2025-2026学年上海市三女中高二下学期数学期中试卷（2026.5）（含答案）

市三女中2025-2026学年第二学期高二年级数学期中2026.5一、填空题：（每题3分，共36分）1.直线的倾斜角为______．2.函数的驻点为______．3.抛物线的准线方程为______．4.圆的半径为______．5.已知函数，则______．6.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为______．7.若圆C：被直线l：所截得的弦长为，则实数______．8.若函数的图像在点处的切线方程是，则______．9.若直线和曲线有两个交点，则实数m的取值范围是______．10.设椭圆C：的左、右焦点为、，点P是C上一点，满足，则的面积为______．11.若抛物线上任意一点都满足，则此抛物线的焦点到准线的距离为______．12.如图，从双曲线的左焦点F引圆的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则______．二、选择题：（每题3分，共12分）13.椭圆的长轴长为（）A. B. C.4 D.214.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内极值点有（）个A.1 B.2 C.3 D.415.设，，则直线和曲线的图形是（）A.B.C.D.16.关于曲线C：，则以下结论正确的是（）①曲线C关于原点对称；②曲线C中，；③曲线C是不封闭图形，且它与圆有四个公共点；④曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．A.①② B.①②③ C.①③④ D.②④三、解答题：（共52分）17.（本题满分8分：4分＋4分）求下列各函数的导数：（1）； （2）．18.（本题满分8分：4分＋4分）已知双曲线C：的实轴长为2，右焦点为．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C交于不同两点A、B，求弦AB的长．19.（本题满分10分：5分＋5分）已知过抛物线的焦点F、斜率为的直线交抛物线于、两点，且．（1）求实数p的值；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求实数的值．20.（本题满分12分：6分＋6分）已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若恒成立，求实数k的取值范围．21.（本题满分14分：4分＋4分＋6分）已知椭圆C：过点，且离心率为，其左右焦点分别为、，上下顶点为、．（1）求椭圆C的方程：（2）设点Q是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；（3）若M、N为椭圆C上相异两点（均不同于点），、的斜率分别是、，且，求证：直线MN必过定点；并求出定点坐标．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.12.如图，从双曲线的左焦点F引圆的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则______．【答案】【解析】设双曲线的右焦点为，因为为中点，为中点，所以为三角形的中位线，又所以又，，所以．二、选择题13.A14.A15.B16.B15.设，，则直线和曲线的图形是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，得．

若，则曲线为焦点在轴上的椭圆，直线的倾斜角为锐角，故错误；

若，则曲线为焦点在轴上的椭圆，直线的倾斜角为锐角，故错误；

若，则曲线为焦点在轴上的双曲线，直线的倾斜角为锐角，故正确；

若，则曲线为焦点在轴上的双曲线，直线的倾斜角为钝角，故错误．故选：．16.关于曲线C：，则以下结论正确的是（）①曲线C关于原点对称；②曲线C中，；③曲线C是不封闭图形，且它与圆有四个公共点；④曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．A.①② B.①②③ C.①③④ D.②④【答案】B【解析】数形结合，两个曲线有8个交点，所以④不正确。三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20.（本题满分12分：6分＋6分）已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1），令，得，

当时，恒成立，且仅在时取等号，故在上单调递减．

当时，在区间和上，在区间上，

所以的单调递减区间为，的单调递增区间为．

当时，在区间上，在区间上．

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）当时，由题意可知，在上恒成立，

即在上恒成立在上恒成立，

设，则，

令得；令得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以．

所以实数的取值范围是．21.（本题满分14分：4分＋4分＋6分）已知椭圆C：过点，且离心率为，其左右焦点分别为、，上下顶点为、．（1）求椭圆C的方程：（2）设点Q是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；（3）若M、N为椭圆C上相异两点（均不同于点），、的斜率分别是、，且，求证：直线MN必过定点；并求出定点坐标．【答案】（1）（2）的最大值为（3）证明见解析，定点为【解析】（1）由椭圆的离心率可得，可得，

所以椭圆的方程为：，将代入椭圆的方程可得：，解得，所以椭圆的方程为：；

（2）由（1）可得，可得直线的方程为，即，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，

即，代入椭圆的方程中可得：，，可得，所以所求直线到直线的最大距离且，所以的最大值为

（3）（i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立，整理可得：,可得，

可得，且,

由题