苏教版选择性必修第二册611空间向量的线性运算作业(二)

【基础】6.1.1空间向量的线性运算・2优选练习

一.单项选择

1.已知空间向量AB.6c.AD,CD.A。，则下列结论正确的是（）

A.AB=BC+CDB.AD=AB+BC+DC

C.AB-DC+BC=ADD.BC=BD-DC

2.在空间四边形0ABC中，G是MBC的重心，若04=，.OB=AOC=c,则OG等于（）

A.222B.333c.a+b+cpe3。+3〃+3c

3.如图，在三棱锥「.ABC中，PA=atPB=b,PC=cfD,£分别为梭％.8c的

UUIU

中点，则。E=()

L」一+左

A.222B.222

4.己知向量。4=（1,0,1）,°B=（o,i,i）,0为坐标原点，则三角形OAB的面积为

)

A.2B.GC.1D.2

5.已知空间向量”二（L2,3）,则向量。在坐标平面Oxy上的投影向量是（）

A（1,2,0）及（1,0,3）&（0,2,3）D（1,0,0）

3—1—1

OP=-OA+-OB+-OC

6.对空间任意一点0,若488,则A,B,C,P四点（）

A.一定不共面B.一定共面

C.不一定共面D.与0点位置有关

7.已知。=（2,4,5）,0=（3,x,y）分别是直线L.L的方向向量.若1.//U则（）

15

A.x=6,y=15B.x=3,y=2

15

C.x=3,y=15D.x=6,y=2

8.已知空间四边形0ABe中，。4=〃，（）B=b,OC=cf点M在OA上，且。M=2M4,

N为BC的中点，则MN等于（）

I2,121,1

—a——b+—c——a+—b+—c

A.232B.322

2r2；1r

-a-i—b-----c

C.222D.332

9.已知在四棱柱ABC。-AB'C'/y中，四边形ABC。为平行四边形，若

AC=3aAB+2bBe+eCC,则abc=()

1115

A.2B.3c.6D.6

10.现有下列两个命题：小：在正方体A"》-A"C田中，AG=CD+BG；%：若

A，及P，Q四点共面，则一定存在，使得PQ=xP4+）*8.那么（）

A.凡是真命题，〃2是假命题B.Pi与〃2都是真命题

C.凡是假命题，〃2是真命题D.Pi与〃2都是假命题

11.下列向量中不垂直的一组是（）

A（3,4,0）,（0,0,5）B.（6,（）/2）,（6-5,7）

c（-2,1,2）,（4,-6,7）D（3,1,3）,（1,0-1）

12.已知空间向量〃=（2，-1，2）,力=（1,-2,1）,则向量力在向量。上的投影向量是（）

424242

A.（/及）B.（2T2）c.9一寸D.。，-2,1）

13.己知"GW.8（021）.°（0,0,0）,若℃一十8,则0的坐标是（）

648)(648)

，-，-

5~5~5)3(555>

f6_48^|<648A

［一不一?W口.\5,5,5j

14.下列能使向量MA,MB,"C成为空间的一个基底的关系式是（)

OM=-OA+-OB+-OC

A.333B.MA=MB+MC

C.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC

15.己知A,B,C,D,E是空间中的五个点，其中点A,B,C不共线，则“存在实数x,

y,使得以="8+四。是“。石〃平面ABC”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

16.如图，棱长为3的正方体ABCD-ABCD中,P为正方体表面BCGB】上的一个动点,

E,F分别为BDi的三等分点，则口臼+口臼的最小值为（)

DiG

5V2

A.3+B.2c.1+6D,而

17.已知空间向量a=（2』，T）,”=（1，九7）,若小方，贝必二（）

A.5B.6C.7D.8

18.已知空间向量〃二（一2，一1，1）,方=（345）,则下列结论不正确的是（）

5

A（2a+b）//aBH=^|/?|

z.V一立

al5a+h

C.-\）D.。与力夹角的余弦值为6

参考答案与试题解析

1.【答案】C

【解析】分析：利用空间向量的加法和减法法则可判断各选项的正误.

详解：对于A选项，+=A选项错误；

对于B选项，AD=AB+BC+CD^AB+BC+DCfB选项错误；

对于C选项，4*C+BC=4C+CZ5=A方，c选项正确；

对于D选项，BC=BD+DC±BD-DC,D选项错误.

故选：C.

2.【答案】B

CG=-CM=-(CA+CB\

【解析】分析：由G是M8C的重心，则33\)，根据向量的加法有

OG=OC+CG=OC+-CM

3，从而可得答案.

CG=-CM=g(C4+CB)

详解：由G是AA3C的重心，则3

OG=OC+CG=OC+-CM=OC+-x-(CA+CB]

332V'

=OC+-OC)+(C)B-OC”

=OC+-20c+()B\

=­OC+—OA4—OB=-ad■—bt—c

333333

故选：B.

【点睛】

本题考查空间向量的线性运算，关键是熟练使用向量的线性运算法则，并注意中线向量

公式的运用.

3.【答案】D

【解析】分析：连接正，利用空间向量的加法和减法法则可将用。加以表

示.

详解：连接庄，如下图所示：

PE=PB+BE=PB+-BC=PB+-(PC-PB}=-PB+-PC

22、f22

DE=PE-PD=-PH+-PC--PA=--a+-h^c

因此，222222.

故选：D.

4.【答案】D

【解析】分析：利用向量的夹角公式可得cosZAOB,进而可求出sinZAOA,最后由三

角形面积公式可得结果.

详解...0A=(1,0,1),08=(0,〃)

/SROA081

IIr~ITLcos/AO8=i——j-j——1=-

.|O/1|=V2|O8卜&104Ho2

ZAOB=-

由于0vZAOB<7i所以3,

—OA|xOBsin—=—x叵x近x

所以三角形OAB的面积为213222

故选:D.

5.【答案】A

【解析】分析：根据向量在坐标平面上的投影的概念确定.

详解：向量"=（123）在坐标平面oxy上的投影向量是（1,2,0）.

故选：A.

6.【答案】B

AP=-PB+-PC

【解析】分析：转化条件为66,利用空间向量共面定理即可得解.

3-11

OP=-()A+-OB+-OC

详解:因为488

6(OP-(M)=(O4-0P)+(OC-OP)

所以

AP=-PB+-PC

所以6Ap=PB+PC,即66

故尸，A,B,°四点共面，

故选：B.

7.【答案】D

【解析】分析：利用向量共线的条件列方程组，直接解得.

-2_=4-=-5-1-5-

详解：由L〃h得，3"y,解得x=6,y=2.

故选：D

8.【答案】B

【解析】分析•：利用空间向量的线性运算即可求解.

因为OM=2M4,所以3

MN=ON-OM=-(OB+OC}--OA=--a+-b+-c

所以2、；3322

故选：B

9.【答案】C

【解析】分析：由题意可得AB+BC+CC'=3aAB+2bBC+cCC：则

(3a-l)A8+(2〃-l)8C+(c-l)CC=0,而A8,8C,CC为空间不共面的三个向量，所以

3a-l=2Z>-l=c-l=0,从而可求得答案

详解：据题意，得AC=AB+BC+CC,AC=3aAB^2bBC+cCCt

所以A3+BC+CC=3aAB+2bBe+eCC,

即(3a-1)A8+(2b-\)BC+(c-\)CC=0

又因为ABIC,CU为空间不共面的三个向量，

所以初-1=2〃-1=0-1=0,

1.1.八1

a=-,b=—,c=\abc=—

所以32,所以6.

故选：C.

10.【答案】D

IKUI

【解析】分析：对小，利用向量的加法法则及相等向量计算出4a再判断；对必，在以

与P8共线时不一定有结论而作出判断，最后综合得解.

详解：在正方体—中，AC=A8+8G=DC+8G,则AC产CO+8G

故"I是假命题；

若A3,三点都在直线/上，%与PB共线，Q",PQ与"不共线,

则V.r,yGRPQ#XPA+yPB

故又是假命题.

故选：D

11.【答案】B

【解析】分析：根据向量垂直的坐标运算求解即可.

详解：因为(3,4，°>(0，°，5)=0(6,032)(6,-5,7)=12+0+84=96^0

(-2,1,2)(4,-6,7)=-8-6+14=0,(3J,3)(kO,-l)=3+O-3=O

所以向量中不垂直的一组是(6°」2),(6,-5,7),

故选：B

12.【答案】A

Ib|cos<a.b>—

【解析】分析：由向量〃在向量。上的投影向量为I”,计算即可求出答案.

详解：解:向量”(2T2),"=(1,-2」)

贝严|=M+2?+(一］『=3|〃|=心尸+㈢?=瓜<P/>=2X1+(-1)X(-2)+1X2=6

所以向量力在向量。上的投影向量为

小皿喘则请.‘显品*号风件等§

故选：A.

13.【答案】A

【解析】分析：设点0的坐标为根据空间向量的坐标运算可得出关于x.z

的方程组，即可得出点°的坐标.

详解：设点。坐标为"jz),则℃=(")'，2),

2<648)

又江5f"『七，〒》

=_6=_4__814叶

所以，』一£"5Z=,则点C的坐标为(5'5,

故选：A.

14.【答案】C

【解析】分析：根据平面向最基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，

即可得答案.

详解：对于A：由°M=x°A+WB+zOCa+y+z=l),可得比A,B,C四点共面，即

MAMRMC共面，

所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底：

对于B：因为M4=M8+WC,由平面向量基本定理，可得MA，"及MC共面，无法构成基

底，故B错误；

同理选项D中，MAM8,MC共面，故D错误.

故选：C

15.【答案】B

iiuununuuu

【解析】分析：利用存在实数x,y,使得"入"8+*CoDE〃平面ABC或。Eu平面

ABC,结合充分必要条件的定义即可求解.

muumuIK«I

详解：若平面ABC,则。£人及AC共面，故存在实数x,y,使得=+

所以必要性成立；

iiinuiiiwiiiuD

若存在实数X,y,使得QK=x43+*C,则。及4氏AC共面，则小〃平面ABC或

平面ABC,所以充分性不成立；

所以“存在实数x,y,使得。E=xA8+*。是"°七〃平面ABC”的必要不充分条件,

故选：B

【点睛】

UIVUUUUI.M1

关键点点瞄：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数X,y,使得=

DE/,平面ABC或OEu平面ABC是解题的关键，属于基础题.

16.【答案】D

【解析】分析：过F作F关于平面8℃心的对称点尸，连接E尸交平面8℃蜴于点外,

证明此时的月使得|P©+|P用最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标,

।田+加的最小值为团.

详