课时作业40 线性回归和独立性检验（学生版）

课时作业40线性回归和独立性检验

1.（2024•全国高三专题练习）给出下列说法：

①回归直线§，=八+3恒过样本点的中心日,亍），且至少过一个样本点；

②两个变量相关性越强，则相关系数I川就越接近1；

③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；

④在回归直线方程？=2-0.5为中，当解释变量/增加一个单位时，预报变量9平均减少0.5个单位.

其中说法正确的是（）

A.①②④B.®®®C.①③④D.②④

2.（2024•全国高三专题练习）对两个变量工、丁进行线性相关检验，得线性相关系数，i=0.7859,对两个

变量〃、妙进行线性相关检验，得线性相关系数4=一0-9568,则下列判断正确的是（）

A,变量％与正相关，变量〃与u负相关，变量工与y的线性相关性较强

B.变量工与了负相关，变量〃与u正相关，变量x与y的线性相关性较强

C.变量工与丁正相关，变量〃与u负相关，变量〃与-的线性相关性较强

D.变量工与）'负相关，变量〃与u正相关，变量〃与妙的线性相关性较强

3.（2024•河南新乡市•高三一模）2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重,

但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年11月至2020年11月间，当月在售二手房均

价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1~13分别对应2019年11月-2020年11月）

当月在售二手

1.04-房均价）-

1.02

1.00

().98

0.96

0.94

012345678910111213月份代码兀

根据散点图选择），=。+人«和）=。+〃111工两个模型进行拟合，经过数据处得到的两个回归方程分别为

y=0.9369+0.0285&和y=0.9554+0.0306In%，并得到以下一些统计量的值：

y=0.9369+0.02856y=0.9554+0.0306inx

R20.9230.973

注：工是样本数据中X的平均数，》是样本数据中y的平均数，则下列说法不一定成立的是（）

A.当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系

B.根据y=0.9369+0.02854可以预测2（）21年2月在售二手房均价约为1.0509万兀/平方米

C.曲线y=0.9369+0.0285辰与y=0.9554+0.0306Inx的图形经过点（ay）

D.y=0.9554+0.03061nx回归曲线的拟合效果好于），=0.9369+0.02854的拟合效果

4.（2024•全国高三专题练习）对四组数据进行统计，获得以下放点图，关于其相关系数的比较，正确的是

（）

35

25-•••

20•

15：•*

10**

015101520253035~xO5101520253035xO5101520253035x

图2（相关系数r?）国M树X:桑数八）

V

35•

50V•••

25•,：•：

20-；••

15•••：

10・••；

ohlO1520253035~x

图4（利K条敢/

A.2<〃<0<勺<彳B.r4<r2<0<r]<r3

C.r4<n,<0<r3<r]D.弓cqvOvqVG

5.（2024•邵阳市第二中学高三其他模拟（））某种产品的广告费支出工与销售额》（单位：万元）之间有如表

关系，与X的线性回归方程为）=6.5X+17.5,当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）

X24568

y3040605070

A.10B.20C.30D.40

6.（2024•全国高三专题练习）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据:

天数x（天）3456

繁殖个数丁（千个）2.5344.5

由最小二乘法得y与x的线性回归方程为9=O.7x+d,则当五=7时，繁殖个数V的预测值为（）

A.4.9B.5.25

C.5.95D.6.15

7.（2024•全国高三专题练习）已知某种商品的广告费支出爪单位：万元）与销售额双单位：万元）之间有

如F对应数据：

X24568

y3040506070

根据上表可得回归方程计算得％=7，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为

A.75万元B.85万元

C.99万元D.105万元

8.（2024•全国高三专题练习）随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育

意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.

非一线一线总计

愿生452065

不愿生132235

总计5842100

由心记Vr得心笔埼等J9创

参照下表,

0.0500.0100.001

Ab3.8416.63510.828

下列结论正确的是（）

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”

C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”

D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”

9.（2024•全国高三专题练习）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，利用2X2列联表进

行检验，经计算〃的观测值4=7.069,参考下表，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率

不超过（）

PgkJ0.1000.0500.0250.0100.001

A）2.7063.8415.0246.6351().828

A.0.001B.0.01C.0.99D.0.999

10.（多选）（2024•全国高三专题练习）因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管.某大学开学后也启

用封闭式管，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管期间对学

校的管和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调杳的学生都对学校的管和服务给出

了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表:

满意不满意

男2020

女4010

附表:

P伊

20.1000.050.0250.01()0.001

k)

k2.7063.8415.0246.63510.828

附：心——也3——

(〃+b)(c+d){a+c)(/?+d)

以下说法正确的有()

A.满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法

B.该学校学生对学校的管和服务满意的概率的估计值为0.6

C.有99%的把握认为学生对学校的管和服务满意与否与性别有关系

D.没有99%的把握认为学生对学校的管和服务满意与否与性别有关系

11.(2024•山东高三专题练习)某沙漠地区经过治，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调

查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽

取20个作为样区，调查得到样本数据(必，/,)(；=1,2,20),其中％和■分别表示第，个样区的植物

2()2020

覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得£>,=60,£);=1200,£(X,-X)2=80,

f-1J-lJ-l

2020

Z(丫一讨=9000,ZU-幻⑶一刃=800.

i=1/=1

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数

乘以地块数)；

(2)求样本(第，2,…，20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物

数量更准确的估计，请给出一种你认为更合的抽样方法，并说明由.

£(%一元)(％-汾

附：相关系数

L瓦।门茂(…

V1=11=1

12.(2024•江苏南通市-高三期中)利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名

同学的胸围x(cm)与肺活量y(ml)的样本，计算平均值亍=80.5,y=4030,并求出线性回归方程为

y=32.26%+«.

高一男生胸围与肺活量样本统计表

胸围70758085827377738572

肺活量3700460040004300440034003200380044003500

胸围708378918174917610490

肺活量3600450037004100470037004600400047003700

（1）求a的值：

⑵求样本与x的相关系数L并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性

关系是有意义的（精确到0.001）；

（3）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求

从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.

i-y)Z(L)()。)叵-----------------------；

（参考公式及数据：b=J------,‘-nr——------对=38,/£(＞；,灯=2040.)

za—

1=1V/-I/-I

附：相关性检验的临界值表

检验水平

n-2

0.050.01

160.4680.590

170.4560.575

180.4440.561

190.4330.549

200.4230.537

13.（2024•江苏扬州市-高三期中）某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物总评成绩,

记第/位学生的成绩为（号X）（六1，2,3...20）,其中冷£分别为第，位学生的数学总评成绩和物总

评成绩.抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整）:

序号12345678910

数学总评成绩X95929190898888878685

物总评成绩y96908987928186888384

序号11121314151617181920

数学总评成绩X83828180807978777574

物总评成绩81808285807879818078

（1）根据统计学知识，当相关系数6120.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明

数学总评成绩与物总评成绩高度相关?请通过计算加以说明.

202020

参考数据：2（七一初,一切二485.工（七一寸二678.2（），「刃2=476

/=1f=l/=1

2（七一亍）（》一份

参考公式：相关系数〃------------------

♦（…2（—2

»=|»=1

（2）规定：总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1,对不优秀赋分0,从这

20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求二的分布列和数学期望.

14.（2024-全国高三专题练习）近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心.某人统计了近5年某网站“双

11”当天的交易额，统计结果如下表：

年份20152016201720182019

年份代码x12345

交易额y/百

912172126

亿元

（1）请根据上表提供的数据，用相关系数「说明）'与X的线性相关程度，线性相关系数保留三位小数.（统计

中用相关系数，•来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变量X的取值苍，变量）'的观测值为X

£（茗一工）（丫一刃

（1</</7）.则两个变量的相关系数的计算公式为：r二I“.统计学认为,对于变量

Vi=l/=!

x，%如果re[-1,-0.75],那么负相关很强;如果广£[0.75,1],那么正相关很强;如果〃«T）.75,-0.30]

或r40.30,0.75）,那么相关性一般;如果/•4-0.25,0.25],那么相关性较弱）；

（2）求出>关于x的线性回归方程，并预测2020年该网站“双11”当天的交易额.

参考公式：石二上「------------，a=y-bx；参考数据：71860«43.1.

£（N-三）2

15.（2024•陕西高三零模）2019年12月27日，国家统计局公布全国规模以上工业企业月累计营业收入利

润率数据如表:

1〜21〜31~41〜51〜61-71〜81〜91~101〜11

月份累计

月月月月月月月月月月

月份累计

12345678910

代码工

营业收入

4.795.315.525.725.865.875.875.915.855.91

利润率

乂％)

（i）根据表中有关数据请在下图中补充完整y与x的折线图，判断），=4+去与），=c+d4哪一个更适宜

作为）'关于x的回归方程类型，井说明由；

6.11r.t.w■■1r•・・•・■■飞

iieiiiiioii

641-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----r-n

卜一卡-”---+・一卜一十•.十-T-----卜--十-”

SN

11J----1-----1-----i-----J-----1-----i-----1------------J

5.8I11111111011

5.1

11111111111

5・6k----1----J----4----u----U---I----4----&----U----1-----1

11111111111

5.5

11111111011

5.4卜一十一-+一-一

11111111111

S3卜・・・r・・・i・・・r・・・r・・・i・・・r

।।r।।।।

IIBIII

5.2F""1T■'!1-I----।v1..r..n

11111111111

5.1I■i―广ji-----1-----1-----1-r-T—1

5.0，

_____•------1____1----L----L----1----A----1____L----L____1

4.911111111111

4.A11111111111

!-----1-----U----▲----U----U--------4----4----U----1----U

11111111111

⑵根据（1）的判断结果及表中数据，建立了关于X的回归方程（系数精确到0.01）；

（3）根据（2）得出的回归方程,预测1~12月月累计营业收入利淮率（％）的值为多少?

参考公式：对于一组数据（〃/J、（“2,均）、…、（〃“，乙），其回归直线〃=。+方〃的斜率席截距的最小

二乘估计分别为P=『--------;—a=v-pu-

1=1

参考数据:

10c£—)

以西-工）可2(叱-w)(y.y)

Xy卬

1=11=11=11-1

5.505.662.2582.504.528.142.07

_I10

表中叱=嘉，叩=62吗，41^3.32.

1Ug]

16.（2024•河北邢台市•邢台一中高三月考）近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落

实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效.某贫困县为了

响应国家精准扶贫的号召，建了一些蔬菜大棚供村民承包管，已知土地的使用面积以及相应的管时间的关

系如卜表所示：

土地使用面积（单位：

12345

亩）

管时间（单位：月）810132024

并调查了某村300名村民参与管的意愿，得到的部分数据如下表所示:

愿参与管不愿参与管

男性村民15050

女性村民50

（1）求出相关系数「（保留三位小数）的大小，并判断管时间y与工地使用面积x是否有较强的相关关系？若

有，求出线性回归方程3=+

（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管的意愿有关？

ZG-可(凹-?).za一可()'厂刃-再

参考公式：r~I；'.----b=——n；=个，ci=y-bxi

、忙(无-可出加-y)2七m汽X”疗

V/=1曰*1->扫|

2n(ad-bc)2

K=-------------------------，n=a-\-b-\-c-\-d

(a+c)(b+d)(a+b)(c+d'\

K』°0.0100.0050.001

k。6.6357.87910.828

参考数据：VH5^10.7

17.（2024•山东济南市•高三开学考试）2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次

提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出，国家推行生活

垃圾分类制度.为了了解人民群众时垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知

识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人（其中450人为

女性）的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：

得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男性人数15901301001256030

女性人数1060701501004020

（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（〃210）,〃近似为这1000人得分的

平均侑（同一组数据用该组区间的中点侑作为代表），请利用正态分布的知识求P（50.5<Z<94）：

(2)把市民分为对垃圾分类“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解(低于60分的)两类，请完成如下

2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关？

不太了解比较了解合计

男性

女性

合计

(3)从得分不低于80分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取10名.再从这10人中随机抽取3人，求抽取

的3人中男性人数的分布列及数学期望.

参考数据：①5al4.5;②若XN.,吟,则P(〃一cr<X<〃+(7)=0.6827,

P(A2<y<X<^\2cr)=0.9545,P(〃3bvXi3b)=0.9973；

P(K2之无°)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

)n(ad-be}

K~=-----------------,n=a+b-^-c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.(2024•河南高三月考)某省为了迎接国家数学竞赛，特地在A，8两所学校分别用甲、乙两种方法培训

教学.为观测其成绩情况，分别在两个班级各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合评分，将每名学生

所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，其中，"7=2/记综合评分为80及以上的学生为优质学

生.

(1)求图中"?，9的值，并求综合评分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，〃两个班级随机抽取3名学生，求所抽取的学生中的优质

学生数的分布列和数学期望；

（3）填写卜.面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为优质学生与培训方法有关.

优质学生非优质学生合计

甲培训法40

乙培训法

合计

附:

尸（守之3）0.150.1()0.050.025().0100.005().001

女o2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式：Ar2=------桢)-----.,其中〃=a+b+c+d.)

(a+/?)(c+d)(Q+c)(b+d)

20.（2024-全国高三专题练习）某企业销伐部门为了解员工的销售能力，按性别利用分层抽样的方法从该

部门现有员工中（其中男生占比为45%）随机抽取〃名进行问卷调查，并将得分分为1,2,3,4,5五个档次，

各档次中参与问卷调查的员工人数如条形图所示.已知第5档的员工人数占总人数的

（1）若将某员工得分所在的档次作为该员工销售的能力基数/（记能力基数题=5为能力基数高，其他均为

能力基数不高），在能力基数为5的员工中，女生与男生的比例为7:3,以抽取的〃名员工为研究对象，完

成下面的2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为能力基数高低与性别有关；

男生女生合计

能力基数高

能力基数不高

合计

（2）为提高员工认知并调动员工自主学习的积极性，部门组织员工参加各种形式的培训讲座.已知每位员工

的销售能力指数y、能力基数/以及参加培训的次数Z满足函数关系式），=%+（1+垢）l+e"），如果员

工甲的能力基数为4,员工乙的能力基数为2,则在甲不参加培训的情况下，乙至少参加多少次培训，其销

售能力指数超过甲？

参考数据及参考公式一匹L期，心面而左而1而

P(Kt玲)0.150.100.050.01

*02.0722.7063.8416.635

21.（2024•全国高三专题练习）近年来我国甩子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2016年双11期间，某购

物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现

从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,

其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.

（1）完成下面2x2列联表，并通过计算说明是否可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服

务好评有关？

对商品好评对商品非好评合计

对服务好评

对服务非好评

合计

参考数据及公式如下:

P(KLA)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

/,，n(ad-bc)~_.,,、

(匕=-------------------------,其中n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量

X：

①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；

②求X的数