2026年苏教版高中数学第7章数列练习

2026年苏教版高中数学第7章数列练习一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）a.2n+1b.3n-2c.4n-5d.5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式为a_n=a_3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1。选项b错误因3n-2当n=3时等于7但n=7时不等于15；选项c同理验证不成立；选项d同理验证不成立。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_5的值为（）a.16b.32c.64d.128解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。代入n=5得b_5=2^4=16。选项b为b_6的值；选项c为b_7的值；选项d为b_8的值。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）a.55b.90c.100d.120解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，展开得c_n=c_1+2+4+6+...+2(n-1)=1+2(n-1)n/2=n(n-1)+1。代入n=10得c_10=10×9+1=91。选项a正确；选项b为n=9时的值；选项c为n=11时的值；选项d为n=12时的值。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）a.3b.2c.-3d.-2解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=±3。选项a正确；选项b当q=2时d_4=6×2^2=24；选项c当q=-3时d_4=6×(-3)^2=54；选项d当q=-2时d_4=6×(-2)^2=24。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）a.9b.12c.15d.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。代入n=3得e_3=6。选项a为e_2的值；选项b为e_4的值；选项c为e_5的值；选项d为e_6的值。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n/(f_n+1)，则f_4的值等于（）a.1/8b.1/6c.1/4d.1/2解析：由递推关系f_{n+1}=f_n/(f_n+1)，可得1/f_{n+1}=1/f_n+1。当n=1时1/f_2=1/f_1+1=3/2，即f_2=2/3。当n=2时1/f_3=3/2+1=5/2，即f_3=2/5。当n=3时1/f_4=5/2+1=7/2，即f_4=2/7。选项a错误；选项b为1/f_5的值；选项c为1/f_6的值；选项d为1/f_7的值。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9的值等于（）a.24b.27c.30d.33解析：由等差数列性质a_4+a_5+a_6=a_1+a_2+a_3+9d，代入已知条件得12+9d=18，解得d=2/3。则a_7+a_8+a_9=a_4+a_5+a_6+9d=18+9×2/3=30。选项a错误因需多9d=6；选项b错误因需多9d=6；选项c正确；选项d错误因需多9d=6。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则数列{h_n/n}的前n项和V_n等于（）a.n×3^nb.(n-1)×3^nc.n×3^(n-1)d.(n+1)×3^n解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2。当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。则h_n/n=(2/3)×3^{n-1}。V_n=∑[(2/3)×3^{n-1}]=2/3×(3^0+3^1+...+3^{n-1})=2/3×(3^n-1)/2=3^n-1。选项a错误因系数错误；选项b错误因系数错误；选项c正确；选项d错误因系数错误。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+log₂(n+1)，则i_5的值等于（）a.15b.31c.63d.127解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+log₂(n+1)，可得i_n=1+∑_{k=2}^{n}log₂k=1+nlog₂n-nlog₂1=1+nlog₂n-n。代入n=5得i_5=1+5log₂5-5=1+5×2.32-5=11.6。选项a错误；选项b为i_6的值；选项c为i_7的值；选项d为i_8的值。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_6的值等于（）a.64b.128c.256d.512解析：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=1，j_3=8得q^2=8，解得q=±2√2。若q=2√2，则j_6=j_1q^5=1×(2√2)^5=64×4√2≈460.8；若q=-2√2，则j_6=1×(-2√2)^5=-64×4√2≈-460.8。选项均错误，题目条件需调整使j_6为整数。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的首项为5，公差为-3，则该数列的前10项和S_{10}等于________。解：S_{10}=10×5+(10×9/2)×(-3)=50-135=-85。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_{n+1}=b_n+2n，则b_4的值等于________。解：b_2=b_1+2=4；b_3=b_2+4=8；b_4=b_3+6=14。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=3，c_5=81，则该数列的公比q等于________。解：q^3=c_5/c_2=81/3=27，解得q=3。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则d_5的值等于________。解：d_5=T_5-T_4=15×16/2-6×7/2=120-21=99。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n，则e_6的值等于________。解：e_2=e_1+1=2；e_3=e_2+2=4；e_4=e_3+3=7；e_5=e_4+4=11；e_6=e_5+5=16。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=2^n-1，则数列{2f_n}的前3项和等于________。解：f_1=1；f_2=2；f_3=4；2f_1+2f_2+2f_3=2+4+8=14。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=2，a_4=10，则该数列的通项公式a_n等于________。解：d=(10-2)/3=8/3；a_n=2+(n-1)×(8/3)=8n/3-2/3。8.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_{n+1}=h_n/2，则h_4的值等于________。解：h_2=3/2；h_3=3/4；h_4=3/8。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=n^2+n，则i_3的值等于________。解：i_3=S_3-S_2=12-6=6。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=16，则j_5的值等于________。解：q^2=16/2=8，解得q=2√2；j_5=2×(2√2)^4=128。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（×）解：a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1（n≥2），a_1=S_1=3，通项a_n≠常数，故不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则公比q一定等于3。（√）解：b_4=b_2q^2，6q^2=54，解得q=±3。题目未限制公比为正，故正确。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+1，则该数列是等差数列。（√）解：由递推关系可知d_n=c_{n+1}-c_n=1，故是公差为1的等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_2=4。（×）解：a_2=(a_1+a_3)/2，a_1+a_2+a_3=12，可得3a_2=12，a_2=4。题目表述正确。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（×）解：e_n=T_n-T_{n-1}=2n，但n=1时e_1=T_1=2≠2，故错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=1，f_3=8，则f_5=32。（√）解：q^2=8，q=2√2；f_5=1×(2√2)^4=32。题目表述正确。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（×）解：g_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，虽然通项符合等比数列形式，但前n项和公式非等比数列特征。8.若数列{h_n}满足h_{n+1}=h_n+n，则该数列是等差数列。（×）解：h_n=h_1+∑_{k=1}^{n-1}(k+1)=h_1+n(n-1)/2+n/2，通项非线性，故不是等差数列。9.在等差数列{j_n}中，若j_1=2，j_4=10，则j_7=18。（√）解：d=(10-2)/3=8/3；j_7=2+6×(8/3)=22。题目表述错误。10.若数列{i_n}的前n项和U_n=3^n-1，则i_n=3^{n-1}。（×）解：i_n=U_n-U_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故错误。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为-2，求该数列的前n项和S_n的最小值。解：S_n=n×3+(n(n-1)/2)×(-2)=-n^2+5n=-（n-5/2）^2+25/4。当n=2或3时S_n取最小值-3。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_{n+1}=b_n+2n，求b_5的值。解：b_2=b_1+2=3；b_3=b_2+4=7；b_4=b_3+6=13；b_5=b_4+8=21。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的通项公式c_n。解：q^2=54/6=9，解得q=3；c_n=6×3^(n-2)=2×3^(n-1)。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求d_3的值。解：d_3=T_3-T_2=12-6=6。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年增加10台，以后每年比上一年多增加5台，求第10年比第一年共增加多少台设备？解：设每年增加设备数量为{a_n}，a_1=10，d=5，n=10。S_{10}=(10/2)×(2×10+9×5)=10×65=650台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量（精确到0.1万）。解：设2025年人口为P，P=100×(1+10%)^5=100×1.61051≈161.1万人。3.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=30，求a_3的值。解：a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=30，解得a_3=6。4.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求该数列的前6项和S_6。解：q^3=32/2=16，解得q=2；S_6=2×(2^6-1)/2=2×63=126。【标准答案及解析】一、单选题1.a2.a3.a4.a5.a6.a7.c8.c9.a10.（题目条件需调整）二、填空题1.-852.143.34.995.166.147.8n/3-2/38.3/89.610.128三、判断题1.×2.√3.√4.×5.×6.√7.×8.×9.×10.×四、简答题1.最小值-3，当n=2或3时取到2.b_5=213.c_n=2×3^(n-1)4.d_3=6五、应用题1.650台2.161.1万人3.a_3=64.S_6=126【解析】一、单选题1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2，需综合运用公式。2.数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），注意n=1时的单独计算。3.递推数列通项公式可通过展开法求解，注意初始条件。4.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，需计算公比q。5.数列前n项和与通项关系d_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），注意n=1时的单独计算。6.递推数列通项公式可通过展开法求解，注意初始条件。7.等差数列性质a_4=a_1+3d，需联立方程求解。8.数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），注意n=1时的单独计算。9.递推数列通项公式可通过展开法求解，注意初始条件。10.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，需计算公比q，题目条件需调整使j_6为整数。二、填空题1.等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，通项a_n=a_1+(n-1)d。2.递推数列通项公式b_n=b_1+∑_{k=1}^{n-1}(k+1)。3.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，需计算公比q。4.数列前n项和与通项关系d_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），注意n=1时的单独计算。5.递推数列通项公式e_n=e_1+∑_{k=1}^{n-1}k。6.数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），注意n=1时的单独计算。7.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，需联立方程求解。8.递推数列通项公式h_n=h_1+∑_{k=1}^{n-1}(1/2)^k。9.数列前n项和与通项关系i_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），注意n=1时的单独计算。10.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，需计算公比q。三、判断题1.等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，若a_n≠常数则S_n非二次函数。2.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1