机械精度设计课件 第7章-尺寸链

第七章尺寸链第一节尺寸链的基本概念第二节尺寸链的计算第三节解尺寸链的其他方法第一节尺寸链的基本概念零件的几何精度与整机、部件的精度密切相关，整机、部件的精度由零件的精度保证。通过尺寸链的分析计算，可以在保证整机、部件工作性能和技术经济效益的前提下，合理地确定零件的尺寸公差与形位公差，以确保产品质量。一、尺寸链的定义及特点二、尺寸链的组成和分类三、尺寸链的建立四、尺寸链图的画法一、尺寸链的定义及特点图7-1a零件尺寸链在机器装配或零件加工过程中，经常遇到一些相互联系的尺寸链按一定顺序首尾相接形成封闭的尺寸组就定义为尺寸链。如图7-1（a），当零件加工得到A1及A2后，零件加工时并未予以直接保证的尺寸A0，也就随之而确定了。A0、A1和A2这三个相互连接的尺寸就形成了封闭的尺寸组，即零件加工尺寸链。即A1-A2-A0=0图7-1b装配尺寸链如图7-1（b），将直径为A2的轴装入直径为A1的孔中，装配后得到间隙A0，它的大小取决于孔径A1和轴径A2的大小。A1和A2属于不同的设计尺寸。A0、A1和A2这三个相互连接的尺寸就形成了封闭的尺寸组，即形成一个装配尺寸链。即A1-A2-A0=0。图7-1c装配尺寸链如图7-1（c），内孔需要镀铬使用。镀铬前按工序尺寸（直径）A1加工，孔壁镀铬厚度为A2、A3（A2=A3），镀铬后孔径A0的大小取决于A1和A2、A3的大小。A1和A2、A3皆为同一零件的工艺尺寸。A0、A2、A1和A3这四个相互连接的尺寸就形成了一个尺寸链。即A1-A2-A0=0。二、尺寸链的组成和分类

（一）、基本术语1.环：尺寸链中，每个尺寸简称为尺寸链的环。图7-1中的尺寸A0、A1、A2都是尺寸链的环。

2.封闭环：根据尺寸链的封闭性，最终被间接保证精度的那个环成为封闭环。如A0、A1、A2三个环中，A0就是封闭环。3.组成环：除封闭环以外的其它环都称为组成环。在零件加工过程或机器的装配时，直接获得的（直接保证）并直接影响封闭环精度的环。如图7-1中的A1、A2就是组成环。组成环可分为增环和减环。

4.增环：在其它环不变的条件下，若某一组成环的尺寸增大，封闭环的尺寸也增大，若该环尺寸减小，封闭环的尺寸也减小，则该组成环称为增环，如图7-1中的A1

。5.减环：在其它环不变的条件下，若某一组成环的尺寸增大，封闭环的尺寸减小，若该环尺寸减小，封闭环的尺寸增大，则该组成环称为减环，如图7-1中的A2。

6.补偿环：尺寸链中预先选定的某一组成环，可以通过改变其大小或位置，使封闭环达到规定的要求。

7.传递系数：各组成环对封闭环影响大小的系数称为传递系数，用

表示（下角标

表示为组成环的序号）。对于增环，

为正值；对减环，

为负值。如图7-2所示，图中尺寸链由组成环A1，A2和封闭环A0组成，组成环A1的尺寸方向与封闭环尺寸方向一致，而组成环A2的尺寸方向与封闭环A0的尺寸方向不一致，因此封闭环的尺寸由式7-1表示：

（7-1）式中，α为组成环尺寸方向与封闭环尺寸方向的夹角。A1的传递系数=1；A2的传递系数图7-2平面尺寸链（二）、尺寸链的分类

按应用情况分类：

1.零件尺寸链：零件尺寸链的各组成环为同一个零件的设计尺寸所形成的

尺寸链，如图7-1a所示。

2.装配尺寸链：装配尺寸链的各组成环为不同零件的设计尺寸（零件图上标注的尺寸），而封闭环通常为装配精度，如图7-1b所示。

3.工艺尺寸链：工艺尺寸链的各组成环为同一零件在加工过程中有工序尺寸、定位尺寸和基准尺寸之间形成的尺寸链，如图7-1c所示。

按各环在空间的位置分有：

1.直线尺寸链：全部组成环平行于封闭环的尺寸链称为直线尺寸链，如图7-1a、b所示的尺寸链均为直线尺寸链。直线尺寸连中增环的传递系数

，减环的传递系数

。

（二）、尺寸链的分类2.平面尺寸链：平面尺寸链是指全部组成环位于一个平面内，但某些组成环不平行于封闭环的尺寸链，如图7-2所示。

3.空间尺寸链：空间尺寸链是指全部组成环位于几个不平行的平面内的尺寸链。

最常见的尺寸链是直线尺寸链。平面尺寸链和空间尺寸链通过采用坐标投影的方法可以转换为直线尺寸链，然后按直线尺寸链的计算方法来计算，所以本章只阐述直线尺寸链的计算方法。三、尺寸链的建立

正确地建立尺寸链是进行尺寸链计算的基础。

建立装配尺寸链时，首先应清楚产品有哪些技术规范或装配精度要求，因为这些技术规范或装配精度要求是分析和建立装配尺寸链的依据。

通常每一项技术规范或装配精度要求都可以建立一个尺寸链。建立尺寸链的具体步骤为：

1.确定封闭环：封闭环是在装配过程中最后自然形成的，是机器装配精度所要求的那个尺寸，而这个精度要求通常用封闭环的极限尺寸或极限偏差表示。

2.查明组成环：组成环是对封闭环有影响的尺寸。在确定封闭环之后，先从封闭环的一端开始，依次找出影响封闭环变动的相互连接的各个尺寸，直到最后一个尺寸与封闭环的另一端连接为止。其中每一个尺寸都是一个组成环，它们与封闭环连接形成一个封闭的尺寸组也就是尺寸链。

三、尺寸链的建立3.画尺寸链图：按确定的封闭环和查明的各组成环，用符号将它们标注在示意装配图上或示意零件图上，或者将封闭环和各组成环相互连接的关系单独用简图表示出来。这两种形式的简图称为尺寸链图。

必须指出，在建立尺寸链时应遵循“最短尺寸链原则”。对于某一封闭环，若存在多个尺寸链，则应选取组成环最少的那一个尺寸链。这是因为在封闭环精度要求一定的条件下，尺寸链中组成环的环数越少，则对组成环的要求就越低，从而可以降低产品的成本。

四、尺寸链图的画法

要进行尺寸链的分析和计算首先必须画出尺寸链图。

绘制尺寸链图时，可从某一加工（或装配）基准出发，按加工（或装配）顺序依次画出各个环。

环与环之间不能间断，最后用封闭环构成一个封闭回路。

用尺寸链图很容易确定封闭环及断定组成环中的增环或减环。

加工或装配以后自然形成的环，就是封闭环。从组成环中分辨出增环或减环，常用以下两种方法：（1）按定义判断。根据增、减环的定义对组成环逐个分析其尺寸的增减对封闭环尺寸的影响，以判断其为增环还是减环。（2）按箭头方向判断。对于环数较多，结构较复杂的尺寸链按箭头方向判断增环和减环是一种简明的方法：按尺寸链图做一个封闭线路（如图7-3（b）虚线所示），由任意位置开始沿一定指向画一单向箭头，再沿已定箭头方向对应于A0，A1，A2，…，An各画一箭头，使所画各箭头依次彼此首尾相连，组成环中箭头与封闭环箭头方向相同者为减环，相异者为增环。按此方法可以判定，如图7-3所示的尺寸链中，A1和A3为减环，A2和A4为增环。

(a)(b)

图7-3尺寸链图

第二节尺寸链的计算尺寸链的计算是为了在设计过程中能够正确合理地确定尺寸链中各环的基本尺寸、公差和极限偏差，以便采用最经济的方法达到一定的技术要求。根据不同的需要，计算尺寸链一般分为三类。（1）正计算：已知图纸上标注的各组成环的基本尺寸和极限偏差，求封闭环的基本尺寸和极限偏差。

正计算常用于验证设计和审核图纸尺寸标注的正确性。（2）反计算：已知封闭环的基本尺寸和极限偏差及各组成环的基本尺寸，求各组成环的极限偏差。

反计算常用于设计各零部件有关尺寸的合理极限偏差，即根据设计的精度要求，进行公差分配。（3）中间计算：已知封闭环和部分组成环的基本尺寸和极限偏差，求某一组成环的基本尺寸和极限偏差。

中间计算常用于零件尺寸链的工艺设计，如基准面的换算和工序尺寸的确定。第二节尺寸链的计算一、完全互换法二、概率法（统计法）一、完全互换法

完全互换法从尺寸链各环的极限值出发来进行计算，又叫极限法。应用此方法不考虑实际尺寸的分布情况，装配时，全部产品的组成环都不需要挑选或改变其大小和位置，装入后即能达到精度要求。

对于直线尺寸链来说，因为增环的传递系数为+1，减环的传递系数为-1，其完全互换法计算公式为。一、完全互换法1.基本公式（1）闭环的公称尺寸：封闭环的基本尺寸等于所有增环基本尺寸之和减去所有减环基本尺寸之和，即(7-1)式中：A0—封闭环的基本尺寸；Ai—组成环中增环的基本尺寸；Aj—组成环中减环的基本尺寸；m—增环数；n—组成环数。（2）封闭环的公差：封闭环公差等于各环公差之和，即

（7-2）一、完全互换法1.基本公式（3）封闭环的极限偏差：封闭环的上偏差ES0等于所有增环上偏差ESi之和，减去所有减环下偏差EIj之和；封闭环的下偏差EI0等于所有增环下偏差EIi之和，减去所有减环上偏差ESj之和。

（7-3）

（7-4）（4）封闭环的中间偏差：封闭环的中间偏差

等于所有增环中间偏差

之和减去所有减环中间偏差

之和。

（7-5）中间偏差

为上偏差与下偏差的平均值，

（7-6）

由上面公式总结如下：(a)尺寸链中封闭环的公差等于所有组成环公差之和，所以封闭环的公差最大，因此在零件工艺尺寸链中一般选择最不重要的环节作为封闭环。(b)在装配尺寸链中封闭环是装配的最终要求。在封闭环的公差确定后，组成环越多则每一环的公差越小，因此装配尺寸链的环数应尽量减少，即最短尺寸链原则。入体偏差原则：当组成环为包容面时，基本偏差代号为H即其下偏差为零；当组成环为被包容面时，基本偏差代号为h即其上偏差为零；当组成环既不是包容面也不是被包容面时，（如中心距）基本偏差为js即其上偏差为

，下偏差为

。a

b

图7-4轴套加工尺寸链2、尺寸链计算（1）正计算例7.1如图7-4所示零件尺寸

，，，求B面和C面的距离A0及其偏差。2.尺寸链计算解：画出尺寸链图7-4b，分析得A0为封闭环，A1、A3为增环，A2为减环。①计算封闭环的基本尺寸由公式（7-1）得②计算封闭环的极限偏差由公式（7-3）得由公式（7-4）得那么封闭环的尺寸与极限偏差为：2.尺寸链计算（2）中间计算例7.2加工一齿轮中心孔如图7-5，加工工序为：粗镗和精镗孔至

，然后插键槽得尺寸A3，热处理，磨孔至

。要求磨削后保证求工序尺寸A3的基本尺寸及极限偏差。

(a)(b)

图7-5孔键槽加工尺寸链计算解：首先确定封闭环。在工艺尺寸链中，封闭环随加工顺序不同而改变，因此工艺尺寸链的封闭环要根据工艺路线去查找。本题加工顺序已经确定，加工最后形成的尺寸就是封闭环，即

。其次查明组成环。根据本题特点，组成环为

、、。再次画出尺寸链图，判断增环和减环。经分析A0为封闭环，A1、A3为增环，A2为减环。①计算工序尺寸A3的基本尺寸由公式（8-1）得

②算工序尺寸A3的极限偏差由公式（7-3）得由公式（7-4）得因此用公式（7-2）验算：故极限偏差的计算正确。2.尺寸链计算（3）反计算反计算多用于装配尺寸链中，根据给出的封闭环公差和极限偏差，通过设计计算确定个组成环的公差和极限偏差，即进行公差分配。反计算有两种解法：等公差法和等精度法。a等公差法假定各组成环公差相等，在满足公式（7-2）的条件下求出组成环的平均公差，那么各环公差为：

（7-7）然后再根据各环的尺寸大小、加工难以和功能要求等因素适当调整，将某些环的公差加大，某些环的公差减小，但各环公差之和应小于等于封闭环公差，即

≤

(7-8)

2.尺寸链计算b等精度法采用等公差法时，各组成环分配的公差不是等精度。要求严格时，可以用等精度法进行计算。等精度法是假定各组成环按统一公差等级进行制造，由公差等级相同也就是公差等级系数相同算出各组成环共同的公差等级系数，然后确定各组成环公差。由（7-2）式得

那么

（7-9）式中，

为公差单位，当基本尺寸≤时，(为组成环基本尺寸所在尺寸段的几何平均值)。

计算出a后，按标准查取与其相近的公差等级系数，并通过查表确定各组成环的公差。

用等公差法或等精度法确定了各组成环的公差之后，先留一个组成环作为调整环，其余各组成环的极限偏差按“入体公差原则”确定。2.尺寸链计算（3）反计算例7.3如图7-6所示装配关系，轴系在齿轮箱装配以后，要求使用间隙A0控制在1～1.75mm的范围内，已知零件的基本尺寸为A1=101mm、A2=50mm、

A3=A5=5mm、A4=140mm，试求各组成环的极限偏差。

（a）(b)

图7-6开式齿轮箱装配尺寸链计算解：通过画尺寸链图分析增环、减环和封闭环。尺寸链如图7-6（b）所示，其中A0为封闭环，A1、A2为增环，A3、A4、A5为减环。要求A0max≤1.75mm，A0min≥1mm。方法一：等公差法①封闭环基本尺寸的计算由题意得：

T0≤1.75-1=0.75(mm)所以初定

A0=②计算各组成环的极限偏差然后，根据各组成环的基本尺寸的大小、加工难易和功能要求，以平均公差值为基础调整各组成环公差。A1、A2尺寸大，箱体件难加工，所以其公差给大一些；A3、A5尺寸小且为铜件，加工和测量比较容易，所以其公差可减小，A4作为协调环。最后经过对照标准公差数值表(表2-4)给出各组成环的公差为

T1=0.22mm

T2=0.16mmT3=T5=0.075mm

T4=0.25mm③计算各组成环的公差必须满足（7-8）式满足（7-8）式④入体公差原则给出各组成环极限偏差

、

、、由公式（7-3）得由公式（7-4）得封闭环的尺寸及极限偏差为方法二：等精度法解：①同方法一②算各组成环的极限偏差

由公式（7-9）得

查标准公差计算公式表2-2得公差等级为IT11级(a=100)。根据各环尺寸A1=101mm、A2=50mm、A3=A5=5mm、A4=140mm，差标准公差表得T1=0.22mm、T2=0.16mm、T3=T5=0.075mm。A4为轴段长度，容易加工测量，以它为协调环，则查标准公差数值表(表2-4)得T4=0.16mm（IT10级）。③按入体公差原则给出各组成环极限偏差

、、、与方法一相同得到封闭环的尺寸及极限偏差为二、概率法（统计法）

用极值法解尺寸链的实质是保证完全互换，并不考虑零件实际尺寸的分布规律。

在一个装配尺寸链中，即使每一个零件的实际尺寸都等于极限尺寸，装配后也能满足装配精度要求。

然而由（7-2）式可知，当装配精度较高（封闭环公差很小）时，各组成环公差必然很小才能保证封闭环的技术要求，这样导致零件加工困难，尤其当组成环的环数较多时更加明显。

采用概率法解尺寸链能够比较合理地解决这一问题。

概率法解尺寸链的实质，是按零件在加工中实际尺寸的分布规律，把封闭环的公差分配给组成环。

实践已证明，在大批量生产时，大多数零件实际尺寸分布在公差带的中心区域，极少数的实际尺寸接近或等于极限尺寸。

在一个机构中，各零件的实际尺寸恰好都处于极限状态的概率更是微乎其微。

从这种实际情况出发，在封闭环的公差相同的条件下，采用概率法解尺寸链就可加大各组成环的公差，以利零件的加工，降低生产成本。

零件的实际尺寸按正态分布的情况比较普遍，当然，有时也不排除按非正态分布，如均匀分布、三角分布、瑞利分布和偏态分布等。1.基本公式（1）封闭环的基本尺寸计算公式：封闭环的基本尺寸计算与完全互换法相同，仍用（7-1）式计算。（2）封闭环的公差计算：一般情况下，各组成环的尺寸获得无相互联系，是各自独立的随机变量。若它们都按正态分布，各组成环取相同的置信概率pc=99.73%(既保证99.73%零件的互换)，则封闭环和各组成环的公差分别为式中，σ0，σi分别为封闭环和组成环的标准偏差。

根据正态分布规律，有于是封闭环公差等于各组成环公差平方和的平方根，即

(7-10)但有时各组成环的分布不是正态分布，封闭环的公差应按下式计算。

(7-11)式中：

k0—封闭环的相对分布系数；

ki—各组成环的相对分布系数。

封闭环的分布特性取决于各组成环的分布特性，各组成环的分布为正态分布时，封闭环也为正态分布。

当各组成环分别按不同形式分布时，只要环数m≥5，且各组成环的分布范围有相差不大时，封闭环趋于正态分布。

对于这两种情况，封闭环的相对分布系数k0=1。

当组成环的环数m<5，且不按正态分布时，封闭环的分布为介于三角分布和均匀分布之间的某种分布，可取k0=1.22～1.73。

相对分布系数是表征实际尺寸分散性特征参数，其大小取决于实际尺寸的分布规律，常见分布曲线的相对分布系数k值见表7-1。表7-1常见分布曲线的k值分布曲线k分布曲线k正态分布1直角分布1.41三角分布1.22瑞利分布1.14均匀分布1.73偏态分布1.17

各组成环的相对分布系数ki取决于各环自身的分布规律。

大批量生产常采用调整法加工，若工艺状态比较稳定，则零件的实际尺寸一般为正态分布。

但实际生产中，由于设备精度、夹具刚度、监测和加工方法等因素的影响，使获得的尺寸分布为非正态分布。

如单件小批量生产采用试刀法加工（用通用量具检测）时，轴的实际尺寸多数接近最大极限尺寸，而孔的实际尺寸多数接近最小极限尺寸，尺寸呈偏态分布。

又如在无心磨床上磨削轴时，砂轮磨损后没有自动补偿，工件的实际尺寸形成平顶分布，忽略其他因素的影响，轴的尺寸分布则为均匀分布。

所以，必须了解各零件的加工方法和工艺条件，才能比较合理地确定各组成环的相对分布系数ki。（3）中间偏差计算公式

（7-12）

任意一个组成环的中间偏差

等于其上、下偏差的平均值；封闭环的中间偏差计算公式如（7-5）所示，用于各组成环为对称分布，如正态分布、三角分布等。（4）极限偏差计算公式

（7-13）各环的上偏差等于其中间偏差加上该环一半公差；下偏差等于其中间偏插减去该环一半公差。用中间偏差计算封闭环极限偏差的方法，同样适用于极值法。例7.4使用概率法求解例7.1。解：①封闭环公差的计算②封闭环中间偏差计算③封闭环极限偏差计算结果对照例7.1可以看出采用概率法计算出的封闭环尺寸精度高于完全互换法。所以概率法不适合于正计算。例7.5试用概率法计算例7.2。基本尺寸的计算同例7.2②公差计算因为所以③中间偏差计算因为所以④极限偏差计算结果对照例7-2可以看出采用概率法计算出的某一组成环环尺寸精度低于完全互换法。例7.6试用概率法计算例7.3。解：①同例7.3②算各组成环的极限偏差由公式（7-10）得查标准公差计算公式表2-4，正好在IT12～IT13级之间a12=160、a13=250。根据各环尺寸A1=101mm、A2=50mm、A3=A5=5mm、A4=140mm，查标准公差表得T1=0.35mm、T2=0.25mm、T3=T5=0.12mm。A4为轴段长度，容易加工测量，以它为协调环，则查标准公差数值表（表2-3）得T4=0.40mm（IT12级）。③按入体公差原则给出各组成环极限偏差

、、、④粗算A4极限偏差因为所以⑤定A4极限偏差根据

查轴的基本偏差表得基本偏差代号为x(es=+0.248mm)公差带代号为x12，那么ei=-0.152mm。因为

=0.34mm≥=0.248mm，=-0.152mm≥=-0.25mm，所以组成环

满足要求。

对照例7.3可以看出采用概率法计算出的组成环尺寸精度低于完全互换法。

通过上面三道例题我们可以看出，用概率法解尺寸链所得各组成环公差比完全互换法的结果大，经济效益较好。

因此，概率法通常用于计算组成环环数较多而封闭环精度较高的尺寸链。但概率法解尺寸链只能保证大量同批零件中绝大多数（99.73%）具有互换性，存在0.27%的废品率。对达不到要求的产品必须有明确的工艺措施，如分组法、修配法和调整法等，以保证质量。第三节解尺寸链的其他方法一、分组法二、修配法三、调整法一、分组法

分组装配法是在成批或大量生产中，将产品各配合副的零件按实测尺寸分组。装配时按组进行互换装配，以达到装配精度的方法。

分组装配法适用于封闭环精度要求很高、生产批量很大而且组成环环数较少的尺寸链。

尺寸链环数不多且封闭环的公差要求很严时，采用互换装配法会使组成环的加工很困难或很不经济，为此可采用分组装配法。

分组装配法是先将组成环的公差相对于互换装配法所求之值放大若干倍，使其能经济地加工出来。

分组装配法的优点是组成环能获得经济可行的制造公差。缺点是增加了分组工序，生产组织较复杂，存在一定失配零件。选用分组装配式应具备如下要求：1.要保证分组后各组的配合性能、精度与原来的要求相同，因此配合件的公差范围应相等，公差增大时要相同方向增大，增大倍数就是以后的分组数。2.要保证零件分组后在装配时能够配套。加工时，零件的尺寸分布如果符合正态分布规律，零件分组后可以互相配套，不会产生各组数量不等的情况。

但如有某些因素影响，造成尺寸分布不是正态分布，而使各尺寸分布不对应，产生各组零件数不等而不能配套的情况。这在实际生产中往往是很难避免的，因此只能在聚集相当数量的不配套零件后，通过专门加工一批零件来配套。否则，就会造成一些零件的积压和浪费。3.分组不宜太多，尺寸公差只要放大到经济加工精度就可以了。否则，由于零件的测量、分组、保管等工作量增加，会使组织工作过于复杂，易造成生产混乱。二、修配法

修配装配法是在装配时修去指定零件上预留量以达到装配精度的方法，简称修配法。采用修配法时，尺寸链中各尺寸均按在该条件下的经济加工精度制造。在装配时，累积在封闭环上的总误差必然超出其公差。

为了达到规定的装配精度，必须把尺寸链中指定零件加以修配，才能予以补偿。要进行修配的组成环俗称修配环，它属于补偿环的一种，也