第十三届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（数学类高年级组）

第十三届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

（数学类高年级组，2023年3月）

k-

*考试形式：闭卷考试时间：180分钟满分：100分

题号—.二三四总分

^-

8满分20191420121212100

得分

-注意:

哂

姿1.第一至第四大题是必答题.再从第五至第十大题中任选3题.题号要填入

爬上面的表中:多选无效）.

2.所有答题都须写在标准答题纸上，写在本试卷或其它纸上均无效.

一、（本题20分，每小题5分）填空题

1.设函数y=y（x）在x=0附近由方程yfgr十jre--rT-i”11确定，且

(A3

y=Ax2+Bx3+0(x3)(x—>0).则（4眸=

2.极限Um（㈤+1明叫1.

3.设A为nxn实矩阵，m为正整数，I为nxn单位矩阵若（I+A）m=0,则A的

行列式|A|二(T)〃

I1工y-VMO9・P44I°一1―G”

1

二、(本题10分)空间中有不相交的固定球S和固定平面£,S的球心在P点，

半径为r.设B是一个球心在M点的球，它与S外切并和£相切.

问：1)所有可能的M构成何种曲面？2)点P与该曲面有何关系？证明你的结论.

解答.(1)(几何法)：过P作平面工的垂线，垂足为0.在垂线PO的延长线上取一

点Q,使得IOQI二r.过Q点作平面£的平行平面£*.这样两平行平面X和

X*的距离为r.于是，M到P的距离，等于M到平面E*的距离.于是，在过

直线PQ和M的平面A上,M到点P的距离等于到交线ACIZ*的距离，M

的的轨迹为抛物线，并以P为抛物线的焦点.以PQ为轴作空间的旋转时，球

B保持与球面S和平面£相切，M画出一个圆周.故所有可能的M构成一个

旋转抛物面，并以P为其焦点.

……...集分)

(2)(坐标法)：过P作平面£的垂线，垂足为0.以O为原点，向量OP所在

直线为z・轴，平面X为xy・平面，建立空间直角坐标系.设球B的球心坐

标为M=(x,y,z),P点坐标为(0,0,R),则有1MO|=z+r.于是，有

(z+r)2=\MO\2=x2+y2+(z-R)2;

故所有的M构成一个旋转抛物面.因为标准的抛物面方程为

・4=!(，+/)

其中(0,0,zo)为旋转抛物面的顶点，F为焦点到顶点的距离.故该旋转抛物面

的顶点Q=(0,0,R),它的焦点到顶点Q的长度F为4F=2(R+r).于是旋

转抛物面焦点坐标为

-r

(0,0,丁-)+(0,0,F)-(0,0,R)-P.

于是.P点恰为旋转抛物面的焦点.

............................................................(10分)

2

三、(本题14分)给定n阶复方阵A翔,b£C”为n维列向量.复系数多项式f(x)

被称为向量b关于A的零化多项式是指f(x)满足f(A)b=O且f(x)翔.在向量b关

于A的零化多项式中其次数最低的首1多项式称为向量b关于A的最小多项式.现

设p(A)为矩阵A的最小多项式.证明：p(A)必为Cn中某向量b关于A的最小多项式.

证明.1)取p(A)的标准分解:p=Pt...ps,其中pi=(入-A;)2JRl,i=l,…,s.

Ai入。各不相同.记Xi={xWC"|pi(A)x=O},则有下列断言真.

断言1.Cn有分解：Cn=Xi田…田Xg,其中X,均是A的不变子空间，A在

X;中的最小多项式即为pi.

事实上，令Vi={xec"|p2…ps(A)x=O}.于是由(pl,pz...ps)=l知，

Cn

有分解：Cn=Xi田V］，其中Xi，Vi均是A的不变子空间.进一步，若A在

X,中

的最小多项式为g,A在V］中的最小多项式为h,则有g|pi,h|p2…ps.

倘若deggvdegpi和degh<degp2...ps有一个发生，则导致deggh<degp

必发生，从而矛盾于p为A的最小多项式(因为g(A)h(A)零化Cn).故有：

A在Xi中的最小多项式为pi,A在V1中的最小多项式为P2...ps.

考虑Vi.由A在V］中的最小多项式为p2-ps,重复前述过程有：

Vi=X2田V2,

其中V2:{x£C〃|p3…ps(A)x=0},X2,\,2均是A的不变子空间，A

在X2中的最小多项式即为P2,A在V2中的最小多项式即为P3...ps.类似推

导，得C”二X［田…田Xs,其中X;均是A的不变子空间，A在X;中的最小多

项式即为pi.断言1获证.

.....................(5分)

2)断言2.p;必是X;中某向量关于A的最小多项式，

为此，设口，…,St,为X;的一组基，Si;关于A的最小多项式为w;j,j=l,…,t;.

于是由pi是A在X,中的最小多项式知：

W；皆具有(A-A)*之形式，k<li.

3

另外，注意到[wi,...,wit]是A在X;中的最小多项式，从而有

[Wil,...,Wit;]=p;,结果Si，…,章,中必有某元，其关于A的最小多项式为

p;.断言2获证.

.................................................(10^)

3)现设pi是Xi中向量g1关于A的最小多项式，是X8中向量自。关于

A的最小多项式.于是，PiP2是X中向量&1+S2关于A的最小多项式.为

此，一方面有pip2(A)(Si+&2)=p2(A)pi(A)^l+pi(A)p2(A)42=0,

从而g1+&2关于A的最小多项式f(A)必是pip2的因子.另一方面，由

f(A)&+&2)=0

得f(A)"=-f(A)&2,注意到Cn=Xi田…田X,因此有X1nX2=0,从而

f(A)i=-f(A)&2£XinX2=0.结果Pi142I。即有pip21f.从而

Plp2是X

中向量S1+&2关于A的最小多项式.

同理可推得：PiP2P3是X中向量"+&2+&3关于A的最小多项式.重复此

过程，最后得pIP?…ps是X中向量&s关于A的最小多项式，即

p(A)是X中向量，1+…+(。关于A的最小多项式，证毕.

…......................................….。4分)

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20分

（本题

四、

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