河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点的坐标为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．2．双曲线的焦距为（

）A． B．6 C． D．43．观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（

）A． B．C． D．4．在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．5．如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．若直线与圆相交于两点，则当面积最大时，的值为（

）A． B．2 C． D．47．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知曲线，则曲线围成的平面图形的面积为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知直线，则下列说法正确的是（

）A．直线在轴上的截距为B．直线与直线平行C．直线的一个方向向量为D．直线与直线垂直10．在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（

）A． B． C． D．11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（

）A．B．若点的坐标为，则C．的最小值为18D．若直线与直线相交于点，则三点共线三、填空题12．记为等差数列的前项和，已知，则__________.13．圆与圆的公切线条数为__________.14．定义：在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.四、解答题15．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点.(1)设，试用向量表示；(2)求线段的长度.16．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，.(1)证明：无论取何值，均有平面平面；(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.18．记为数列的前项和，已知.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)设数列为单调递减数列，且，求实数的取值范围.19．已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足.（i）求与的关系式；（ii）求面积的取值范围.参考答案1．C解析：在空间直角坐标系中，点到平面的距离等于该点竖坐标的绝对值，因为，所以所求距离为.故选：2．C解析：双曲线的标准方程为，则，得，即，故双曲线的焦距为.故选：C3．A解析：因为数列，可以写成，所以可得到该数列的一个通项公式.故选：A4．A解析：点关于轴的对称点的坐标为，由题意反射光线所在的直线即为直线，，所以直线的方程为，即，即反射光线所在的直线方程为.故选：A.5．A解析：以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则.那么，所以异面直线与所成角的余弦值为,故选：A.6．B解析：设直线到圆心距离为，圆半径为，则，.为使直线与圆相交，则.则因，当且仅当时取等号，则，当且仅当时取等号.则，当且仅当，即时取等号.则最大值为，此时.故选：B7．C解析：设是椭圆的左右焦点，又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，，又，，，解得，即，又椭圆离心率的取值范围为，.故选：C.8．A解析：若点在曲线上，则点均在曲线上，则曲线的图象关于轴、轴、原点对称，当时，曲线，设其圆心为，图象与轴、轴的交点分别为，图象如图所示：易得，，则，则在中利用余弦定理得，则，因，则，故扇形的面积为，又，则曲线在第一象限与坐标轴围成的图形面积为，故曲线围成的平面图形的面积为.故选：A9．BD解析：A：在直线中，令，，所以本选项说法不正确；B：因为，所以直线与直线平行，因此本选项说法正确；C：由，所以直线的一个方向向量为，而，所以向量不是直线的一个方向向量，因此本选项说法不正确；D：因为，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确，故选：BD10．AC解析：在平行六面体中，是的中点，对于AB，，而，不共面，因此，A正确，B错误；，则，于是，由为平面内一点，得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误.故选：AC11．BCD解析：根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限.对于A：抛物线的焦点坐标为，根据抛物线的光学性质可知直线经过，直线方程可设为，与抛物线方程联立，得，，所以，，所以选项A不正确；对于B：若点的坐标为，由题意可知：，代入中，得，代入中，得，代入中，得，则，，所以，因此本选项正确；对于C：点的坐标为，由题意可知：，代入中，得，代入中，得，代入中，得，，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为18，所以本选项正确；对于D：点坐标为，因为，，所以，又直线都经过同一点，所以三点共线，故选：BCD12．1解析：由题意知，设等差数列的公差为，则，即，解得，所以.故答案为：13．2解析：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，所以，故圆相交，故两圆公切线条数为2.故答案为：2.14．/解析：平面的方程为，平面的一个法向量，同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设平面与平面的交线的方向向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则．故答案为：.15．(1);(2).解析：（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点，所以,，所以.（2）因为底面边长和侧棱长都等于2，所以，所以.16．(1)(2)解析：（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即.而双曲线经过点，所以有，解得.所以双曲线的方程为.（2）设，将其代入双曲线方程中得，两式相减得因为线段的中点坐标为，所以.所以，设直线的斜率为，则.所以直线的方程为，即.17．(1)证明：因为为线段的中点，所以，又因为底面，底面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，即无论取何值，均有平面平面；(2)解析：（1）略（2）因为平面，平面，所以即二面角的平面角就是，若平面与平面夹角的余弦值为，则，因为平面，又因为平面，所以，即，因为，所以，根据勾股定理可得：，又因为，，所以.18．(1)；(2)；(3).解析：（1）由，得，当时，，两式相减得，整理得，而，因此，即，则是以13为首项，为公差的等差数列，所以.（2）由（1）得：.由，得，解得，则当时，；当时，，所以数列的前项和.（3）由（1）知，则为单调递减数列，由，得，则，即，依题意，对恒成立，而单调递增，，当且仅当时取等号，因此，所以实数的取值范围为.19．(1);(2)（i）,（ii）解析：（1）如图，作出符合题意的图形，由四边形为菱形，根据椭圆的中心对称性可得，是椭圆的短轴顶点，再由椭圆的性质，由四边形的周长为，面积为可得：，解得，所以椭