第5单元 圆-2024-2025学年六年级上册数学人教版

圆

（思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析）

HR.思维导图.

同一个国中,

d=lr,心：囱的周长

©在同一个国中，所有的半径

都相等，所有百径都相等

国心决定囱的位置国的面枳

要素

半径决定国的大小

国是轴对称图形，

直径所在的直线是

国的对称轴

国有尢数条对祢轴

画圆的方法：

①根据半径确定图规两脚之间的距离

②尼带有针尖的角固定在一点上

①把装有怡第的脚旋转一周，就画出了囱

乙43是圆心角

囱心角目超的两个条件：

①顶点是国心

国的周长除以百径的商②角的两条边是圆的半径

用迷示，通常取314,有时也取3

।小•考点梳理•

【圆的认识与圆周率】

1.圆的认识：圆是一种几何图形.当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点

的轨迹叫做圆.

2.圆周率：圆周率符号一般以n来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数.它定义为圆形之

周长与直径之比.它也等于圆形之面积与半径平方之比.

【圆及其性质】

1、圆的概念：

(1)、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母0

表示。它到圆上任意一点的距离都相等。

(2)、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间

的距离就是圆的半径。

(3)、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线

段，直径的长度是半径的2倍。

2、圆的性质：

(I)、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。同圆中所有的半径、直径都相等。

(2).在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。

(3)、圆心确定圆的位置.，半径确定圆的大小。如果已知的是直径，我们要把宜径除以2换成半径，确定

圆心，然后才开始画圆。要比较两个圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

(4)、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是釉对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴，

【圆、圆环的面积】

1、圆的面积公式：S=nr2

2、圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S=nr22-nrl2=n(r22-rl2)

【圆、圆环的周长】

1、圆的周长=兀d=2兀r,

2、半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长=)rr+2r.

3、圆环的周长等于两个圆的周长，即：圆环的周长=Jidl+nd2=2nrl+2Jir2.

【扇形的面积】

扇形面枳可以用扇形所在圆的面枳除以360再乘以扇形圆心角的角度n,BP：S=筌.

【扇形的认识】

1、一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形

2、扇形弧长计算公式，1是弧长，n是扇形圆心角，冗是圆周率，R是扇形半径。

弧长=圆心角度数/360°X2X圆周率X半径

口卡•典例分析•

【典例1】已知一个圆形苗圃和一块正方形菜地的周长相等，正方形菜地的边长是157〃?，圆形苗圃的半径

是多少米？

/^苗《1的周惘TT•釜宽hn的环认、入强

y、路，小路的面枳是多少平方米？

【答案】100米;631.14平方米,

【思路分析】先根据正方形的周长=边长X4,求出圆的周长，再根据圆的周长=nX半径X2,求出半径

即可。

【解答】解：157X4=628（米）

6284-3.144-2

=2004-2

=100（米）

100+1=101（米）

3.14X101X101-3.14X100X100

=32031.14-31400

=631.14（平方米）

答：圆形苗圃的半径是100米；小路的面积是631.14平方米。

【名师点评】熟练掌握正方形和圆的周氏公式，是解答此题的关键。

【典例2】如图所示，这一张长方形的纸片上刚好剪两个最大的圆，已知一个圆的周长是12.56°〃?.

（1）两个圆的面积共多少？

（2）长方形的面积与两个圆的面枳的比是多少？

（3）剪下两个圆后，剩下的面积是多少？

【思路分析】牛能吃到草的面积,就是以5米为半径的圆的面积，由此利用圆的面积公式S=n/即可解答.

【解答】解：3.14X52

=3.14X25

=78.5（平方米）；

答：牛所能吃到草的最大面积是78.5平方米.

【名师点评】本题主要是利用圆的面积公式5=口”解决生活中的实际问题.

【典例4］学校举行文艺会演，京来有一个半圆形舞台，半径牯4〃?，现在因演出需要，在舞台周围加宽

\m.现在的舞台面积比原来的舞台面积大多少平方米？

【答案】见试题解答内容

【思路分析】舞台增加的部分是一个圆环面积的一半，已知内圆的半径是4米，环宽是1米，那么外圆的

半径是4+1=5米，分别求出外圆和内圆一半的面积，再根据圆环的面积S=外圆的面积-内圆的面积，就

可以算出增加部分的面积，据此即可解答.

【解答】解:

3.l4X424-2

=3.14X164-2

=50.24+2

=25.12（平方米）

3.I4X（4+1）24-2

=3.I4X|24-2

=314X254-2

=78.54-2

=39.25（平方米）

39.25-25.12=14.13（平方米）

答：现在的舞台面积比原来的舞台面积大14.13平方米.

【名师点评】本题的关键是熟练应运圆环的面积S=外圆的面积-内圆的面积，需要注意增加部分的面积

是圆环面积的一半.

【典例5】学校有两块卫生区需要打扫，一块是花坛周围的小踣（图一），一块是体育场（图二）.哪块卫

【思路分析】花坛周围的小路的面积=半径为20米圆的面积-边长为10X2米的正方形面积，体育场的

面积=半径为20+2=10米圆的面积+长为60米宽为20米的长方形面积，根据圆的面积公式S=n，，正

方形的面积公式S=/,长方形的面积公式S=M,代入数据计算，再比较大小即可求解.

【解答】解：图一：10X2=20（米）

3.14X202-20X20

=1256-400

=856（平方米）

图二:204-2=10（米）

3.14X102+60X20

=314+1200

=1514（平方米）

因为856平方米V1514平方米，

所以图二卫生区的面积大一些.

答：图二卫生区的面积大一些.

【名师点评】考查了圆的面枳，正方形的面枳，长方形的面枳的计算运用.

口卡•高频考题•

1.一座体育馆的围墙是圆形的。小强沿着围墙走一圈，一共走了628步。已知小强的平均步长是0.6米,

这座体育馆的占地面积大约是多少平方米？

2.公园里有一个圆形喷水池，底长是62.8米。它的面积是多少？

3.公园里有一个半径是的圆形人工湖，现要在这个人工湖的周围修一条宽为的环形小路，这条

小路的面积是多少平方米？

4.星星公园草坪上安装了一个自动旋转喷灌装置，它的射程是6加，它能喷灌的面积是多少平方米?

5.在一个半径为4〃?的圆形水池周围修一条宽1〃?的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？

6.一个储油罐圆形底面的周长是25.12米，它的占地面积是多少平方米？

7.把一块边长为2米的正方形花布剪成一块最大的圆形桌布，这块圆形桌布的面积是多少平方米？

8.一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要几分钟？(车

身的长度忽略不计)

9.上海南站是世界上第一个圆形火车站其圆形顶棚是建筑设计施工中的最大亮点，圆顶直径约有2()0〃],

圆顶的面积约是多少平方米？

10.公园里有一个直径为20米的圆形花坛，在它的周围铺设2米宽的水泥路，求这条水泥路的面积.

11.一个圆形杯垫的直径是8厘米，这个杯垫的面积是多少平方厘米？

12.在一个直径是2米的圆形水池四周，修一条宽1米的石子路，这条石子路的面积是多少？

13.一个花坛，直径6米，在它周围有一条宽1米的环形鹅卵石小路，小路的面积是多少平方米？

14.一个圆形旱冰场直径40米，扩建后半径增加5米，扩建后旱冰场的面积增加了多少平方米？

15.一只挂钟的分针长20cm,经过30分钟后，分针的尖端所走的路程是多少厘米？经过45分钟呢？

16.一个圆形游乐场原来的周长是62.8〃?，扩建后半径增加了1加。面积增加了多少平方米？

17.一个圆形花坛的周长是62.8米，若把它的直径增加2米，面积会增加多少平方米?

18.有一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在这张纸上剪下一个最大的圆。这个圆的面积是多少平方

厘米？

19.一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要几分钟？

T督

20.一个环形，外圆直径20厘米，内圆宜径12厘米，这个环形的面积是多少？

21.一个圆形花坛，半径10米，在它周围有一条宽2米的鹅卵石小路，小路的面积是多少平方米？

22.小强用一根10米长的绳子绕一棵树的树干3圈后，还剩下58厘米.这棵树树干横截面的面积是多少

平方米？

23.画一个半径是2厘米的圆，并用字母。、八d分别标出它的圆心、半径和直径，再求它的周长和面积。

24.一辆汽车车轮的外直径是0.75米。如I果汽车行驶时车轮每分钟转400圈，这辆汽车每分钟大约行驶多

少米？

25.一个圆形池塘的直径是30米。在它的一周每隔1.57米栽一棵杜鹃花，一共要栽多少棵？

26.一列火车的机车主动轮的直径是1.5米。火车运行时，主力轮平均每分钟转300周。这列火车每小时

大约行驶多少千米？

27.一辆共享单车的车轮的外直径为70(7〃，如果车轮每分钟转动100周，这辆自行车2小时行多少米？

28.一辆自行车的车轮半径是40刖,车轮每分钟转100圈,要通过2512〃?的桥，大约需要几分钟？

29.王大爷是养鸭专业户，他在湖里川628加长的绳子围出一片圆形水域种水草，用作鸭饲料，围成的圆

形水域的面积有多少平方米？如果每平方米可收水草40伏，一共可收水草多少吨？

30.公路隧道最高处的高度一般要达到35〃才符合标准，一条半圆形隧道口的周长是17.99”，它的高度

是否达到标准？

口肌答案解析•

1.【答案】1304平方米。

【思路分析】首先用平均步长乘走的步数，求出这个圆的周长，再根据圆的面积公式：S=7T凡把数据

代入公式解答。

【解答】解：0.6X628=376.8(米)

3.14X(376.8^-3.14-r2)2

=3.14X602

=3.14X3600

=11304(平方米)

答：这座体育馆的占地面积大约是11304平方米。

【名师方评】此题主要考查圆的周长公、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

2.【答案】314平方米。

【思路分析】根据圆的周长公式：C=2nr,那么r=C+n+2,据此求出半径，再根据圆的面积公式S

=巾2,把数据代入公式解答。

【解答】解：3.14X(62.84-3.144-2)2

=3.14X100

=314(平方米)

答：它的面积是314平方米。

【名师点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

3【答案】138.16平方米。

【思路分析】求小路的面积，实际上就是求圆环的面积，即用外圆的面积减内圆的面积即可；内圆的直

径和外圆与内圆半径之差(即小路的宽)已知，即可分别求出内外圆的面积，问题得解。

【解答】解：小路的面积:3.14X(2+10)2-3.14X1()2

=3.14X(122-1002)

=3.14X(144-100)

=3.14X44

=138.16(平方米)

答：小路的面积是138.16平方米。

【名师点评】解答此题的关键是明白：求小路的面积，实际上就是求圆环的面积，即用外圆的面积减内

圆的面积即可。

4.【答案】见试题解答内容

【思路分析】喷灌面积就是这个半径为6米的圆的面积，由此利用圆的面积公式：S=R2即可解答.

【解答】解：3.14X6?

=3.14X36

=113.04（平方米）

答：它能喷灌的面积是113.04平方米.

【名师点评】此题考查了利用圆的面积公式解决实际问题的灵活应用.

5.【答案】28.26平方米。

【思路分析】根据题意可知，这条小路的面积是圆环的面积，根据环形面积公式：S=TT（产-r2）,把

数据代入公式解答。

【解答】解：4+1=5（米）

3.14X（52-42）

=3.14X（25-16）

=3.14X9

=28.26（平方米）

答：这条小路的面积是28.26平方米。

【名师点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式.

6.【答案】50.24平方米。

【思路分析】根据圆的周长公式C=2nr先求出花坛的半径；要求这个花坛的面积，即圆的面积，根据

求解，据此解答。

【解答】解：根据题意，利用圆的周长和面积公式解答如下：

圆形储油罐的半径：

25.124-3.144-2

=8+2

=4（米）

占地面积：

3.I4X42

=3.14X16

=50.24（平方米）

答：这个花坛的面积是50.24平方米。

【名师点评】本题是一道关于圆方面的题目，可依据圆的周长与面积计算方法求解。

7.【答案】见试题解答内容

【思路分析】根据题意可知，正方形的边长为最大圆的直径，然后再用圆的直径除以2计算出最大圆的

半径，最后再根据圆的面积公式进行计算即可得到答案.

【解答】解：3.I4X（2）2=3.14（平方米），

答：这块圆形桌布的面积是3.14平方米.

【名师点评】解答此题的关键是确定最大圆的直径和半径，然后再利用圆的面积公式进行计算即可.

8.【答案】见试题解答内容

【思路分析】根据题干：一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，可根据圆的周长公

式计算出车轮转动一圈的距离，再乘以100圈，即可得出每分钟车轮转动的路程，即车轮转动的速度,

再根据：路程=速度X时间，列式解决即可.

【解答】解：2X3.14X40=251.2（厘米）；

25I.2X100=25120（厘米）；

25120厘米=251.2米；

25124-251.2=10（分钟）；

答：要通过2512米的大桥，大约需要10分钟.

【名师，点:评】此题属于较复杂的圆周长计的算，主要考查的是圆周长在实际中的应用.

9.【答案】见试题解答内容

【思路分析】由题意可知，求圆的面积，根据圆的面积公式：S=nJ,代入数据即可求解•.

【解答】解：3.14X（2004-2）2

=3.14X10000

=31400（平方米）

答：圆顶的面积约是31400平方米.

【名师点评】此题主要考杳圆的面积的计算方法在实际生活+•的应用.

10.【答案】见试题解答内容

【思路分析】求小路的面积，加环形的面积，由题意知：小圆的半径为：20+2=10米，大圆的半径为：

10+2=12米：根据“环形的面积=大圆面积-小圆面积=nR2-n/，，解答即可.

【解答】解：3.14X（20+2+2）2-3.14X1（）2,

=3.14X144-3.14X100,

=452.16-314,

=138.16（平方米）;

答：求这条水泥路的面积138.16平方米.

【名师点评】解答此题的关键是先要求出大圆的半在和小圆的半径，进而根据环形的面积计算方法解答.

II.【答案】50.24平方厘米。

【思路分析】根据圆的面积公式：S=m2,把数据代入公式解答。

【解答】解：3.I4X（84-2）2

=3.14X16

=50.24（平方厘米）

答：这个杯垫的面积是50.24平方厘米。

【名师点评】此题主要考杳圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

12.【答案】见试题解答内容

【思路分析】这条小路的面积是圆环的面积，等于外圆面积减去内圆面积，已知内圆直径，可求面积,

内圆半径加路宽为外圆半径，可求外圆面枳，进而求出圆环面积.

【解答】解：内圆面积：

3.I4X（24-2）2,

=3.14X1,

=3.14（平方米）；

外圆面积：

3.I4X（24-2+1）2,

=3.14X4,

=12.56（平方米）;

这条路的面积；

12.56-3.14=9.42（平方米）；

答：这条石子路的面积是9.42平方米.

【名师点评】此题主要考查环形面积公式的实际应用.

13.【答案】见试题解答内容

【思路分析】由题干可知：此题是求圆环的面积，花坛就是利环的小圆，利用S坏=ir（网・7），即可

解决问题.

【解答】解：根据题意可得：

r=64-2=3（米）

R=3+l=4（米）

S环=n（/?2-r2）

=3.14X（42-32）

=3.14X（16-9）

=3.14X7

=21.98（平方米）

答：小路的面积是21.98平方米.

【名师点评】此题考查了圆环的面积公式的灵活应用.

14.【答案】见试题解答内容

【思路分析】根据题意可知：扩建后增加部分的面积是一个环形，根据环形面积=外圆面积-内圆面积，

再根据圆的面积公式：S=nR把数据代入公式解答.

【解答】解：404-2=20（米）,

3.14X[（20+5）2-202]

=3.14X（625-400]

=3.14X225

=706.51平方米），

答：扩建后旱冰场的面积增加了706.5平方米.

【名师点评】此题主要考行环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式.

15.【答案】见试题解答内容

301

【思路分析】经过30分钟，分针的尖端所走路程是半径为2。厘米的圆周长的（言）：;，经过45分钟，

602

4531

分针的尖端所走路程是半径为20厘米的圆周长的（言）根据半径求出圆的周长，然后再分别乘：;、

6042

3

一即可.

4

【解答】解：30+60=]

3

45+60=本

3.14X(20X2)xi,

1

=3.14X40x1,

=62.8（厘米）;

3

3.14XT

3

=3J4X40x^,

=94.2（厘米）；

答：经过30分钟后，这根分针的尖端所走的路程是62.8厘米；经过45分钟后，这根分针的尖端所走

的路程是94.2厘米.

13

【名师点评】此题首先要明白：分针经过30和45分钟后，所形成的轨迹是一个］和［圆，这个圆的半

13

径是20厘米.进而求其周长的二和二.

24

16.【答案】65.94平方米。

【思路分析】根据题意可知，增加部分的面积在环形面积，根据环形面积公式：S=TT（/?2-r）,把数

据代入公式解答。

【解答】解：62.8+3.14+2=10（米）

10+1=11（米）

3.14X（II2-102）

=3.14X（121-100）

=3.14X21

=65.94（平方米）

答：面积增加65.94平方米。

【名师点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是求出内圆半径、外圆半径。

17.【答案】见试题解答内容

【思路分析】如图所示，阴影部分即为增加的面积，求加宽后的面积，实际上是求圆环的面积，为此,

需要先求出小圆的半径，进而可以求出大圆的半径，再根据圆环的面积公式S=nX即可求

解.

【解答】解:62.84-3.144-2=10（米）

24-2=1（米）

10+1=11（米）

3.14X（112-102）

=3.14X21

=65.94（平方米）

答：面积会增加65.94平方米.

【名师点评】此题主要考查圆环的面积的计算方法5=irX（R2-J）的灵活应用.

18.【答案】314平方厘米。

【思路分析】根据题意可知，在这张长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根

据圆的面积公式：把数据代入公式解答。

【解答】解:3.14X（204-2）2

=3.14X100

=314（平方厘米）

答：这个圆的面积是314平方厘米。

【名师，点:评】此题主要考查圆的面枳公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是明确：在这张长方形纸

上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。

19.【答案】见试题解答内容

【思路分析】根据题干：一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，可根据圆的周长公

式计算出车轮转动一圈的距离，再乘以100圈，即可得出每分钟车轮转动的路程，即车轮转动的速度,

再根据：路程=速度X时间，列式解决即可.

【解答】解：2X3.14X40=251.2（厘米）；

251.2X100=25120（厘米）；

25120厘米=251.2米；

25124-251.2=10（分钟）；

答：要通过2512米的大桥，大约需要10分钟.

【名师点评】此题属于较复杂的圆周长计的算，主要考查的是圆周长在实际中的应用.

20.【答案】见试题解答内容

【思路分析】圆环的面积=n（N-J）,根据题干得出外圆与内圆的半径，代入数据即可解答.

【解答】解：12+2=6（厘米）

204-2=10（厘米）

3.14X（102-62）

=3.14X（100-36）

=3.14X64

=200.96（平方厘米）

答：这个圆环的面积是200.96平方厘米.

【名师点评】此题考查了圆环的面积公式的应用.

21.【答案】见试题解答内容

【思路分析】此题就是求大圆半•径为10+2=12米，小圆半径为10米的圆环的面积，利用圆环的面枳=

K（巾-尸），即可解答.

【解答】解：3.14X[（10+2）2-102]

=3.14X（144-100）

=3.14X44

=138.16（平方米）

答：这条鹅卵石路的面积是138.16平方米.

【名师，点:评】此题考查了圆环的面积公式的灵活应用，这里关键是把实际问题转化成数学问题中，并找

到对应的数量关系.

22.【答案】见试题解答内容

【思路分析】根据题意，可用10米减去58厘米计算出树干3圈的长度，然后再除以3计算出一圈的长

度，然后再利用圆的周长公式C=2TU■确定树干的半径，最后在利用圆的面积公式S=m2进行计算即可.

【解答】解:58厘米=0.58米

（10-0.58）4-34-3.144-2

=9.42+3+3.14+2

=3.144-3.144-2

=0.5（米）

3.14X0.52=0.785（平方米）

答：这棵树干的横截面的面积是0.785平方米.

【名师点评】此题主要考查的是圆的周长公式和圆的面积公式的灵活应用.

r=2厘米

IdO\

23.［答案］、--------）

周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。

【思路分析】以任意一点。为圆心，以2厘米为半径，即可画出这个圆，进而在图上标出圆心。、半

径/•和直径小利用S="和C=2nr即可求出这个圆的周长和面积。

【解答】解：以。为圆心，以2厘米为半径，画圆如图所示：

圆的周长为：3.14X2X2=12.56（厘米）

面积为:3.14X22

=3.14X4

=12.56（平方厘米）

答：这个圆的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。

【名师点评】此题考查了圆的画法即周长和面积公式的应用，

24.【答案】942米。

【思路分析】根据圆的周长公式：C=W，，把数据代入公式求出车轮的周长，然后用车轮的周长乘每分

钟转的圈数即可。

【解答】解:3.14X0.75X400

=2.355X400

=942（米）

答：这辆汽车每分钟大约行驶942米。

【名师点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。

25.【答案】60棵。

【思路分析】根据圆的周长=71义直径进行计算，即可求出圆形池塘的周长：用圆形池塘的周长除以相

邻的两棵花之间的距离，即可求出一共要栽的棵数。

【解答】解：圆形池塘的周长：

3.14X30=94.2（米）

栽树棵数：

94.24-1.57=60（棵）

答：一共要栽60棵。

【名师点评】此题考查的是植树问题，确定圆形池塘的周长是解答此题的关键。

26.【答案】84.78千米。

【思路分析】首先根据圆的周长公式：C=m/,求出主动轮转动一周所行的米数，即主