第二章-211-离散型随机变量

2.1.1离散型随机变量

【明H标、知重点】1.理解随机变量及离散型随机变量的含义2了解随机变量与函数的区别与联系.

填要点•记疑点

1.随机试验

一般地，一个试验如果满足以下条件：

(1)试验可以在相同的情形下重复进行；

⑵试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；

⑶每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试脸之前却不能肯定这次试验的结果会出现

哪一个.

这种试验就是一个随机试验.

2.随机变量

在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的蚯表示，数字随试验结

果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.

3.离散型随机变量

所有取值可以二^!出的随机变量，称为离散型随机变量.

探要点•究所然

［情境导学］

在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件.

(1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？

⑵如何比拟两个选手的射击情况？

。)如何选择优秀运发动代表国'亥参加奥运会才能使得获胜的概率大？这些问题的解决需要离散型随机

变量的知识.

探究点一随机变量的概念

思考1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字12345,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用

数字来表示呢？

答掷一枚硬币，可能出现正面向上、正面向下两种结果，我们可以分别用1和0表示，这样就可以用

数字来表示试验结果，数字随试验结果的变化而变化，这就是随机变量.

思考2随机变量和函数有类似的地方吗？

答随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数，两种

映射间试验结果相当于函数的自变显，随机变量相当于函数的函数值，随机变最可以看作函数概念的推

广.

例1以下变最中，哪些是随机变最，哪些不是随机变量？并说明理由.

(1)上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量；

(2)2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；

(3)2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；

⑷体积为1000cn?的球的半径长.

解(1)候机室中的旅客数量可能是：0,1,2,…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量.

(2)D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故

是随机变量.

⑶在《拉呱》节目播放的时刻，收看人数的变化是随机的，可能多，也可能少，因此是随机变量.

(4)体积为1OOOcn?的球半径长为定值，故不是随机变量.

反思与感悟随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量

的取值实质上是试脸结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值.

跟踪训练1指出以下变量中，那些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.

(1)某人射击一次命中的环数；

⑵任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数：

⑶投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；

(4)某个人的属相.

解（1）某人射击一次,可能命中的环数是。环・1环•…・10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随

机的，因此是随机变量.

⑵任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的

次数可能是0,12345,而且出现哪种结果都是随机的，是随机变量.

⑶一颗骰子投掷两次，所得点教的最小值可以是123,4,5,6,因此是随机变量.

（4）属相是人出生时便确定的，不是随机变量.

探究点二离散型随机变最的概念

思考1阅读教材45页上半页，答复什么是禽散型随机变量？

答所有取值都可以一一列出的随机变量叫离散型随机变量.

思考2电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？为什么？

答不是，因为电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以

X不是离散型随机变量.

思考3你能构造一种对应关系，使思考2中关于电灯泡的寿命的变量对应着一个离散型随机变量吗？

答如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000小时，那么就可以定义如卜•的随机变量：

0,寿命vl000小时；

Y="

1.寿命N1000小时.

与电灯泡的寿命x相比拟，随机变量丫的构造更简单，它只取两个不同的值。和1,是一个离散型随机

变量，研究起来更加容易.

仞2①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为s②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次

数为慈③一天内的温度为蕊④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得。分，用〈表示

该射手在一次射击中的得分.上述问题中的4是离散型随机变量的是（）

A.®®©®B.①②④

C.®@@D.②③④

答案B

解析③中一天内的温度不能把其取值一一列出，是连续型随机变量，而非离散型随机变量.

反思与感悟该题主要考查离微型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能——列出.

跟踪训练2指出以下随机变曷是否是离散型随机变曷，并说明理由.

(1)白炽灯的寿命包

⑵某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差。；

⑶江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29］这一范围内变化，该水位站所测水位J；

(4)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数.

解(1)白炽灯的寿命j的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以S不是离散型随机

变量.

⑵实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.

⑶不是离散型随机变量.因为水位在(0,29］这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.

(4)是离散型随机变量.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：

3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型

障机变量的定义.

探究点三离散型随机变量的应用

例3(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为123,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的

最大号码数E.写出随机变量4可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.

⑵抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为却试问：">4"

表示的试验结果是什么？

解(1片可取3,4,5.

E=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3；

4=4,表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；

。=5,表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.

⑵因为一枚骰子的点数可以是1,2,345,6六种结果之一，

由得一5W中5,也就是说“今4"就是*=5”.

所以，“64”表示第一枚为6点，第二枚为1点.

反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值.以及其取每一个值时对应的意

义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试脸的结果，解答过程中不要漏掉某些试脸结果.

跟踪训练3以卜.随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？假设能，请写出各随机变量叶能的取信

并说明这些值所表示的随机试验的结果.

（1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数酊所含红粉笔的支

数〃.

⑵从4张已编有1〜4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和。

⑶离开天安门的距离小

解（1片可取1,2,3.

｛<=，｝表示取出i支白粉笔，3—i支红粉笔，其中i=l,2,3.

可可取0,1,2.

｛//=”表示取出，支红粉笔，3—，支白粉笔，其中i=0,l,2.

（2片可取3,4,5,6,7.其中,

｛《=3｝表示取出分别标有1,2的两张卡片；

｛〈=4｝表示取出分别标有1,3的两张卡片；

仁=5）表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；

｛〈=6｝表示取出分别标有2,4的两张卡片;

k=7）表示取出分别标有3.4的两张卡片.

（3）〃可取［0,+8）中的数.〃=±表示离开天安门的距离为做km）.不是离散型随机变量•.

当堂测•查疑缺

1.抛掷质地均匀的硬币一次，以下能称为随机变品的是（）

A.出现正面的次数

B.出现正面或反面的次数

C.掷硬币的次数

D.出现正、反面次数之和

答案A

解析挪一枚硬币,可能出现的结果是正面向11或反面向L,以一个标准如正面向匕次数来描述一随机

试验，那么正面向上的次数就是随机变量3。的取值是0,1,应选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币

次数是1,不是随机变量，D中对应的事件是必然事件.应选A.

2.1（）件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（）

A.取到产品的件数

B.取到正品的概率

C.取到次品的件数

D.取到次品的概率

答案C

解析对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可

能是0,1,2,是随机变量.

3.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为第那么“^=4”表示的随机试验的结果是（）

A.2枚都是4点

B.1枚是1点，另1枚是3点

C.2枚都是2点

D.1枚是1点，另I枚是3点，或者2枚都是2点

答案D

解析抛掷2枚骰子，其中I枚是x点，另1枚是），点，其中x,），=1,2,6.

x=I,x=2,

而4=x+y,<f=4）或彳八

b，=3y=2.

4.写出以下随机变量j可能取的值，并说明随机变量4=4所表示的随机试验的结果.

⑴从10张已编号的卡片（编号从1号到10号）中任取2张（一次性取出），被取出的卡片的较大编号为

⑵某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为《

解（1片的所有可能取值为2,3,4,…，10.其中"=4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号

码为4”.根本领件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为I和4,2和4,3和4.

（2片的所有可能取值为0,123,45其中“。=4”表示的试验结昊为“5次点球射进4个球

［呈重点、现规律］

1.所谓的随机变量就是试脸结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试脸的结果数量化，变量

的取值对应于随机试验的某一个随机事件.

2.写随机变量表示的结果，要看三个特征：（1）可用数来表示；（2）试脸之前可以判断其可能出现的所有

值；（3）在试脸之前不能确定取值.

40分钟课时作业

一、根底过关

I.袋中有2个黑球6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（）

A.取到的球的个数

B.取到红球的个数

C.至少取到一个红球

D.至少取到一个红球的概率

答案B

2.①某亭内的一部1小时内使用的次数记为Y：

②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；

③测量一批电阻，在950c〜1200c之间的阻值记为X：

④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.

其中是离散型随机变量的是（）

A.①（§）B.①③

C.®®D.①②④

答案A

3.一个袋子中有质量相等的红，黄，绿，白四种小球各假设干个，一次倒出三个小球，以下变量是离

散型随机变量的是（）

A.小球滚出的最大距离

B.倒出小球所需的时间

C.倒出的三个小球的质量之和

D.倒出的三个小球的颜色的种数

答案D

4.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为酊那么k=5”表示

的试验结果是（）

A.第5次击中目标

B.第5次未击中目标

C.前4次均未击中目标

D.第4次击中目标

答案C

解析J=5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就

不一定，因为他只有5发子弹.

5.袋中装有大小相同的5个球.分别标有123,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两

个球，设两个球号码之和为随机变量＜5那么。所有可能取值的个数是.

答案9

解析两个球号码之和可能为2,3,4,5,678,9,10,共9个.

6.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,34567,8,现从中随机取出3个篮球，以。表示取

出的篮球的最大号码，那么6=8表示的试验结果有种.

答案21

解析。=8表示3个篮球中一个编号是8,另外两个从剩余7个号中选2个，有C彳种方法，即21种.

7.某篮球运发动在罚球时，罚中1球得2分，罚不中得。分，那么该队员在5次罚球中命中的次数4

是一个随机变量.

⑴写出/的所有取值及每一个取值所表示的结果.

⑵假设记该队员在5次罚球后的得分为力写出所有〃的取值及每一个取值所表示的结果.

解（1）。可取0.123,4,5.表示在5次罚球中分别罚中0次，I次，2次，3次，4次，5次.

（2）〃可取0.2.4.6.8.10.表示5次罚球后分别得0分，2分.4分，6分，8分.10分.

二、能力提升

1,xe（o,+8）,

8.设实数x£R,记随机变量x=（），那么不等式;21的解集所对应的的值为（）

-1,九£（一8,0）.

A.1B.0

C.-1D.I或0

答案A

解析解:21得其解集为30<rWl},••4=1.

9.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字12345,现从中任意抽取2个，设两个球

上的数字之积为X,那么X所有可能值的个数是（）

A.6B.7

C.10D.25

答案C

解析X的所有可能值有1X2,1X3JX4,1X52X3,2X4,2X5,3X4,3X5,4义5,共计10个.

10.一用户在打时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最

后3个数（两两不同），设他拨到正确号码的次数为X,随机变量X的可能值有个.

答案24

解析后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有Aj=24（个）.

11.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，4表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，

写出。所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果.

解。=0,12345石=2（女=0,123,4）表示在遇到第攵+1盏信号灯时首次停下.岑=5