发散。

标准答案：D

■■■

yyy

知识点解析：由于Sian发散，则刍出|发散,而|an|W|anl+|bn|),故刍(|an|+|bn|)必发

散，故选D。

3、已知级数?;an收敛，则下列级数中必收敛的是()

A、

REQ2

D、■IHn

y

C、之1(a2n-l—1—a2n)。

4D

y一一，

D、”・i(an+an+k)，k为正整数。

标准答案：D

知识点解析：由于Z(a/an+k)=?ian+Zan+k,而级数Zan+k为原级数Ean去掉了

Y

前k项，因此也收敛,故Sl(an+an+k)必收敛，故选D。

Y卫

4、设an>O(n=L2,...),且StaA收敛,常数K(0,2),则级数

£(一1%吟%)

A、绝对收敛。

B、条件收敛。

C、发散。

D、敛散性与入有关。

标准答案：A

ntan—)

知识点解析：利用比较法。因为。一一'nf=x>0,ffij

山正项级数Ean收敛可知，Ea2n收敛，再由比较法的极限形式知，原级数绝对

收敛，故选A。

5、下列命题成立的是(：)

A、若川>=0,则4bn收敛时，s・ian收敛。

B、一6=00,则”・ian发散时，”・ibn发散。

9・

C、若也则?「“和中至少有一个发散。

9・

D、若如。也=0,则g。"和中至少有一个收敛。

标准答案：C

知识点解析：由于!E?arbn=l,则!Tan=O和/里加=0中至少有一个不成立，则级数

£4和£Z

W与中至少有一个发散，故选C。

6、设OWanV"。（n=l,2,...）,则下列级数中一定收敛的是（）

（A）EA。（B）£（-］）Xo

«■1«•1

（c）£国（D）£（-I）"。

*=•n»l

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

iiy~

知识点解析：由ganVJ可知，而由4M收敛及正项级数的比较判别

法知，级数Ea,收敛，从而E（—1）%/绝对收敛，故选D。

£心

7、级数n°^（a>0,p>0）的敛散性（）

A、仅与p取值有关。

B、仅与a取值有关。

C、与a和。的取值都有关。

D、与a和。的取值都无关。

标准答案：C

lim=lim-—~=~

知识点解析：由于L-iBf）06⑴当0<火1时，级数发散。⑵当

0>1时，级数收敛。⑶当0=1时，原级数为与当a>l时收敛，当好1时发

散，故选C。

8、设常数归0,且级数Waj收敛，则级数e万+”）

A、发散。

B、条件收敛。

C、绝对收敛。

D、敛散性与入有关。

标准答案：C

B、Zaj必收敛。

C、Zbj必发散。

y

D、W(an+|bn|)必发散。

标准答案：D

yyyy

知识点解析：由Wbn发散可知,£|bnl必发散，而Wan收敛，则£&+瓦|)必发

散，故选D。

12、如果级数Z(an+bn)收敛，则级数N"图"()

A、都收敛。

B、都发散。

C、敛散性不同。

D、同时收敛或同时发散。

标准答案：D回

yyy

知识点解析：由于an=(an+bn)—bn，且名⑶+1)收敛，当匕加收敛时，必收

敛；而当白Y加发散时，WYan必发散，故选D。

sin(na)/()

.2

13、设a是常数,则级数Z।

A、绝对收敛。

B、条件收敛。

C^发散。

D、敛散性与口的取值有关。

标准答案：C

sin(na)<J-而<工V皿吆)V1_

知识点解析：由于n2'产£/收敛，则与/收敛，但与耳

V

14、设Sl(a2n-l+a2n)收敛，则()

y

A、Sian收敛。

B、Wyan发散。

C、l^Jan=Oo

y

D、当an>0时San必收敛。

标准答案：D

知识点解析：当an>0时，级数Wy(a2n-l+a2n)为正项级数，由于该级数收敛，则其

-V

部分和数列S#=(a1+a2)+(33+34)+...+(a2n-l+a2n)有上界，从而可知正项级数白an的部

分和数列Sn=a1+?；a2+...+an有上界，则级数an必收敛，故选D。

yVV

15、已知H(—Sla2n-1=5,则等于()

A、3。

B、7o

C、8。

D、9o

标准答案：C

1nI

知识点解析：24-毕％-2(一i)-an=2x5—2=8,故选C。

16、正项级数Zan收敛是级数Za7收敛的()

A、充要条件。

B、充分条件。

C、必要条件。

D、既非充分条件，又非必要条件。

标准答案：B

由于正项级数Zan收敛，则也an=O0当n充分大时ga/wan，从而

知识点解析：

Zana?收敛。但Ea,收敛时，Ean不一定收敛，如an=X因此，正项级数Z

an收敛是级数Na,收敛的充分条件，故选B。

17、设un=(—l)nln(l+vS),则()

A、2;和N与都收敛。

和都发散。

B、2;Z”

收敛而发散。

C、Z13Zu2

Zun发散而Zu?收敛。

D、

标准答案：C

知识点解析：£4=£（-"7）是一个交错级数，而m（l+万）单调递减

u=

yZ-£1，（1+尸），

趋于零，由莱布尼茨定理知，级数与Un收敛。G弱而而IX

1y1y2

口当n-8）,4〃发散，则以以发散，故选C。

18、设基级数与£帚的收敛半径分别为专与《，则鼎级数?;产的收敛

半径为（）

A、5o

6

B、3。

1

C、Io

1

D、Io

标准答案：A

知识点解析：设极限」K

—与lim

都存在，则由题设条件可知R否

1•一

BRL=lim-y4♦

3，3于是帮级数W瓦的收敛半径为R二

:b*♦1

2导副二曜一

二、填空题（本题共75题，每题1.0分，共75分。）

19、若数列｛an｝收敛，则级数Z（an+]—an）

标准答案：收敛

y

知识点解析：由题干知，级数S(an+1—an)的部分和数列为Sn=(a2—a1)+(33-*

Y

a2)4-...+(an+i—an)=an+i—ai,因为数列｛aj收敛，所以0)收敛。因此，级数月

(an+i-an)收敛。

20、设@]=1,则°，=2021,则级数Z(an+i—aQ的和为。

标准答案：2020

V

知识点解析：级数S(aj+1—an)的部分和数列为Sr=(a2—ai)+(a3—a2)+…+(an+i

limS~]j]蚌存

_an)=an+i—ai=an+i-1。则川"—""一1=2021—1=2020。

Y

21、若数列(ai+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-i+a2n)+…发散，则级数“・ian___________。

标准答案：发散

.

y

知识点解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛c假设£an收敛.

.

V

则级数(a］+a2)+(a3+a4)+...+(a2n-i+a2n)+…收敛，与题设矛盾，故Han发散。

22、嘉级数刍2-+(-3)"的收敛半径R=o

标准答案：也

nlim必山」=-Lj2

知识点解析：首先设an=2・+(-3)"，则当满足条件—％"3<1时,

即冈<白时，该事级数是收敛的。因此，此事级数的收敛半径是也。

Vx

23、鼎级数£2n+1的收敛域为

标准答案：［一1，1)

2n+1

=lim_.、

知识点解析：因为,丝。・i2(nz+l)+l=],则收敛半径R=l。当x=­l

y(L-11厂，V—1—

时，原级数为匕2n+1收敛；当X=1时，原级数为Si2n+1发散。因此收敛域

为［一1，l)o

(一尸

24、塞级数.

R的收敛域为

标准答案：［4,6)

知识点解析：幕级数的系数为A产G.则有

]

[.Ia«+iIi.>/n+1..I~n~,

lim-।----p=lim----------=lim------=1

II•»—・■va+1o

而因此，嘉级数的收敛半径为R=l,

yiziir

其收敛区间为(4,6)o当x=4时，原级数为凸n收敛；当x=6时，原级数为

史--

匕石发散，故累级数的收敛域是［4,6)o

25、无穷级数？;F的收敛区间为。

标准答案：(一〈2,42)

知识点解析：在原级数中令2=1,原级数可化为£,只需讨论与的收敛半径

Vnt1'lim=lim"-'=1Vnf

和收敛区间即可。对于级数名,由于1°I。"一n因此，£

X2

的收敛半径为1,收敛区间为(一1,1)。由于爹=3代(0,1)所以x=±42t,即原级

V2j

数幺2。的收敛区间为(一心，虫)。

M

Z上产的收敛半彳八

P

261

-

々

2"+(T)2Alim皿.1

知识点解析：设an=n”,则当满足条件=2x2VI时,即|x|<&

1

该累级数是收敛的。因此，鼎级数的收敛半径是戊

V(1+•—)X1

27、无穷级数"的收敛区间为

标准答案：(一了'丁)

知识点解析：幕级数的系数为an二(1+G严则忸加二■区(I+!)

伙।

此，幕级数£心丁丁1

的收敛半径为三，收敛区间为(-H

28、设基级数ZanX11的收敛半径为3,则基级数Zna£x—I)n+I的收敛区间为

标准答案：(一2,4)

知识点解析：根据基级数的性质对原辕级数逐项求导后，得

唱，力=,其收敛半径不变，因此有Znan(x-1严文一1)2名

n-1

nan(x—l),其收敛区间为|x—1|<3,即(一2,4)。

x=-4处发散，则事级数?ian(x-

29、已知事级数Gan(x+2)n在x=0处收敛，在

3)n的收敛域为

标准答案：(1,5]

知识点解析：由题意可却，金所3+21的收敛域为[一4,0|,则占“nx11的收敛域

y

为(一2,2]o所以占a£x—3)n的收敛域为(1,5]o

30、已知幕级数Zanxn在x