考研数学（数学三）模拟试卷490

考研数学（数学三）模拟试卷490

一、选择题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

1、下列无穷小中阶数最高的是().

A、ex-eranx

鹏

ln(l+2r)dz

B、Jo

C、In(H-x)-sinx

DVcosx-1

标准答案：B

知识点解析：F—etanx=/nx(ex「anx—[)〜—匕”，因为

..x—tanr..1-sec2x113

11m---；--=Iim——；—=--Y---^工，

…x…3xz3所以e—e’Mn〜x3

f»nn2jr

:

Joln(]-F2r)(kln(l4-2sinx)sin2x，郁尸%八—一《

由hm-----------：---------=lim--------------：------=】,得ln(l+2t)dt〜x।

jr-*OJJT-*。4XJ。

3

由ln(l+a:)=z-4---f-o(x)tsinx=7一媒-+O(JT3),得Ind4-x)—sinx:

43J!

-i=I。=ac-J/,选(B).

7^74-14

2、下列命题正确的是().

A、若f(x)在xo处可导,则一定存在6>0,在IX—xoI<3内f(x)可导

B、若f(x)在xo处连续，则一定存在8>0,在Ix-xoI<8内f(x)连续

f(10+h)—f(工。一h)

Iim---------------------------------------

C、若…h存在，则f(x)在x()处可导

lim/z(x)

D、若f(x)在xo的去心邻域内可导，f(x)在xo处连续，且，存在，则

zz

/(x0)=lim/(x)

f(x)在X0处可导，且f(xo)=L*。

标准答案：D

知识点解析:

I0,xGQ，,f(r)—f(o)

令/(JC)=I由=0=/(0),lim----------------=

x6R-Q.—LOx

lim。61二/⑹=0得八])在z=0处可导(也连续).

一。X

对任意的讨0,因为!吧”力不存在，所以f(x)在x=a处不连续，当然也不可导，

即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，(A),(B)不对；

人，/、「1=0,/(O+A)-/(O-A)。阳*].一、八一0八、

令/(x)={显然hm------------------------------=2,因为1所/(1)=0H/(0)

Lr关0,A-OhLO

,所以f(x)在x=0处不连续，当然也不可导，(C)不对；因为f(x)在xo处连续且在

X0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(x)—f(xo)=f(9(X—X0)或者

)(工)―/(Ho)_,,()

N一工。，其中自介于XO与X之间，两边取极限得

lim)----=lim/'(£)=lim/'(E)存在，

…。工一N。一与…。,即f(x)在X0处可导，

/'(10)=lim/'(工),

l*.选①).

3、设f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且

■1(2)

f'(/)=lncosx+g(x-t)d/Jim-------=-2,

・ox-0x则().

A、f(0)为f(x)的极大值

B、f(0)为f(x)的极小值

C、(0,f(。))为y=f(x)的拐点

D、f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是y=f(x)的拐点

标准答案：C

,lim=-2，

知识点解析：显然f(0)=0,由“一°x得g(0)=0,g(0)=-

2.

由JO&(N—f)df=)d“得f'(R)=Incosx+Jg(u)du.

广(工)=一+g(z),y*(o)=0.

cosx

_sinx

r尸仃)一/*(O)..)..cosxgric、”,

f(0)=lim--------------------=lim---------=hm----------------------=-1-2=*-3<C0

L°x,-0xLOx

故(0,f(0))为y=f(x)的拐点，选(C).

4、设f(x)=x3-3x+k只有一个零点，则k的范围是().

A、IkI

B、IkI>1

C、IkI>2

D、k<2

标准答案：c

知识点解析：f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只

有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零.令f'(x)=3(x2—1)=0,得驻点x

=±1,且由图形可知，x=-1为极大值点，X=1为极小值点.故f(-l)=

2+k<0->k<-2,f(l)=-2+k>0->k>2,选(C).

5、设

ana12。田产”a12ai3+勿n][100一2

1,B=1，P尸0

A=a2\a22a23a3】a»2a幻+加31010

、0

%3la32«33+勿21,o''o

a2\a22Qu101-

，则B等于（）.

A、PiP2rA

B、AP]P2r

C>P1AP2-1

D、P2“API

标准答案：C

知识点解析：

an曲2叫102\a13+2a”

a31a”，因为P7=010卜P|AP7=

+为31

a2ia22a'001

Cna23+2a?i

选。.

6、设A为3阶矩阵，B=(pi，02，伪)，仇为AX=O的解，的不是AX=O的解，

又r(AB)Vmin{r(A),r(B)},则r(AB)=().

A、0

B、1

C、2

D、3

标准答案：B

知识点解析：因为能不是AX=O的解，所以AB却，从而r(AB)多；显然价，例

不成比例,贝Ur(B巨2,由r(AB)

]设随机变量X,Y相互独立，且X〜N(0,4),22,则P[x+Y<

2

}等于().

A、1

1

B、万

1

C§

1

D、4

标准答案：B

知识点解析：

P{X+Y&J}=P{X+Y&J|y=0}・P{Y=0}+P{X+Y44IY=1).P{y=1)

——0——--o

=齐("^~)+白(一\—>+<>(_；)]=J,

CLLL444Z

应选(B).

8、设(X],X2........Xn)(n22)为标准正态总体X的笥单随机样本，贝1」().

AnX〜N(0,1)

B、nS2-X2(n)

(n-l)X,,

---------z(〃-1)

C、3

(n-DXf「

---；--------F(1•r?-1)

Xx：

D、i=2

标准答案：D

知识点解析：

由K〜公⑴,它次〜12(LD,得丁X"-=与1因~加一1),选(".

tSx?/<n-l)*X：

，“2j—2

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

fsin(jr2-?)dz

..Jo

hm-------------------------；----

(1—cosj')ln(1+2x2)

1

标准答案：2

知识点解析：

fsin(x2—t)dtI,sin(xz—t)d/fsin(x2-z)d(x2—Z)

lim-.....：--------=lim-------；------=-lim-----------；---------

x-o(1—cosx)ln(lH-2x*r)*-。x*-ox

sinudu

..2rsinx21

尸"2

e-(f市=2x

10、设函数y=y(x)由J确定，则函数y=y(x)在x=0对应

点处的切线为「

标准答案:y=(2e-2)x+1

Cy2l

当z=0时，由J针山=0及e">0得了=1；

再由『:广"炉山二『：-“')、(/_])=，：“}/出得

两边对z求导得

e-<#2J.(4.+2)=2,

将X=0.y=1代人得?

知识点解析:故所

求的切线为y-1=(2e-2)(x-0),即y=(2e-2)x+1.

，，

11、设y=）/2X的满足初始条件y(())=],y(0)=()

y(x)ckr=

o

的特解，则

3

标准答案：2

知识点解析：特征方程为好+4入+4=0,特征值为入产入2=-2,y+4y4-4y=0

的通解为y=（Ci+C2X）c-2x；令y''+4y'+4y=4c"x的特解为y（）（x）=ax2c-2x,代

入得a=2,即方程y"+4y'+4y=4/2x的通解为y=(C]+C2X)e-2x+2x2/2x,由

y(0)=l,y'(0)=0得Ci=l,C2=2,即y=(l+2*把-2乂+2*2.2乂，

e-"d(2z)+2ze，d(2N)+(2.r)yd(2/)

3（彳）dx

=｝「⑴+疑⑵+:"3)=H*+9=5・

re-

n2+1

sF(«+1)=--------•

12、常数项级数"।

标准答案:41n2—I

令SCr)=£^t^r"(一lVzV1),

°°2112

+1(n4-1)-2(〃+D+2

Sn-----------..------工1t

S(i)=J

2J-rTn+1

4iT—制

知识点解析:S(0)=

0：当x，0时，

8—

由+1)工"=(Z-"

•-1It*1

8

E击工铝""=工总&=T+%(17得

2

c,、2x-J22JC,2...、x2.

S(x)=-------r----------2odln(1-x)=--------y-2ln(1一工)，

(1—x)1—Jx(1—xrx

故0£0/+1=S("~)=1—2—41n；=4ln2—1.

2"(n4-7)

・-I

I11-1

4=11a—1

13、设矩阵一313不可对角化，则a=..

标准答案：0或4

A-1-11

-12一。1

知识点解析：由I入E—AI=3-1a-3=入伍—@)(入—4)=o得入］=

0,入2=a,入3=4.因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a=0或a

=4.当a=0时，由r(0E—A)=r(A)=2得入i=Q=0只有一个线性无关的特征向

量，则A不可对角化，a=0符合题意；

I3T10-h

当a=4时，4E—A=|-100-14I9

'3-1

000由r=(4E-A)=2

得九2=M=4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a=4也符合题

意.

14、10件产品中有3件产品为次品，从中任取2件，已知所取的2件产品中至少

有一件是次品，则另一件也为次品的概率为..

1

标准答案：8

知识点解析：令事件A=｛所取两件产品中至少有一件次品)，B=｛两件产品都是次

品｝>

一C；8C11

P(A)=1—P(A)=1一子=白，P(B)=-丁=白

C\Q15C；o15

P(AB)_P(B)_1

则P(B|A)=P(A)-=玩4)=了

三、解答题(本题共9题，每题分，共9分。)

*/1y-IXI|drdJ

15、计算“，其中D=｛(x,y)I-1<X<1,0<y<I).

标准答案：令Di={(x,y)I0<x<l,0<y<l),由积分的奇偶性得

山积分的奇偶性得

jj/.)一1111ctrJy=2||Wy-①|d_rd.y.

°

再令Dit=|0&«r《l,0《y《z}.D]2={(r・3)141.”Wy41)•则

[x/1y-工Id/d_y«=jj，r一)d_rdy+JJVy-xdj

rd_y,

%“U%

[5/>r-j，drdy=jd.rJ>/.r-vd_v=—(/_y2J

)0du

2门-9r1-x=

=­yj(0-J--)dj-=—jx:dx=ifn-

TJy-/(Lrdy=JdujVy-.rd.y=(y-1)？1'^

窗z°,°

2f1122

=-r(1-/)z心—-<x胃(1—」

oJu35

故;!yry三f以心，=2符意=||.

知4点解析：暂无解析

e

16、已知Un(x)满足Un(x)=Un(x)+xnIex(n=l,：2,…)，且uM1)=n，求级数

0O

X"4])

的和函数.

标准答案：u；(x)=un(xi+x-％x,B[Jy,-y=xn--,ex

解得》-J(C+L-'d.7).

即y=ez(C+--),因此“J/)—e/(C十。).

由士=««(])—e(c4~

知•(：=0•于是uw(x)=工°.

n'n/n

下面求级数的和：令S(x)=XX*,

■•1■=1%

■R

则S'(z)=Z(z"7e'+=SG)+*广％"=S(.r)-br-^―,

〃M1-J-

即«»二一

S'(.r)—S(i)■

星公式知S(z)(C+J

由一阶年齐次线性微分方f

a

令.r=0.得0=S(0)=C,因此级数X〃“(7)的和S(J)=-erln(l—x)(-1<J-<1).

知识点解析：暂无解析

17、设f(x)WC[a,b],E(a,b)内二阶可导.(I)若f(a=O,f(b)<0,f/(a)>0.证

/,(x)d/

明：存在年(a,6),使得f(1)f''R)+f'2©)=0；(II)若f(a)=f(b)=J«

=0,证明：存在昨⑶b),使得f(n)=f(r|).

标准答案：(I)因为f+(a)>0,所以存在c€(a,b),使得f(c)>f(a)=0,因为

f(c)f(b)<0,所以存在x°E(c,b),使得f(xo)=O;因为f(a)=f(xo)=O；由罗尔定理，存

在xi€(a,xo),使得f'(xi)=0.令(p(x)=f(x)f'(x),由(p(a)=(p(xi)=0,根据罗尔定

理，存在年(a,xi)U(a,b),使得(p化)=0.而(p(x)=f(x)f'+f?(x),所以

,,rz(/)d/

f®f(9+f2《)=0.(E)令F(x)=)“，因为F(a)—F(b)=0,所以由罗尔

定理，存在c€(a,b),使得F(c)=0,即f(c)=0.令h(x)=eXf(x),由h(a)=h(c)=

h(b)=0,根据罗尔定理，存在f(a,c),及E(c,b),使得h'化i)=h'(及)=0,则

h(x)=ex[f(x)+f(x)],所以出欧)+广(勺)=0,f(4)+f'(及)=0.再令G(x)=e

X[f(x)+f(x)],由G化1)=G&)=O,根据罗尔定理，存在昨&，々)U(a,6),使

得G、(n)=0，而G'(x)=er[f'、(x)—f(x)]且ex/o,所以「(中二出耳).

知识点解析：暂无解析

18、设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积记为

S.其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0).(I)求S=S(a)的表达式；(II)

当a取何值时，面积S(a)最小？

标准答案：(I)设另一个切点为(xo,X0,则抛物线y=x2的两条切线分别为Li：y

CtC2

=2ax-a~,L2：y=2xox-xo

因为_LLz，所以小=-4,两条切线L]，L2的交点为n=a=ax0,L,,L2及

4a4

抛物线y=.1所围成的面积为

S(a)=|'[J-2—(2xox-+J[x2—<2ux—a2)]dr

Y(a+2),

(D)

令S，Q)=L(a+，)2(l7)=0.得•.因为当a€(0,J)时,S'(a)V0,当

a■时，S'(以>>0•所以当a=；时，面积S《a)取最小值・

知识点解析：暂无解析

s8

19、求级数”72”（〃41）〃的收敛域及和函数.

标准答案：

由1厮；3|=!得塞级数的收敛半径为我=2.

L8Cl„乙

当Z=土2时.因为火|点片二一=2^厂人~收敛♦所以收敛域为[-2.2].

77；|2(n+1)«之(〃十1)，7

令SG)=2"则S(/)=S亍----S西-----百，

”.[2(〃+1)，12〃2\nrl)

再令S2=W方3=4FTf

e弋仔)"

则Si(])=£^―=/£——=--rln(l-y)(―24工V2)

一i2〃»=in乙

8人好信广[田.1

2

S2(x>=S------=2527~TT；=2V/

匕2"(〃+1)+D2J--------F

L*«i〃4

=-21n(l1—j—jr(—2&zV2),

2

82"7]

又当M=2时,S(2)=XK「、=226而=2,

▼](2—Z)ln(l—1)+/.-2&iV2,

所以S(z)=1.、2/

2.X=2.

知识点解析：暂无解析

-7,B为三阶非零矩阵，

ia\tb

2卜a3=1

1。/为BX=O的解向量，且AX=a3有

解.（I）求常数a,b的值；（D）求BX=O的通解.

标准答案：(I)由B为三阶非零矩阵得r(B)》,从而BX=O的基础解系最多有两

0ab

121

个线性无关的解向量，于是-110=0,解得a=3b.由AX=a3有解得

■

r（A）=r（A：a3）,

I1399I139b

由（A：a,）=1206-6_-12_1-26

1-0-6-121-26To-=20-3b

o''o10

'-31-72036

解得b=5,从而a=15.(U)由a],ct2为BX=O的两个线性无关解得3—r(B)N2,

从而r(B£l,再由r(B)21得r(B)=l,aj,a2为BX=O的一个基础解系，故BX=

=跖1+七2(跖/2为任意常数).

0的通解为X'一1/'1

知识点解析：暂无解析

f—11\i02、

A11=02

102,，矩阵有一个二重

21、设A为三阶实对称矩阵，0A

特征值且r(A)=2.(I)求矩阵A；(口)用正交变换法化二次型XTAX为标准形.

标准答案：(I)

A可对角化且r(A)=2,所以A有两个非零特征值，故九3=2.令入3=2对应的特

r10\/O0

令p=i0得.=「02

'02/*00

2i2

0一0

222

工1

~3yT33

22_1

3

111

而

1

而，则Q为正交矩阵•在正交变换X=QY下,

X-G

XrAX=y「(QTAQ)y=2a：+2*：.

知识点解析：暂无解析

_1_

22、某流水线上产品不合格的概率为p=1°,各产品合格与否相互独立，当检测

到不合格产品时即停机检查.设从开始生产到停机检查期间生产的产品数为X,求

E(X)及D(X).

标准答案：X的分布律为P{X=k)=(l-P厂Ip(k=l,

8—8

E(X)=£AP{X=