高三数学一轮复习统计、计数原理、概率、离散型随机变量及其分布+阶段检测

统计、计数原理、概率、离散型随机变量及其分布

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.2022年7月24E,搭载问天实验舱的长征五号8遥三运载火箭，在我国文昌航天

发射场成功发射，我国的航天事业又上了一个新的台阶.某校现有高一学生1000人，高二

学生80（）人，高三学生1200人，为了调查该校学生对我国航天事业的了解程度，现从三个

年级中采用分层抽样的方式抽取60人填写问卷调皆，则高三年级有多少人被抽中（）

A.16B.18

C.20D.24

2.饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人

类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前

列.某项饱和潜水作业•次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生0〜9之间整数随机

数，我们用0，1，2,3表示饱和潜水深海作业成功，4,5,6,7,8,9表示饱和潜水深海

作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经

随机模拟产生如下10组随机数：713,517,659,491,275,937,740,632,845,946.

由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为（）

A.0.6B.0.7

C.0.8D.0.9

3.将某家庭一年的支出情况统计如图所示，主要分为房贷、饮食等六个方面；若该家

庭一年的总支出为12万元，且花费在A方面的金额比B方面的金额多4800元,则B为（）

交通

A.交通B.饮食

C.其他D.育儿

4.某物理量的测量结果服从正态分布M10,。2）,下列结论中不正确的是（）

A.〃越小，该物理量在一次测量中在（9.9,1（）.1）的概率越大

B.。越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.〃越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.。越小，该物理量在一次测显中落在（9910.2）与落在（10,10.3）的概率相等

5.从4名女志愿者和5名男志愿者中各选2名，并将选取的4名志愿者分到4个不同

的社区，每个社区分配1名志愿者，则不同的分配方法种数为()

A.960B.1200

C.I260D.1440

6.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙

子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，

万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，干

位用横式，以此类推.例如一L"表示62,

之示26,现有5根算筹，据此表示

方式表示两位数(算筹不剩余且个位不为0),则这个两位数大于30的概率为()

纵式IIIIIIlliIIIIITTTIFl

横式:一=三三三1i=

123456789

A.1B.3C.1D.1

7.(l+x2)。一：y的展开式中x2的系数为()

A.-4B.-2C.2D.10

8.某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，

否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为p(0<Xl),实验次数为随机变量X,若

X的数学期望七(%)>1.39,则〃的取值范围是()

A.(0,0.6)B.(0,0.7)

C.(0.6,1)D.(0.7,1)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.下图为2022年8月5日通报的14天内31省区市疫情趋势，则下列说法正确的是()

A.无症状感染者的极差大于400

B.确诊病例的方差大于无症状感染者的方差

C.实际新增感染者的平均数小于389

D.实际新增感染者的第80百分位数为641

10.抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰了出现的点数小于3”为事件A,“第二枚骰

子出现的点数不小于3”为事件B,则下列结论中正确的是()

A.事件A与事件8互为对立事件

B.事件A与事件8相互独立

C.P(8)=2P(A)

D.P(A)+P(B)=1

11.已知《-2x)2n+l的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8,则()

A.〃=4

B.展开式中所有项的系数和为1

C.展开式中二项式系数和为2。

D.展开式中不含常数项

12.在某独立重复实验中，事件A,8相互独立，且在•次实验中，事件A发生的概率

为P，事件8发生的概率为1一〃，其中〃£((),1).若进行〃次实验，记事件A发生的次数为

X,事件8发生的次数为匕事件AB发生的次数为Z.则下列说法正确的是()

A.E(X)=E(Y)

B.D(X}=D(Y)

C.E(Z)=Z)(X)

D.〃・D(Z)=QX)D(y)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

14.已知随机变量X服从正态分布M2,4),且P(2〈XW2.5)=0.36,则P(X>2.5)=

15.随机变量X的分布列为

XXIX2X3

PP2〃3

若pi，p?,“3成等差数列，则公差4的取值范围是.

16.甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球.①先从甲罐中随机

取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以

5表示事件”由乙罐取出的球是红球“，则。(阴A)=；②从甲、乙两罐中分别随机各

取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)某班计划从6名学生中选出2名学生参加学校的羽毛球比赛.已知这6名学

生中有3名男生和3名女生.

(1)求参加比赛的学生中恰有I名男生的概率；

(2)求参加比赛的学生中至少有1名女生的概率.

18.(12分)为调查某社区居民进行核酸检测的地点，随机调查了该社区80人，得到下

面的数据表：

单位：人

核酸检测地点

性别合计

工作单位社区

男105060

女101020

合计206080

⑴根据小概率值«=0.01的独立性检验，能否认为“居民的核酸检测地点与性别有关

系”？

(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查

的3人以社区为核酸检测地点的人数为随机变量X,求X的数学期望和方差.

19.（12分）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一

代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，

能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求.某机

构统计了4&C,D,E,尸共6家公司在5G通信技术上的投入式千万元）与收益千万

元）的数据，如下表：

投入x（千万元）578101113

收益），（千万元）111516222531

（1）若x与），之间线性相关，求），关于x的经验回归方程.并估计若投入15千万元，收

益大约为多少千万元？（精确到0.01）

（2）现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲、乙两个城市同时进行，

6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一

次，掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2,4的去乙城

市.求：

①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；

②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率.（用最简分数作答）

n_____n__

•一〃XyE（即一X）（y—y）

6A尸।尸।A

参考数据及公式：»芮=1186,b=---------------=---------------------------------,a=

—nx2Z（x,—x）2

i=l尸1

—A—

y-bx

20.（12分）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如

下的样本数据频率分布直方图.

频率

丽i

嬲

0.017

0.012

0.006

8:88?

0102030405060708090年龄（岁）

（1）估”•该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：

（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20,70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为（）.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地

区总人口的16%,从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40,50）,求此人患该种疾病的

概率.（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到

0.000I）

21.（12分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50

加以上（含9.50阳）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、

乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：比，：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望

E（X）；

（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证

明）

22.(12分)2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举

行.为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生

的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于4()至MX)之间，将数据按照[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.

频率

0.030

0.028

0.022

0.004b

405060708090100成绩份）

(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,1()0]的三组

中抽取了II人，再从这II人中随机抽取3人，记4为3人中成绩在[80,90)的人数，求自

的分布列和数学期望；

(3)转化为百分制后,规定成绩在[90,100]的为A等级,成绩在[70,90)的为B等级,

其它为C等级.以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机

抽取100人，其中获得B等级的人数设为n，记B等级的人数为k的概率为p(n=k),写出

p(n=k)的表达式，并求出当k为何值时，p(1]=k)最大？

1.答案：D

解析：由分层抽样原则可知：高三年级应抽取60X7RKH会不病=24人.故选D.

IUUU।oUU\1ZUU

2.答案：B

解析：由题意可知，10组随机数中，表示“3名饱和潜水员中都不成功”的有659,845,

3

946,共3个，所以估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为1一行=0.7.故选B.

3.答案：D

解析：设A方面占比〃，?8方面占比〃,则有12(加一〃)=0.48=〃?一〃=0.04,由图可知,

只有其它方面比育儿方面多4%.故选D.

4.答案：D

解析：对于A,『为数据的方差，所以〃越小，数据在儿=10附近越集中，所以测量结

果落在(9.9,10.1)内的概近越大，故A正确；

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故

B正确;

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理段一次测量结果大于10.01的概率与

小于999的概率相等,故C正确;

对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10。的概率与落在(10.2,10.3)的概率不

同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误.故

选D.

5.答案：D

解析：依题意可得不同的分配方法种数为C24dA：=6x10x24=1440.故选D.

6.答案：C

解析：根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为4+1,3+2,

2+3,1+4一共四类情况;

第一类：4+1,即十位用4根算筹,个位用1根算穿,那十位可能是4或者8,个位为

I,则两位数为41或者81；

第二类：3+2,即十，立用3根算筹,个位用2根算筹,那十位可能是3或者7,个位可

能为2或者6,故两位数可能为32,36,72,76；

第三类：2+3,即十位用2根算筹,个位用3根算筹,那么十位可能是2或者6,个位

可能为3或者7,故两位数可能是23,27,63,67；

第四类：1+4,即十位用I根算筹，个位用4根算筹,那么十位为1,个位可能为4或

者8,则该两位数为14或者18,

综上可知：所有的两位数有14,18,23,27,32,36,41,63,67,72,76,81共计

Q9

12个，则大于30的有32.36,41,63,67,72,76,81共计8个，故概率为节=与故选

C.

7.答案：C

解析：(彳一!)4的第k+1项7k产C：产£(一”>)&=《(一1双4-"，令4-2k=2,则k

=1,V(—1)*=一4,令4-2左=0,则2=2,d(-Di=6,则(1+『)(工一；尸的展开式中

V的系数为1X(—4)+lx6=2.故选C.

8.答案：B

解析：由题意得，X的所有可能取值为I,2,3,P[X=l)=p,P(X=2)=(1—p)p,P(X

=3)=1—p—(l—p)p=(l—p)2,所以E(X)=1x〃+2x(l—p)〃+3x(l—p)2=p2—3p+3,令E(X)

=p2—3p+3>1.39,解得/X0.7或p>2.3,又因为0<内1,所以0<p<0.7,即〃的取值范围是

(0,0.7).故选B.

9.答案：AD

解析：由图表知无症状感染者的极差大于400,故A正确；由图表知无症状感染者的波

动幅度明显大于确诊病例的波动幅度，故B错误；由图表数据计算实际新增感染者的平均

数为471.2,故C错误；14x0.8=11.2,故实际新增感染者的第80百分位数为641,故D正

确.故选AD.

10.答案：BCD

解析：依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同

时发生，即事件A与事件8不互斥，则事件A与事件8不是对立事件，A不正确：显然有

242

---

663抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：(1，1),(1，

2)，(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),⑵5)，⑵6)，(3,

1)，(3,2),(3,3),⑶4),⑶5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5)，(4,

6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3)，(6,4),(6,

5)，(6,6),共36个，它们等可能,事件A8所含的结果有:(1，3),(1，4),(1，5)，(1，

812

6)，(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),共8个,则有P(AB)=36=3X3=P(A)P(B),即事

217

件4与事件B相互独立，B正确；显然P(4)=g=2P(A),尸(A)+P(B)=§+?=1,C,D

都正确.故选BCD.

11.答案：AD

解析：由题意I?”：:21=1，则~2mo=1，，〃=4,A正确；/.

4K------n-------

d—2x)2"+i=d—2x)9,令x=l,则所有项系数之和为一1,B错误；二项式系数之和为29,

/i\9一k

C错误；T”弋.M•(-2xy=C”(-2)N?若"为常数项，则有2L9=0,k

9

-

2Z是分数，所以不存在常数项，D正确.故选AD.

12.答案：BC

解析：因为E(X)=叩,E(Y)=n(l-p),即A错误;因为"％)=叩(1一〃)，。(7)=〃(1一

〃)〃，即B正确；因为4,B独立，所以尸(4B)=p(l—p),所以E(Z)=〃〃(1-p)=D(X),即C

正确；因为〃D(Z)=〃2P(l-p)[l-p(l-p)],D(X)D(Y)=n2p\\-p)2,即D错误.故选BC.

13.答案：蔡

解析：从正方体的8个顶点中任选4个，所有的取法有C；=70(种)，4个点共面的取

法共有12种(表面有6个科边形，对角线可构成6个长方形，所以共有12种)，所以4个点

在同一个平面的概率为第=卷.

14.答案：0.14

解析：由题意可知P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0J4.

15.答案：[一g,1J

解析：由题意知p2=pi+d,p3=pi+24,.•・pi+p2+p3=3pi+34=1,***/?!=一4.乂

0<pi<l,工叱；—J<1,/.—|<d$^.同理,由O$P3W1,P3=d+\、：.—!<^/<|，:.—1<J<!，

即公差d的取值范围是,\].

16.答案：3,9

33

--

5X5

P(AB)

解析：P(BIA)=-3

p(A)-设取得黑球的个数为X,则X可取0,1,2,又

5

32322I3222I

p(x=o)=5x-=-,Ptx=2)=^X-=5,尸(x=i)=5x-+§x-=5,

故x的分布列为

X012

31

PTo5

故E(X)=O$+lx1+2金.

17.解析：(1)设3名男生分别为4,A2,A3,3名女生分别为S，步，B3.

这个试验的样本空间可记为Q={(4,A2),(AI，4),(4，/%)，(4，生)，(4，,%),

(A2>A0，(4，Bl),42,82),(42,当)，(4，氏)，(43，&)，(A3，&),(B|,&),(Bi,^3),

(6,83)},

共包含15个样本点.设事件人=”参加比赛的学生口恰有1名男生”，

则4={(4,8i),(Ai,%),(A,83),(42,81),(心,-),(42,&)，(小，氏)，(小,

&)，(心，&)}，

93

共包含9个样本点，所以P(A)=E=；.

(2)设“参加比赛的学生中至少有1名女生”为事件从

则8={(4,8]),(4,%),(A,♦),(4,S),⑶，㈤，⑶，醐，(4,小)，(小,

4

p-

&),(4,3)，(8,B2)，⑻,&),(&，&)},共包含12个样本点，所以P(8)=百5

18.解析：(1)令假设为Ho：居民的核酸检测地点与性别无关系,

根据2x2列联表得，r=8QX60X20X20^0)-=8.889>6.635=的。，

根据小概率值a=0O的/独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为“居民的核酸检测

地点与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0.01.

5,5、k/|\3-k

(2)由题意得，X〜8(3,不),11P(X=A)=C；瑞),k=0,1,2,3,

55515

故石(阳=叩=3'5,D(X)=z?p(l-p)=3x-xj=瓦.

5+7+8+10+11+13

19.解析:⑴x=-------------Z-------------=9,

-11+15+16+22+25+31

>'=-----------------A---------------=20,

6____

A产］1186-1080A

b=-----------------=一。.一N52,a=-2,68,则y=2.52x—2.68,

6_4oo/

YX—6x2

i=l

当x=15,则y=35.12,所以当投入15千万元，收益大约为35.12亿元.

2

⑵①设“某位代表去甲城市参加活动”为事件A,则P(A)=q,

所以A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率为:，

②设“6位代表中去甲城市参加活动的人数少于去乙城市参加活动的人数”为事件B,

524

a出

+Q，

P(BM©©+G

20.解析：⑴平均年龄x=(5x0.001+15x0.0024-25x0.012+35x0.017+45x0.023+

55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)x10=44.65(^).

(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},

所以P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.01=0.89.

(3)设8=｛任选一人年龄位于区间［40,50)｝,C=｛任选一人患这种疾病｝,

々桢初廿八P(BC)0.1%x0.023xl00.001x0.23八”，

则由条件概率公式可得P(C|B)=p(B)=-----丽-----=―—=0.00；437

5封.0014.

21.解析：(1)由题意知，甲以往比赛10次，其中成绩在9.50m以上(包括9.50〃”共有

4次，所以估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率印=看=|.

31

-

一=

(2)由题意知，乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率0262丙在校运动会

铅球比赛中获得优秀奖的概率P3=2a=5i.

设甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件A,B,C,并且A,B,C

两两相互独立，

则X的可能取值为0，1,2,3.

———2I13

P(X=0)=P(ABC)=(1一§)x(1—£)x(1