考研数学一（高等数学）模拟试卷82

考研数学一(高等数学)模拟试卷82

一、选择题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

1、设x—0时axObx+c-cosx是比X2高阶的无穷小，其中a,b,c为常数，则()

A、a；,b=0>c=lo

B、a=2,b=0,c=0o

C、a=2,b=o,c=lo

\_

D、a=2,b=0,c=0o

标准答案：C

lim>冈

知识点解析：由题意得'—(ax2+bx+c-cosx)=0,则c=l。又因为所以b=0,

a=o故选C。

2、设函数f(x)在(-oo,+功上存在二阶导数，且f(x)=f(・x),当xVO时有r(x)V0,

f，(x)>0,则当x>0时，有()

A、f(x)<0,f,(x)>Oo

B、f(x)>0,fXx)<Oo

C、f(x)>0,f,(x)>Oo

D、f(x)<0,rXx)<Oo

标准答案：c

知识点解析•：由f(x)=f(-x)可知，f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数

的导数是偶函数，即「仅)为奇函数，『(x)为偶函数，因此当xVO时，有r(x)v

0,P(x)>0,则当x>0时，有r(x)>0,f,(x)>Oo故选c。

3、函数y=f(x)在--11数的图形如图1-2-2所示，则y=f(x)

图1-2-2

的拐点个数是()

A、lo

B、2。

C、3o

D、4o

标准答案：C

知识点解析：只需考查「'(X尸0的点与『(X)不存在的点。尸(XI尸尸(X4)=O,且在

X=X1，X4两侧r'(x)变号，故凹凸性相反，则(X|,f(xi)),(X4,f(X4))是y=f(x)的拐

点。x=9处f(0)不存在，但f(x)在x=0连续,且在x=0两侧产(x)变号,由此(0,

f(0))也是产f(x)的拐点。虽然「'(X3)=0,但在x=X3两侧r'(x)>0,y=f(x)是凹叽

(X3,f(X3))不是y=f(x)的拐点。因此总共有三个拐点。故选C。

4、由曲线y=l・(x・l)2与宜线y=0围成的图形(如图1-3-1所示)绕y轴旋转一周而成

")(1(1+/i^7)2dyo

2

(B)(：(l-/n^7)dy0

(C)[ir[(l+/I-y)-(1--y)]?dy。

(D)[TT[(1♦/I-y)2-(1-Jl-尸产jd，。

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：根据选项需把曲线表成x=x(y),于是要分成两部分

*=1*(°&y&D,所求立体体积为两个旋转体的体积之差，其中

2

匕=(1♦/I-y)dy,y2=”1(1-八一?)%’,

于是有y=匕-匕=[(1+/ny)2-(1-/[彳)2]打,故选D。

rx+3y+2z+1=0,

5、设有直线L：bx-y-IOz+3=0,及平面口：4x-2y+z-2=0,则直线L()

A、平行于n。

B、在n上。

c、垂直于n。

D、与刀斜交。

标准答案：c

S=132

知识点解析：直线L的方向向量为2-1-10=-28i+14j-7k=-7{4,-2,

1）»平面口的法向量11={4,-2,1},显然s与n平行，因此直线L与平面口垂直,

故选C。

6、设可微函数f（x,y）在点（xo,yo）处取得极小值，则下列结论正确的是（）

A^f（xo，y）在y=yo处的导数大于零。

B、f（x（）,y）在y二yo处的导数等于零。

C、f（xo，y）在y二yo处的导数小于零。

D、f（xo，丫）在丫=丫0处的导数不存在。

标准答案：B

知识点解析:因可微函数f（x,y）在点（xo，yo）取得极小值，故有fx（xo，yo）=O,

f（x（）,y（））=0o又由fx（xo，yo）=d>…o,可知B正确。

「J/+/+z?=a2,

7、设有曲线'U+y+z=o,从x轴正向看去为逆时针方向，则凶

ydx+zdy+xdz等于（）

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：取Z为平面x+y+z=0包含球面X?+y2+z2=a2内的部分，法线方向按右

Jydx+zdy+xdz

r

=0（0-1）dydz+（0-I）dzdx+（0-1）dxdy

=-II（cosa+co甲+cosy）d5,

手法则，由斯托克斯公式得？其中

、——.,因

cosa,cosp,cosy为平面x+y+z=0法线向量的方向余弦，且cosa=cosp=cos尸

则，故选C。

(A)若也=0，则出”收敛时，工««收敛。

(B)若lim2=8,则2ali发散时，£bn发散。

(C)若lima也=1,则和中至少有一个发散。

"iAIts!A3I

OB«

(D)若lima/.=0,则和2"中至少有一个收敛。

ns1it■I

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

lima6=1，则lima。=0和limb.=0

知识点解析：若L。-L8中至少有一个不成立，则级

•和Sx,、

数*/naI中至少有一个发散，故选C。

9、设线性无关的函数yi，yz，y3都是二阶非齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=Rx)的

解，Ci，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()

A、Ciyi+C2Y2+y3o

B、C1y1+C2y2-(Ci+C2)>3o

C、C।y।+C2y2-(1-Ci-C2)y3°

D、Ciyi+C2y2+(1-Ci-Ci)y3<>

标准答案：D

知识点解析：因为yi，y2，y3是二阶非齐次线性方程y''+p(x)y'+g(x)y=f(x)线性无

关的解，所以yi-y3,y2-y3都是齐次线性方程y''+p(x)y'+g(x)y=O的解，且yi-y3与

y2+3线性无关，因此该齐次线性方程的通解为产G(yi・y3)+C2(y2・y3)。比较四个备

选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，应选D。

二、填空题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

10、加(幻K-泞f。

标准答案：3

知识点解析：

lim(y/x^+x—J±-1)=

—4--=

663°

ii、已知ly=%。蚣

COS_一

标准答案：1-sin。

立=!co蚣-SsinG

—1-sing-%os&°

dx1

知识点解析：/

12、曲线xy=l在点D(l,1)处的曲率圆方程是o

标准答案：(x-2)2+(y-2)：2

知识点解析：由题干可知，

八(十)'+”"

则/=-1,/=20

«■!I那么D点处的曲

率回设D点曲率中心的坐标为(a,p),那么因此所求方程为(x-2)2+(y-2产=2。

r-^dx

13、1(1+x)

=O

标准答案：ln2

r-^dx=-门X(人)=-4.:广•7rL

Ji(1+x)Ji\1+x/1+xiJix(1+x)

=-ln(1+-j|=ln2o

知识点解析:

14^经过平面口1：x+y+l=O与平面口2：x+2y+2z=0的交线,并且与平面口3：2x-y-

z=0垂直的平面方程是o

标准答案：3x+4y+2z+2=0

知识点解析：平面口】与门2的交线方程为‘Q+2,+2z=0,其方向向量S点

p()(o,-1,1)在交线L上。所求平面n过点Po,交线L的方向向量s与平面n3的法

向量，n=(2,-1,-1)垂直，因此故「I的方程为3x+4y+2z+2=0。

15,已知曲线L的方程为y：1-IxI,xG[-l,1],起点是(-1,0),终点是(1,0),

/9

则曲线积分么xydx+x~dy=_______。

标准答案：0

=G-1w,wo,

ly=1+G

右：「OWfWl。

ly=1T,

Jxycbc+x2dy=jxydx+x2dy+Jxydx+x2dy

LLi

=^[t(l+t)+?]dt+[：(1-0一/]市

=乌3+白「<0。

知识点解析：令I32/I->\23/o

y3一

16、无穷级数T的收敛区间为o

标准答案：(-履历

2

—冈

知识点解析：在原级数中令2=3原级数可化为u的收敛半径和收敛区间即可。

对于级数，由于所以的收敛半径为1,收敛区间为(・1,1)。由于的收敛区间为

17、设产eX(asinx+bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通

解，则该方程为o

标准答案：y''-2y'+2y=0

知识点解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是52=1土「特征方程为心

r।)(r-F2)=r2-(r।+r2)r+rir2=r2-2r+2=0,故所求微分方程为y"-2y'+2y=0。

三、解答题(本题共8题，每题分，共8分。)

18、设函数f(x)在x=l的某邻域内连续，且有

］加比［/(*+1)+1+3sin%］__4

2G7-i°

求/(I)及

1x

标准答案：由己知条件得！,5仙+1)+1+3m2*］=0,因此有回

［f(x+l)+3sin2x］=f(l)+0=0,故f(l)=0o又因为在x=0的某空心邻域内

f(x+l)+3sin2x^0,现利月等价无穷小替换：当x—■()时，ln［l+f(x+1)+3sir|2x|~

f(x+l)+3sin-x,

知识点解析：暂无解析

19、设奇函数f(x)在卜1,1］上具有二阶导数,且f(l)=l,证明：(1)存在年(0,

1),使得r©=i；(U)存在昨(-1，1)，使得r'(n)+『(n尸1。

标准答案：(I)令F(x)=f(x)-x,则F(O)=f(O)=O,F(l)=f(l)-1=0,由罗尔定理知,存

在眄0,1)使得F，©=o，BPf(5)=10(II)令G(x)=eXf(x)・l］,由(I)知,存在

5(0,1),使C(9=0，又因为f(x)为奇函数，故F(x)为偶函数，知G(-9=0,则存

在昨(七，5)c(-i,1),使得GYn尸丁(「Oi)-i)+enr'm尸0,f,(n)+f(n)=io

知识点解析：暂无解析

20.设函数f(x)在［。，兀］上连续，且口⑴&二°⑴3粒=°。试证明在(°,兀)

内至少存在两个不同的点言，42,使熊1尸筋2)=0。

标准答案：令F(x)=£""”,0%5，则有F(0)=0,F(TI)=OO又因为凶所以存在

年(0,兀)，使F©)si忧=0,不然，则在(0,兀)内F(x)sinx恒为正或恒为负，与矛盾,

但当年(O兀)时sin仔0,故Fq=0。再对F(x)在区间［0,可，&兀］上分别用罗尔

定理知，至少存在言6(0,匕)，兀)，使得知©尸F，&)=0,即熊1尸熊2)=0。

知识点解析：暂无解析

21、设/其中f和g具有一阶连续偏导数，且gz(x,y,z)#),求於

标准答案：本题确定两个因变量，三个自变量。由第一个方程来看，u是因变量,

x,y,I是自变量，由第二个方程来看，z是因变量。因此确定x,y,t为自变量,

u,z为因变量。于是将方程组对x求偏导数得

■川一凯广嘉5偿弥卜

即

白鬻=。，dzdx

M_建，

dz

du_/0*2噫0X

解得

6二

和+5+〃+/；）］

f萤一广电

du_

砂一驾1+S”；+/；)]

同理，将方程组对y求偏导数可得

知识点解析：暂无解析

22、设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为

22

D=I(X,y)Ix2+y2-xyW75},小山的高度函数为h(x,y)=75-x-y+xyo(I)设

M(xo,yo)为区域D上的一点，问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大？

若此方向的方向导数为g(x(),yo),写出g(xo，yo)的表达式；(口)现欲利用此小山

开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是

说，要在D的边界线x2+y\y=75上找出使(I)中g(x,y)达到最大值的点。试确定

攀登起点的位置。

标准答案：(I)函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向

gradA(x.y)={普，当=I-2与+-2%。

(5，。)IdxdyJ(wo)

方向导数的最大值是gradM",的的模,即

22

g(xo.yo)=5/(y0-2x0)+(x0-2y0)o(口)求

g(x,y)在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点与求g2(x,y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-

8x),在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗

日乘数法。构造拉格朗三函数L(x,y,X)=5x2+5y2-8xy+X(x2+y2-xy-75),则有

Fxi°

联立(1),(2)解得尸-x,入=-6或户*,入=-2。若产-x,则由⑶式得3x~=75,

即x=±5,y=±5。若y=x,则由(3)式得x2=75,即。于是得可能的条件极值点

2

Mi(5,-5),M2(-5,5),o现比较f(x,y)=g(x,y〕=5x2+5y2-8xy在这些点的函数

值，有f(M[尸f(M2)=450,f(M3)=f(M4)=150。因为实际问题存在最大值，而最大值

又只可能在M],M2，M3,M4中取到。所以g2(x,y)在M],M2取得边界线D上

的最大值，即Mi，M2可作为攀登的起点。

知识点解析：暂无解析

23、设f(x)J卜

标准答案：

^x2f(x)dx=yj^/(x)<k3=yx3/(x)°-/卜叭力)

="浜\"&=二看3」；-"

知识点解析：暂无解析

[(X+xysinx)dx+八粒打臼