考研数学二（解答题）模拟试卷63

考研数学二（解答题）模拟试卷63

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

w=lim7n(Jn-I).

1、求数列极限L9

lim；G=I=>Jn-I=e~lnfl-I~--Inn

标准答案：由“r«(n-8).用等价无穷小因子

w=lim/n•—Inn=lim—Inn.J_i2_2ln,

替换得…”…而引入函数f[x)=?-?(x>0),则

8

00J

w=iim/(yn)=lim/(r)二>丁？"m=0.

htbi-*4or/必达法妁¥一.*X

知识点解析：暂无解析

2、确定常数a和b,使得函数f(X)=L9arctanx+26(x・1)3,'才°处处可导.

标准答案：由f(x)在x=0处可导，得f(x)在x=0处连续.由表达式知，f(x)在x=0

liraf(x)=lim(sinx+2aaM)

右连续.于是，f(x)在x=0连续I»・=2a=f(0)=>2a=-

2b♦即a+b=O.又f(x)在x=0可导v=>『+(0)=f-(0).在a+b=O条件下，f(x)可改写

3

y(z)=f9arctanx♦26(x-I),x0,

成»>nx♦2aex,"&0,于是「+(0)=[9arctanx+2b(x—Ix=0=

[^r♦66(x-1尸]|

L,+xJx

、・o=9+6b,f-(0)=(sinx+2ae：rIx=o=l+2a.因此f(x)在x=0

a+6=0,1a=1,

{o{

9m+2a♦故仅当a=l,b=—1时f(x)处处可导.

知识点解析：暂无解析

arctanj-0应+1

3、当x>0时，证明：山(1+才)-2

1

'：7[xl

标准答案：令f(x尸arctanx,F(x)=ln(l+x),r(x)=l+/,F'(x)=显然f(0)=0,

F(0)=0.由柯西中值定理，存在肥(0,x),使得令当xE时，f(x)>0；当x€时，

r(x)V0,则x二为(p(x)在(0,+8)内的最大值点，最大值为所以

知识点解析：暂无解析

4、设f(x,y)在单位「’W且在边界上取值为零，f(0,

0)=2004,试求极限

标准答案：2004

知识点解析：暂无解析

•123'

8=246

5、已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵L6k

(k为常数)，且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.

标准答案：⑴如果k#9,贝I」秩r(B)=2.由AB=0知r(A)+r(B)03.因此，秩

T

r(A)=l,所以Ax=0的通解是ti(l,2,3)+t2(3,6,k)\其中5t2为任意实

数.(2)如果k=9,则秩r(B)=l,那么,秩r(A)=l或2.若r(A)=2,则Ax=0的通

解是t(l,2,3产，其中t为任意实数.若r(A)=l,对ax]+bx2+cx3=0,设c,0,则

TT

方程组的通解是U(c,0,-a)+t2(0,c,-b).

知识点解析：暂无解析

*1♦*2♦方=0

X|♦X]-X)c0

6、求与.打.叼=0的基础解系。

1100r11OOI

11-100-*00一]0-1

标准答案：1-001!」

1Loo0I0由n・r(A)=5-3=2,取X2，X5为

自由变量，得中=(-1，1,0,0,0)T,r)2=(-l，0,-L0,1)T.

知识点解析：暂无解析

7、设函数f(y)的反因数f%)及F[fi(x)]与r[fi(x)]都存在，且f[f

d?尸⑴：p[广上公]

]x)#0.证明：业2｛，>*工曲

标准答案：设x=f(y).则其反函数为y=flx),对x=f(y)两边关于x求导，得

1=八、)力妆样力=」所以也一「r(》)__r〔尸(力]

】一‘3dr.这样dr一五6'所以d?-L/(>)]2dr-[/(瓢一次力量加

知识点解析：暂无解析

8、设f(t)具有二阶导数‘仁")="求f(P(x)),(f(f(x))):

标准答案：号’二工，贝I」f(t)=4t2,即f(x尸4x2.r(x)=8x,由函数概念得

(x))=f(8x)=4x(8x)2=256x2,(RRx)))，=/(Kx))f(x)=8Rx).8x=32x2.8x=256x3.

知识点解析：暂无解析

9、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,2)<0.证

明:存在乐(a,b),使得fR尸f(1).

标准答案：不妨设f(a)>0,f(b)>0,12/<0,令(p(x尸e-'f(x),则(p，(x)=。-

X[f(x)-f(x)].因为(p(a)〉O,'(一^)<0,(p(b)>0,所以存在&式“'一厂)，如

(一使得(p(W)=(p&)=0,由罗尔定理,存在」(欧，女)U(a,b),使得

(p'6)=0,即因为e-~0,所以党).

知识点解析：暂无解析

10、设f(%)在[a,b]有连续的导数,求证：

1fbJ

华弋|/(x)dx+I|广⑴座.

[a,b]O-aJaJa

max

b

标准答案：可设(明外If(x)I=If(xo)I,即证(b-a)If(xo)I<IIaf(X)dzI+(b

bbb

—a)#If(x)Id%,即证IJaf(Z0)dxI-Uaf(x)dxI<(b-a)faIf(x)Id无.注意

j/(x0)dx|-|Jf(x)dxWiJ；/(x0)-/(x)]dx

=/[1/()出]袅W〃广|广(，)|市]〃=(b-a)Jj/*(x)\dx.

故得证."

知识点解析：暂无解析

11、设A为mx,2实矩阵，E为，n阶单位矩阵，矩阵8=在+人丁人，试证：当入

>0时，矩阵B为正定矩阵.

标准答案：BT=B,对任意n维非零列向量X,有九xTx>0,(AX)T(AX)X)，故对

X^OWXTBX=XT(XE+ATA)X=XXTX+(AX)T(AX)>O,因此，对称阵B正定.

知识点解析：暂无解析

————dz

[2、•“一工-4--/1-x4-72

J/I+1+—X+5/2

=je潦应号言+3磊-阴行冲

=-（隼2+[隼卫-0f-4=dr=G7-K7-^arcsinz+C

标准答案：J2。FJ2G72Jyp¥2

知识点解析：暂无解析

13、设恸在[0,1]二阶可导,If(0)I<a1If(l)I<a,If"(%)I<b,a,b为非负

V3

数，求证：c€(0,1),有If(c)I<2a+b.

标准答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：Vze[0,1],Vce(0,1),有

2

2

f(x)=f(c)+r(c)(x-c)+2r©(x-c),(*)其中自=c+e(/—c),o<e<i,在(*)

2

式中，令％=0，得f(0)=f(c)+?(c)(—c)+2f〃©«2,0<^i<c<l；在(*)式口，

2

令X=l,得f(l)=f(c)+f(c)(l—c)+2"&)(1—cFO<C<^2<1.上面两式相减

22

得f⑴一f(0)=P(c)+2/&)(i-c)2—f〃&)c2].从而F(c)=f(l)—f(0)+2[f〃

J_

(0月2-/化2)(1—C)2],两端取绝对值并放大即得IF(c)132a+2”(l—c)2+

c2]<2a+2b(l-c+c)=2a+2b.其中利用了对任何c£(0,1)有(l—c-q—c,

c2<c,于是(l—c/十Jgl.

知识点解析：暂无解析

COSX

lim〃、

14、设政)在％=0处二阶可导，又I=Ue/⑴-1=1.求f(0),f(0),f"(0).

COSX-1)'

lim〃.=limn1(0)

标准答案：用洛必达法则1=一。(5、)-1”一。/⑺广(％)=0

(否则该极限为0)

.1-sin%..-11i

=/二师四『=四丁⑺=7飞5=1

人得f"(0)=一

1.因此f(o)=o,r(o)=o,r(o)=-i.

知识点解析：暂无解析

15、设3阶矩阵A的特征值入1=1,入2=2,Q=3对应的特征向量依次为囚=(1,

1,1)T,a2=(l,2,4)T,(X3=(l,3,9)T.(I)将向量P=(l,1,3)T用囚，a2,

013线性表出；(口)求A、.

Zj+x2+%3=1,

X)+2X2+3X3=1,n

标准答案：(I)设%]Ct]十%2。2+％3口3=口，即I3+4盯‘9%-34=

2,X2=—2,%3=1故p=2a|—2a2+a3.(D)Ap=2Aai—2Act2+Aa3，WJAnp=

"2_2"7+3n-i

2-2n*2+3n+,,

nnnnn2

2Aaj-2Aa2+Aa3=2ai-2,2a2+3a3=-2"+3+3E

知识点解析：暂无解析

16、设z=（f+丁尸"求办'%

标准答案：

由％=（12+y）—（H*得z=e士

则欧=e"e，<x4,>ln<x：+j,：>|^2sec2(x+y)tan(z+y)ln(工？+/)-f-—^―sec2(x-Fy)J,

半=6-'2)心+/)psec?(J:+y)tan(j：+》)ln(12+y2)—jsec2(x4-j)j.

知识点解析：暂无解析

1】+%2=0/B、彳|-八十八=0

，•（II）5.

设（I）112-=。I”［一13+*4=。

17、求（I）,（口）的基础解系；

标准答案：A1=

0'-1

(]10。)­(】00_：）=（D的基础解系为$=1

\010-1/\0100

1

A2=

0-1

f1T1Vf1°0；）=＞（n）的基础解系为/=；-1

\o1-11/\Q1-10

01

知识点解析：暂无解析

18、求（I）,（口）的公共解.

标准答案：方法一(I),(II)公共解即为(AZ)X=O的解，区方法二(I)的通解

k]故(I),(H)的公共解为(-k,k,2k,k)T=k(-l,1,2,l)T(k为任意常数).方法

三(I)的通解为ki&+k2&2=41)，(D)的公共解为｛k为任意常数).

知识点解析：暂无解析

[]而—sim—gin(sinx)]$iru

19、求极限,黑x4°

1加11y-s：n(8inx)]sinx_]而-