2026上海中考数学复习专题03平面直角坐标系与函数 （解析版）

专题03平面直角坐标系与函数

（5大考点+11大题型+4大易错+4大方法+测试）

目录

01锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养

02理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系

03盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（5个核心考点）

考点01平面直角坐标系

考点02点的坐标

考点03点的坐标变化

考点04函数的概念

考点05函数的表示方法

04探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（11大重难题型）

题型01有序数对题型02点所在的象限

题型03点的坐标题型04坐标与平移、对称、旋转

题型05坐标方法的应用题型06点的坐标规律探索

题型07变量与常量题型08自变量与函数值

题型09图象的识别和信息的提取题型10函数解析式

题型11动点问题的函数图象

05辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点）

易错点01点到坐标轴的距离易错点02点的坐标特征

易错点03点的坐标的平移易错点04描点法画函数的图象

06拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧）

方法01点的坐标变化规律

方法02动点问题的函数图象

方法03平面直角坐标系与几何综合问题

方法04新定义问题

07测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）

考点01平面直角坐标系

1.点的坐标：

（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．

（2）平面直角坐标系的相关概念

①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．

②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般

取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．

（3）坐标平面的划分

建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，

第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．

（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．

考点02点的坐标

1.各象限内点P（a，b）的坐标特征：

①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．

2.坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：

①x轴上：a为任意实数，b=0；②y轴上：b为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．

3.两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：

1一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b．

考点03点的坐标变化

①向右平移a个单位，坐标P（x，y）P（x+a，y）

①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）

①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）

①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）

考点04函数的有关概念⇒

1.常量与变量

（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．

（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：

一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；

②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；

③不要认为字母就是变量，例如π是常量．

2.函数的有关概念

（1）函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对

应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化

③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．

（2）函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．

①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．

②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1．

③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．

④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．

（3）函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．

注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应

的自变量的值就是解方程；

②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．

3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标

平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．

注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对

应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的

值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，

这个点就不在函数的图象上．

考点05函数的表示方法

表示

方法定义优点缺点

求出对应值时,往往要

用含自变量x的式简单明了,能准确地反经过比较复杂的计算,

解析子表示函数y的映整个变化过程中自而且有些实际问题不一

式法方法变量与函数的关系定能用解析式表示出来

把一系列自变量值一目了然,由表中已有自变量的值不能一一列

x与对应的函数值y自变量的每一个值,可出,也不容易看出自变

列表列成一个表格来表以直接得出相应的函量与函数之间的对应

法示函数关系的方法数值关系

图象用图象来表示函数能直观形象地表示函观察图象只能得到近似

法关系的方法数关系的数值

题型01有序数对

【典例】（2024·四川达州·二模）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位

置可以表示成60,6，则A与B的距离为．

【答案】213

【分析】本题主要考查了勾股定理，用有序数对表示位置，先根据题意得到点B的位置可以表示成150,4，

进而得到A、B和中心点的夹角为90度，再利用勾股定理求出即可．

【详解】解：由题意得，点B的位置可以表示成150,4，

∴A、B和中心点的夹角为90度，

∴AB4262213，

故答案为：213．

【变式练习】

1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为a,b，那么b,a（）

A．表示ab排a号

B．表示第b排a号位

C．表示b排或a号

D．与a,b不可能代表同一个位置

【答案】B

【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意进行解答即可．

【详解】解：∵电影院中的第a排b号位，简记为a,b，

∴b,a表示第b排a号位，

故选：B．

2．（2024·江苏盐城·三模）小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声音猜汉字的游戏，若听到“咚咚-咚

咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“kuo”，则听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉

字可能为（）

4rkwbe

3thgil

2adyuj

1ocnfx

12345

A．汉B．华C．盐D．音

【答案】C

【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据题意，“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音

是“kuo”，表示2,4，4，2，1，1的对应的字母为“kuo”，则“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示

3,2，1，2，3，1对应的字母为“yan”，即可求解，理解题意是解题的关键．

【详解】解：∵“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“kuo”，

∴“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示2,4，4，2，1，1的对应的字母为“kuo”，

∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示3,2，1，2，3，1对应的字母为“yan”，

∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能是：“盐”，

故选：C．

3．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”．若

用有序数对m,n表示第m行从左到右第n个数，如3,2表示正整数2，4,3表示正整数3，则7,4表示

的正整数是．

【答案】20

【分析】认真读懂题意，利用发现的规律解决数字问题．

本题考查了数字的变化，解题的关键是掌握数字变化的规律，利用规律解决问题．

【详解】解：由题意可知第7行为1615201561，

7,4表示的正整数是20．

故答案为：20．

题型02点所在的象限

【典例】（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，点P(m,m1)不可能在第象限．

【答案】四

【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解题的

关键．

根据点P的坐标m,m1，通过讨论m的取值范围，分析点P可能所在的象限，并判断不可能出现的象限．

【详解】解：点P的坐标为m,m1．平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征为：第一象限,；

第二象限,；第三象限,；第四象限,．

分情况讨论：

当m0时，m10，点P在第一象限；

当1m0时，m0且m10，点P在第二象限；

当m1时，m0且m10，点P在第三象限；

不存在m使得m0且m10，因此点P不可能在第四象限．

故答案为：四．

【变式练习】

4．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是()

A．(4,1)B．3,4C．(1,3)D．(3,1)

【答案】A

【分析】本题考查平面直角坐标系与坐标，理解各象限内点坐标的符号特征是解题的关键．根据平面直角

坐标系内各象限内点的坐标符号特征处理．

【详解】解：第四象限内点横坐标为正，纵坐标为负；

故选：A．

5．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点N32a,2a5是第三象限内的整点（横、纵

坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（）

A．1,1B．1,1C．(1,-1)D．1,1

【答案】B

【分析】本题主要考查点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法，熟练掌握点的坐标所在象限及一元

32a035

一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，则有a，根据整点可知a2，然后问

2a5022

题可求解．

【详解】解：∵点N32a,2a5是第三象限内的整点，

32a035

∴，解得：a，

2a5022

∴a2，

∴N1,1，

∵点M与点N关于x轴对称，

∴M1,1；

故选B．

6．（2025·山东·模拟预测）点P(m3,m1)在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为．

【答案】(2,0)

【分析】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里点的坐标特点是解题的关

键．

根据x轴上点的纵坐标为0列式求出m，然后解答即可．

【详解】解：由点P(m3,m1)在直角坐标系的x轴上，可得：m10，

解得：m1，

m3132，

点P(2,0)；

故答案为：(2,0)．

题型03点的坐标

【典例】（2025·河北沧州·模拟预测）若第二象限内的点Pm,n满足n-m=2，写出一个满足条件的点P的

坐标：．

【答案】1,1（答案不唯一，保证n0，m0，n-m=2即可）

【分析】本题考查了点所在的象限求参数，写出直角坐标系中点的坐标，根据点在第二象限，以及nm即

可得出符合题意的结果．

【详解】解：点Pm,n在第二象限，

m0，n0，

nm2，

m1，n1时，n-m=2，满足要求，

P1,1，

故答案为：1,1．

【变式练习】

7．（2025·四川成都·模拟预测）已知第二象限的点P5,4，那么点P到y轴的距离为（）

A．5B．4C．-5D．-4

【答案】A

【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握点到y轴的距离等于该点横坐标

的绝对值是解题的关键．

明确点到y轴距离的解题思路，即根据点的坐标特征，点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值．

【详解】解：∵点P的坐标为5,4，

∴点P到y轴的距离为55，

故选：A．

8．（2025·天津·一模）如图，△OAB的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且ABx

轴，若AB2，OAOB5，则点A的坐标为（）

A．2,1B．2,1C．2,1D．2,1

【答案】A

【分析】本题考查图形与坐标，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．设AB与

1

x轴交于点C，根据等腰三角形三线合一知，ACAB1，利用勾股定理求出OC长，根据点所在象限写

2

出坐标．

【详解】解：设AB与x轴交于点C，

∵OAOB5，ABx轴，

1

∴ACAB1，

2

2

∴OCOA2AC25122，

∵点A在第二象限，

∴点A的坐标为2，1，

故选：A．

9．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是A2,1，AB5，且AOB90．那

么点B到y轴的距离是（）

A．2B．4C．25D．5

【答案】A

【分析】本题主要考查了坐标与图形综合，解直角三角形，勾股定理，通过作垂线构造相似三角形是解决

问题的关键．

过点A作ACx轴于点C，过点B作BDx轴于点D，进而得出BODCAO，得到

ACOD

cosBODcosCAO，得到，勾股定理求出AO，BO，代入即可求解．

AOBO

【详解】解：过点A作ACx轴于点C，过点B作BDx轴于点D，则ACOODB90，

CAOAOC90，

AOB90，

AOCBOD90，

BODCAO，

cosBODcosCAO，

ACOD

，

AOBO

A的坐标是2,1，

AC1，CO2，

AOAC2OC25，

AB5，AOB90，

BOAB2AO225，

1OD

，

525

解得：OD2．

故选：A．

10．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A3,4，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像

与y轴的交点为．

25

【答案】0,

8

【分析】本题考查圆的性质、两点间距离公式的应用，解题关键是根据圆与x轴相切及过点A的条件，建立

圆心坐标的关系式，进而求解与y轴的交点．

设圆心为(x,y)，因为圆与x轴相切，所以半径为|y|．又圆过点A(3,4)，根据两点间距离公式，圆心到A的

1232525

距离等于半径，可得(x3)2(y4)2|y|，平方后整理得yxx，令x0，求出y，

8488

即得与y轴交点．

【详解】设圆心为Px,y，

圆与x轴相切，

圆的半径ry

圆心到A的距离为半径，即

(x3)2(y4)2|y|

1325

整理得yx2x

848

25

当x0时，y

8

25

即交点为0,

8

题型04坐标与平移、对称、旋转

【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的等边三角形OAB绕点O逆时

针旋转60后得到OA1B1，按照此方式，绕点O连续旋转3次得到OA3B3，那么B3的坐标为．

【答案】1,3

【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形．先求出

点B的坐标，再根据旋转3次所得三角形中的点B3与点B关于坐标原点成中心对称即可解决问题．

【详解】解：令BB1与y轴的交点为M，

∵等边三角形OAB的边长为2，

∴OAOB2,AOBOAB60，

由旋转可知OA1B1OAB60，

又∵MOB906030，

∴OMB90，

1

则BMOB1，

2

在RtOMB中，OM22123，

∴点B的坐标为1,3．

∵OAB绕点O逆时针连续旋转3次得到OA3B3，每次旋转60，

∴旋转3次后，即旋转180，

则点B3在BO的延长线上，且OBOB3，即点B3与点B关于坐标原点对称，

所以点B3的坐标为1,3．

故答案为：1,3．

【变式练习】

11．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A2,1与点B关于y轴对称，则点B的坐标是()

A．2,1B．2,1C．2,1D．2,1

【答案】C

【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于y轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握“关于y轴对称的点，

纵坐标不变，横坐标互为相反数”这一核心规律．

已知点A坐标为2,1，根据关于y轴对称的坐标特征，先保持点A的纵坐标1不变，再求横坐标2的相

反数为2，由此可确定点B的坐标为2,1．

【详解】解：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数．

已知点A2,1，其纵坐标为1(保持不变)，横坐标2的相反数为2，故点B的坐标为2,1．

故选：C．

12．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点P3,4向右平移3个单位长度，得到点P，则点

P的坐标是（）

A．3,4B．0,4C．3,4D．3,0

【答案】B

【分析】本题考查了点在坐标平面中的平移，熟记平移中点的变化规律是解决此题的关键．点在坐标平面

中平移时，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移方式即可确定点P的横纵坐标，从

而解题．

【详解】解：点P3,4向右平移3个单位长度，得到点P，则点P的坐标是0,4．

故选：B．

13．（2025·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，作点A7,3关于y轴的对称点A，再向右平移2个单

位长度得到点A，则点A的坐标是．

【答案】5,3

【分析】本题考查了点坐标与轴对称、点坐标与平移，熟练掌握轴对称变换和平移变换规律是解题关键．先

根据点坐标与轴对称变换规律可得点A的坐标为A7,3，再根据点坐标的平移变换规律即可得．

【详解】解：∵在平面直角坐标系中，作点A7,3关于y轴的对称点A，

∴A7,3，

∵将点A向右平移2个单位长度得到点A，

∴A72,3，即A5,3，

故答案为：5,3．

14．（2025·广东佛山·三模）如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段OA顺时针旋转90得

到线段OA，点A的对应点为A．若点A的坐标为2,3，则点A的坐标为．

【答案】3,2

【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．

过点A作ABy轴于点B，过点A作ACx轴于点C，由旋转得，OAOA，AOA90，可得

AOB≌AOC，则ACAB，OCOB．由已知条件可得AB2，OB3，则AC2，OC3，可得点

A的坐标．

【详解】解：过点A作ABy轴于点B，过点A作ACx轴于点C，

∴ABOACO90，

∴AOBAOC90．

由旋转得，OAOA，AOA90，

∴AOCAOC90，

∴AOBAOC，

∴AOB≌AOCAAS，

∴ACAB，OCOB．

∵点A的坐标为2,3，

∴AB2，OB3，

∴AC2，OC3，

∵点A在第四象限内，

∴点A的坐标为3,2．

故答案为：3,2．

题型05坐标方法的应用

【典例】（2025·河南郑州·三模）如图，如果“马”在点－1,0，“仕”在点1,3，则“帅”所在点的坐标是（）

A．3,0B．1,3C．1,3D．2,3

【答案】D

【分析】本题主要考查坐标系的实际应用、中国象棋棋盘布局知识．解题关键在于准确建立坐标系，结合

棋子标准位置和图形相对距离进行空间推理，实现几何位置向坐标数值的转化．首先，建立坐标系，每个

单位长度为棋盘的一个格子宽度．据此求解即可．

【详解】解：依题意，建立如图所示的坐标系，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，每个单位长度为棋

盘的一个格子宽度，从图中观察，“帅”位于第四象限，“帅”的坐标为2,3．

故选：D．

【变式练习】

15．（2025·甘肃金昌·三模）如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》

中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的

网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为4,2，表示“开阳”的点坐标为0,3，则

表示“天权”的点的坐标为（）

A．5,1B．5,1C．1,5D．1,5

【答案】A

【分析】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置．

根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，y轴，根据坐标系确

定表示“天权”的点的坐标即可．

【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为4,2与表示“开阳”的点的坐标为0,3得：平面直角坐标系，如

图：

可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为5,1．

故选：A．

16．（2025·贵州铜仁·三模）小丽特别喜欢学以致用，这天她尝试建立平面直角坐标系，并在图中标注了部

分城市的位置，如图所示，若表示成都、武汉的点的坐标分别为1,2、3,2，则表示贵阳的点坐标是（）

A．1,2B．1,0C．0,0D．0,2

【答案】C

【分析】本题主要考查坐标确定位置，建立正确的直角坐标系是解题的关键．

根据题意建立正确的直角坐标系，即可得出答案．

【详解】解：如图，建立直角坐标系，

则贵阳的点的坐标是0,0．

故选：C．

17．（2025·贵州·模拟预测）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点A(2,3)和B(1,1)，并且知

道藏宝地点的坐标是(3,2)，则藏宝处应为图中的点．

【答案】M

【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置，建立坐标系是解题关键．直接利用已知点坐

标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出藏宝位置．

【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：

故答案为M

18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，某小区有3处健身休闲广场S1,S2,S3，为加强对健身休闲广场的管

理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为S1(2,3),S2(1,4)，则第3处健身休闲广场S3的位置用坐标表

示为．

【答案】1,1

【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．

根据已知点的坐标建立直角坐标系，即可得出结果．

【详解】解：如图，由已知点的坐标建立直角坐标系，

根据图示S31,1．

故答案为：1,1．

题型06点的坐标规律探索

【典例】（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个等边三角形，按如图中的规律摆放．点P

从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1AA2A2A3A3A4A4A5”的

路线运动，已知等边三角形的边长为2，A1的坐标为1,3，A2的坐标为2,0，A3的坐标为3,3，

A4的坐标为4,0，A5的坐标为5,3，设第n秒点P运动到点Pn(n为正整数)，则点P2024的坐标是

（）

A．2024,0B．2024,3C．2023,3D．2025,3

【答案】A

【分析】本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定

点的坐标规律是解题的关键．

通过观察可得，An每6个点的纵坐标规律：3，0，3，0，3，0，点An的横坐标规律：1，2，3，

4，5，6，，n，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边

OA1A1A2A2A3A3A4A4A5的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次，点P运动n秒的横坐

标规律：1，2，3，4，5，6，，n，点P的纵坐标规律：3，0，3，0，3，0，，

确定P循环的点即可．

2024

【详解】解：过点A1作A1Bx轴于B，

图中是边长为2个单位长度的等边三角形，

OBBA1，22，

2A1BOA1OB3

，，

A113，A220，

，，，，，

同理，A333A440，A553，A660，A773，，

An中每6个点的纵坐标规律：3，0，3，0，3，0，

点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1A1A2A2A3A3A4A4A5的路

线运动，1秒钟走一段，

P运动每6秒循环一次，

．．．

点P的纵坐标规律：，3，0，3，0，3，0，，

点P的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，，n，

202463372，

点P2024的纵坐标为0，

点P2024的横坐标为2024，

，

点P2024的坐标为20240，

故选：A．

【变式练习】

△△

19．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，…，是

△

斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A12,0，A21,1，

A30,0，则依图中所示规律，A2025的坐标为（）

A．1012,0B．1014,0C．2,507D．1,506

【答案】B

【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，观察图形可以看出每4个为一组，由于202545061，A2025

在x轴正半轴上，纵坐标是0，再根据横坐标变化找到规律即可解．

【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上，

△△

∵A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，

∴A54,0，A96,0，A138,0…，

∵202545061，

∴点A2025在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是2025321014，

∴A2025的坐标为1014,0．

故选：B．

20．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A1，A2，A3，…，An在直线y2x1上，过点A1，A2，A3，…，An

分别作y轴的垂线，垂足分别为B1，B2，B3，…，Bn．若A1B1O，A2B2B1，A3B3B2，…，AnBnBn1均

为等腰直角三角形，则OA10B10的面积为（）

A．21627B．21828C．21626D．21827

【答案】B

【分析】本题主要考查一次函数的性质与等腰直角三角形的性质，熟练掌握通过分析前几个点的坐标总结

规律，进而计算图形面积的方法是解题的关键．通过分析等腰直角三角形的性质与直线方程的关系，依次

求出前几个点的坐标，总结出OBn和AnBn的规律，进而计算OA10B10的面积．

【详解】解：∵A1B1O是等腰直角三角形，A1B1y轴，

∴A1B1OB1，

设A1x1,x1，代入y2x1，得x12x11，

解得x11，

∴A11,1，OB11．

∵A2B2B1是等腰直角三角形，A2B2y轴，

∴A2B2B1B2，

设A2x2,x21，代入y2x1，

得x212x21，

解得x22，

∴A22,3，B1B22，OB2123．

∵A3B3B2是等腰直角三角形，A3B3y轴，

∴A3B3B2B3，

设A3x3,x33，代入y2x1，得x332x31，解得x34，

∴A34,7，B2B34，OB3347．

1

观察可得：OB1121，

2

OB2321，

3

OB3721，

……，

n

故OBn21；

0

A1B112，

1

A2B222，

2

A3B342，

……，

n1

故AnBn2．

109

∴OB1021，A10B102．

11109188

∴SOABOB10A10B1021222．

101022

故选：B．

21．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和

大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余

数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单

位长度．

例：“可余点”P2,1按上述规则连续平移3次后，到达点P32,2，其平移过程如下．

右上左

P2,1P13,1P23,2P32,2

余0余1余2

若“可余点”Q按上述规则连续平移20次后，到达点Q205,16，则点Q的坐标为．

【答案】3,6或5,6

【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反

方向平移求解即可．

【详解】解：根据已知：点P32,2横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P42,3，

此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P51,3，此时横、纵坐标之和除

以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为：

①若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、

向左不断重复的规律平移；

②若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为1时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平

移；

③若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为2时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平

移；

若“可余点”Q按上述规则连续平移20次后，到达点Q205,16，则按照“可余点”Q205,16反向运动20次

即可，可以分为两种情况：

若按照②或③方式：则Q205,16向右平移10次，向下平移10次即为“可余点”Q，则Q510,1610，即

Q5,6；

若按照①方式：则Q205,16需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则Q591,1610，

即Q3,6，

综上：点Q的坐标为3,6或5,6

故答案为：3,6或5,6．

题型07变量与常量

【典例】（2024·辽宁大连·一模）已知下列材料在0℃时的电阻率如下：

材料金银铜铁

电阻率（Ωm）71.610610017.2

已知电阻率越高，导电能力越差，则在温度相同的情况下，导电性第三优良的为（）

A．金B．银C．铜D．铁

【答案】C

【分析】本题考查了变量，根据“电阻率越高，导电能力越差”选出答案即可，准确理解题意是解题的关键．

【详解】解：∵电阻率越高，导电能力越差，17.2<71.6<100<106，

∴导电能力从大到小排序为：铁，金，铜，银，

∴导电性第三优良的为铜，

故选：C．

【变式练习】

22．（2025·云南·模拟预测）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时

刻的数据显示牌，则其中的常量是（）

金额：168.80元

油量：20.00升

单价：8.44元/升

A．单价B．金额C．油量D．金额和油量

【答案】A

【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因

此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量．

【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量，

故选：A．

23．（2025·贵州黔东南·二模）如图是佳佳购买贵州刺梨干的销售标签，则在单价、数量、总价的关系中，

常量是（）

品种：刺梨干

单价：45.00元/箱

数量：3箱

总价：135.00元

A．总价B．数量C．单价D．总价和数量

【答案】C

【分析】本题主要考查了常量和变量，

在单价、数量、总价的关系中，单价是固定不变的量，而数量和总价会随购买情况变化，则答案可得．

【详解】解：根据题意，单价为45.00元/箱，固定不变；数量为购买箱数，可以改变；总价单价数量，

随数量变化而变化，常量是单价．

故选：C．

24．（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表：

所花时间t/min05101520

行走的路程s/km01234

这个问题中，自变量是，因变量是．

【答案】ts

【分析】本题考查了自变量和因变量的定义．

根据自变量和因变量的定义，时间t是独立变化的量，路程s随t的变化而变化

【详解】解：从表格数据可知，时间t每增加5分钟，路程s相应增加1公里，

因此路程s的变化依赖于时间t的变化，

故自变量是时间t，因变量是路程s．

故答案为：t，s．

题型08自变量与函数值

3

【典例】（2023·北京·模拟预测）若函数y有意义，则实数x的取值范围是．

2x

【答案】x2

【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出

2x0，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．

3

【详解】解：∵函数y有意义，

2x

∴2x0，

解得x2，

即实数x的取值范围是x2，

故答案为：x2．

【变式练习】

2025x

25．（2025·云南楚雄·模拟预测）函数y的自变量x的取值范围是（）

1x

A．x1B．x1C．x0D．x1

【答案】A

【分析】本题主要考查分式有意义的条件及自变量的范围，熟练掌握分式有意义的条件及自变量的范围是

解题的关键；函数为分式，分母不能为零，然后问题可求解．

【详解】解：由题意得：1x0，

∴x1；

故选A．

ax2bx111

26．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数y，当x时，y2023；当x时，

x220232024

1

y2024．那么，当x时，y的值为（）

2025

A．2025B．2026C．2027D．2028

【答案】C

【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟

b11

练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为ya，并设t，则

xx2x

yabtt2．根据给定条件建立方程组，解出a和b，再代入t2025求值．

ax2bx1b1

【详解】解：∵ya，

x2xx2

1

设t，则yabtt2，

x

1

当x时，t2023，y2023，

2023

∴2023a2023b20232①；

1

当x时，t2024，y2024，

2024

∴2024a2024b20242②．

②－①得：

1b2024220232，

∵20242202322024202320242023140474047，

∴1b4047，

∴b4046．

代入①：2023a2023404620232，

∴a20232023404620232202314046202320232024．

1

当x时，t2025，

2025

∴ya2025b20252202320244046202520252．

∵404622023，

∴y2023202422023202520252202320242202520252

202320244050202522023202620252．

计算：

20252202320262025220232025120252202320252023

2025202520232023202522023405020232027．

∴y2027，

故选：C．

1

27．（2025·云南·模拟预测）函数y22x中自变量x的取值范围是．

x1

【答案】x2且x1

【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可．

2x0

【详解】解：由题可得，

x10

解得x2且x1，

故答案为：x2且x1．

题型09图象的识别和信息的提取

【典例】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，一只水桶底部有一小孔，在装满水的情况下，能简单刻画水位

高度h随漏水时间t变化情况的图象是（）

A．B．C．

D．

【答案】B

【分析】本题主要考查了函数图象的应用，根据水桶上粗下细、确定桶内水面高度h随时间t变化规律是解

题的关键．

由于水桶上粗下细，则桶内水面高度h的下降随时间t变化越来越快，据此即可解答．

【详解】解∶∵一只水桶底部有一出水孔，

∴单位时间出水量一定，

∵水桶上粗下细，

∴桶内水面高度h的下降随时间t变化越来越快，即B选项符合题意．

故选：B．

【变式练习】

28．（2024·广东·模拟预测）长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图

象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（）

A．B．C．

D．

【答案】B

【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象

上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据水槽的横断面示意图，

可知注水速率不变时，水面上升的快慢取决于当时水面所“拥有”的横截面积大小，瓶底较窄，水初淹没瓶

底时，周围可盛水的面积较大，水面上升较慢；随着瓶身最鼓处被淹没，瓶子占去的空间最大，水可盛放

的面积减小，水面上升加快；继续往上到瓶颈较细处时，瓶子占用的面积又变小，水面上升又转慢，故水

的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可．

【详解】解：由水槽的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，

故选：B．

29．（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一

个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函

数关系，则其函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关

键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题．

【详解】解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，

所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高，

因为瓶子的上半部分是圆柱，

所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．

故选：A．

30．（2025·湖北·模拟预测）A、B两城相距600千米，甲乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后

立即返回．如图是他们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象，当他们行驶了7小时，

两车相遇．则当乙到达B城时，甲乙两车相距千米．

【答案】150

【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定

系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点C、D的坐标利用待定系数法求出线段CD的函数解

析式，代入x7求出点F的坐标，由此即可得出直线OF的解析式，再在直线OF的解析式中代入y600求

出点E的坐标，将点E的横坐标代入线段CD的解析式中求出y值，将其与600做差即可得出结论．

【详解】解：观察图形可得出：点C的坐标为6,600，点D的坐标为14,0，

设线段CD的解析式为ykxbk0，

6006kbk75

，解得：，

014kbb1050

线段CD的解析式为y75x10506x14．

当x7时，y525，

点F的坐标为7,525，

直线OF的解析式为y75x．

在直线OF上，当y600时，有75x600，解得：x8，

点E的坐标为8,600．

在线段CD中，当x8时，y450，

600450150千米．

故答案为：150．

31．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离

出发地的距离skm与行驶时间th之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项

是．

①汽车在行驶途中停留了0.5小时；

160

②汽车在整个行驶过程的平均速度是km/h；

3

③汽车共行驶了120km；

④汽车出发4h离出发地40km．

【答案】