初中七年级数学《1.4.2 有理数的除法》核心素养导学案

初中七年级数学《1.4.2有理数的除法》核心素养导学案

一、教学内容深层解析与课标定位

（一）教材地位与知识脉络

本节课选自人教版七年级数学上册第一章《有理数》第四节第二课时，是继有理数乘法之后又一基本运算核心模块。从数系扩充视角看，有理数除法是有理数加、减、乘运算的自然延伸，更是后续学习整式除法、分式运算、一元一次方程解法以及比例、函数等内容的运算根基。从运算体系看，本节课首次将除法转化为乘法，确立“除以一个数等于乘以它的倒数”这一核心运算策略，实质上是向学生渗透“化归”思想的关键节点。【非常重要】【核心素养关键点】本节课教学效果直接影响学生对有理数运算体系的整体建构，以及代数运算能力的形成。

（二）知识要点罗列与层级定位

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第三学段“数与运算”主题要求，对本节课所有知识点进行全要素、无遗漏梳理，并标注其在学业质量评价中的属性特征。

1.倒数的概念与求法

【基础】乘积为1的两个数互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。求一个非零有理数的倒数即将其分子分母互换位置（对于整数视为分母为1）。【高频考点】尤其注意带分数、小数必须先化为假分数或分数形式再求倒数；符号处理易错，属【易错点】。

2.有理数除法法则一（乘法化归法则）

【非常重要】除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a·1/b（b≠0）。此法则实现了从未知运算（除法）向已知运算（乘法）的转化，是本节课【核心思想】与【根本大法】。该法则适用于任意非零除数的有理数除法，是学生必须达到自动化水平的技能。

3.有理数除法法则二（符号优先法则）

【重要】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0。该法则优先处理符号，再处理数值运算，在整除情形或绝对值较小时运算效率更高。【高频考点】【必考技能】此法则与乘法符号法则高度对称，便于类比记忆，但学生易忽略“0不能作除数”这一【刚性约束】。

4.除法与乘法的互逆关系与验算

【基础】除法是乘法的逆运算。利用乘法结果反推除法运算的正确性，是建立运算一致性的重要抓手。

5.分数的化简与符号处理

【重要】除法运算结果通常化为最简分数。分子、分母及分数整体符号的移动规则：分数的符号可以写在分子、分母或整个分数前面，三者等价。此知识点是后续分式运算的前置基础。【难点】多重符号化简与除法符号规则的整合应用。

6.有理数乘除混合运算

【非常重要】【热点】乘除混合运算必须严格遵循从左到右的顺序，除法一律转化为乘法，再运用乘法法则和运算律进行简化。带分数必须化为假分数；小数优先化分数。该题型是期末考试【必考计算题】原型。

7.用计算器辅助有理数除法

【基础】认识计算器上除法键的功能，能够借助计算器验证大数或复杂小数的除法结果，培养工具使用意识。

8.实际应用建模

【重要】用有理数除法解决平均分、速率、密度、单价等比例关系问题，在现实情境中提取除法模型，是【核心素养应用导向】的直接体现。

二、学情全息诊断与教学起点

（一）认知起点分析

学生已系统掌握有理数乘法法则、乘法运算律，能够熟练进行多个有理数相乘的符号确定和绝对值运算；已初步理解倒数的概念并能求具体整数的倒数。但存在以下深层障碍：第一，对“倒数”的理解往往机械记忆为“上下颠倒”，对于小数、带分数、负整数的倒数处理存在程序性障碍；第二，长期受算术除法思维禁锢，潜意识中认为“除法就是平均分”或“大数除以小数”，对“除以一个数等于乘它的倒数”这一代数化表达存在心理抗拒和认知冲突；第三，符号处理在乘除混合运算中极易出现跳步、漏步、错步现象。

（二）关键障碍点锁定

【难点1】除法转化为乘法后，被除数保持不变，除数取其倒数，部分学生会混淆成“被除数也取倒数”或“被除数与除数同时变”。【难点2】乘除混合运算中，遇到除法带括号的情形，对先处理括号还是先转化运算顺序存在犹疑。【难点3】对0不能作除数的条件反射尚未建立，在含有字母或隐蔽形式（如分母含0）的问题中易疏忽。

三、教学目标精准刻画

（一）知识技能目标

1.能准确口述倒数的定义，会求任意非零有理数的倒数（整数、分数、小数、带分数、负数全覆盖）。【基础达标】

2.能复述并解释有理数除法的两条法则，理解二者等价性，并能根据算式特征灵活选择简便法则。【核心达成】

3.能熟练进行有理数除法运算以及乘除混合运算（不超过三步），正确率达到90%以上。【技能过关】

（二）过程方法目标

4.经历“除法—乘法”的转化探索过程，体会化归思想在数学运算中的统帅作用，并能用语言概括“未知化已知”的解题策略。【思想渗透】

5.通过对比两条法则的适用场景，培养运算策略的优化意识和批判性思维。【思维进阶】

（三）情感态度目标

6.在解决“负数的除法”认知冲突中，感受数学规则的内在自洽与统一美，激发持续探究的理性精神。

7.通过小组互讲算理、互批作业，养成严谨、细致的运算习惯和对自己、对他人负责的学习品格。

四、教学重难点精准确认

【核心重点】有理数除法法则的掌握与运用，特别是将除法转化为乘法的算法程序。

【根本难点】对除法法则中“除以一个数等于乘以它的倒数”这一转化逻辑的深层认同，以及对0不能作除数的前置条件形成条件反射。

【关键切入】以“乘法逆运算”为逻辑起点，用填表格、猜规律的方式自然引出除法法则，回避生硬灌输。

五、教学法策略顶层设计

本节课采用“大单元·结构化·问题链”教学模式。以“转化”为课眼，以三条递进式核心问题链贯穿全课：第一链“除法是什么？”——从逆运算定义除法；第二链“除法怎么算？”——建构并优化算法；第三链“除法用在哪？”——回归应用与建模。教法上采用“先行组织者+变式训练+即时反馈”，学法上强调“算理复述+错例会诊+限时通关”。全程贯彻教学评一体化，每个核心环节均嵌入微检测和表现性评价标准。

六、教学实施过程全息展开

本部分为导学案主体，以“课前预学—课中研学—课后拓学”为主线，将全部知识点、能力点、素养点精细化嵌入具体活动，并以【】形式标注其学业质量层级属性。

（一）课前结构化预学

设计意图：激活倒数的前概念，暴露算术除法思维定势，为课堂认知冲突蓄势。

1.预学任务单

（1）写出下列各数的倒数：2、-5、1、-1、0.25、-1.5、3又1/2。【基础】要求书写规范，负数倒数必须带负号，带分数、小数必须先化假分数再求倒数。此任务旨在诊断学生倒数求法的准确率，特别是【易错点】小数与带分数的预处理。

（2）计算：12÷4、(-20)÷5、(-36)÷(-6)。要求写出每一步思考过程，并说明用到了哪条乘法口诀或符号规则。【重要】此任务用以探查学生对小学除法及七年级符号规则的整合程度，尤其是负数除法的直觉反应。

（3）尝试计算：6÷(-3)、(-8)÷(-2)、0÷(-5)。请把你遇到的困难记录下来。此任务为【认知冲突触发器】，多数学生会尝试用乘法逆运算推演，但尚未形成系统算法。

2.预学反馈形式

课前5分钟，小组长检查预学单，统计“求倒数出错人数”“除法尝试卡壳人数”，课代表将共性疑问板书于侧黑板【问题区】。教师快速浏览，将典型错例拍照投屏，作为课堂第一手生成性资源。

（二）课中深度研学

环节一：冲突唤醒，定义除法——从“逆运算”建立逻辑锚点

【时长】8分钟

【核心任务】通过填表、猜想，重新认识除法运算的本质。

1.问题情境创设

投影展示预学中“6÷(-3)”的几种典型猜想。有学生认为结果是2，因为6÷3=2；有学生认为结果是-2，因为“正数除以负数得负数”；有学生认为结果是-2，但说不出依据；极少数学生写出因为(-2)×(-3)=6，所以商是-2。教师聚焦最后一种思路追问：你为什么想到用乘法来验证？由此自然引出：除法是乘法的逆运算。【非常重要】我们并不知道6÷(-3)等于几，但我们可以想：一个数与-3相乘得6，这个数是多少？这才是除法的原始定义。

2.填表归纳，自主建构

出示表格（此处用纯文字描述表格内容）：

被除数：6、-12、-24、0

除数：-3、4、-6、-5

除法算式：6÷(-3)、(-12)÷4、(-24)÷(-6)、0÷(-5)

要求：不直接计算商，而是想“几乘除数等于被除数”，填出商。

学生独立思考后在小组内交流策略。教师巡视，重点关注学困生是否建立“商×除数=被除数”的模型。【非常重要】这一环节不急于给出法则，而是强化除法本源意义，为后续“除以一个数等于乘倒数”埋下逻辑伏笔。

1.归纳除法定义

师生共同概括：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。被除数÷除数=商，其中除数不能为0。【基础】【高频考点】此处必须嵌入“为什么除数不能为0”的微型思辨：假如除数是0，如果被除数非0，找不到任何数与0相乘等于非0数；如果被除数为0，任何数与0相乘都得0，商不唯一。由此强化0不能作除数的刚性记忆。

环节二：算法建构，法则形成——从“倒数”到“转化”的跨越

【时长】15分钟

【核心任务】经历除法法则的形成过程，理解两种法则的内在统一。

1.探究活动：寻找除法与乘法的秘密

出示例题：(-6)÷2。

任务1：用逆运算求商：因为(-3)×2=-6，所以商是-3。

任务2：你能将(-6)÷2这个算式，在不改变结果的前提下，改写成乘法算式吗？提示：除以2，能不能变成乘以某一个数？

学生独立思考后汇报。部分学生联想到预学中的倒数：除以2，相当于乘以2的倒数，即1/2。验证：(-6)×1/2=-3，结果一致。【非常重要】【核心突破点】教师乘势追问：这个发现是偶然还是必然？我们再试一组。

出示：(-15)÷(-3)、8÷(-4)、(-9)÷3。

学生分组用两种方法计算：方法A，逆运算推商；方法B，除数取倒数，变成乘法。对比每一组结果完全相同。

2.法则一精准建构

学生尝试用文字语言描述这一规律。教师规范表述：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。符号语言：a÷b=a·1/b（b≠0）。【非常重要】【必考法则】强调两个“变”与一个“不变”：除号变乘号，除数变倒数；被除数不变。此处理应进行【防错预警】：容易出错的变形是“被除数也取倒数”或“除号变乘号但除数没变倒”。教师板书典型错例，全班会诊。

3.法则二对比呈现

过渡语：除以一个数等于乘它的倒数，这个法则对所有除法都适用，而且能处理除数是分数的情况。但如果除数是整数，尤其是能整除时，我们还有更快捷的办法吗？

出示例题：(1)(-24)÷4；(2)(-36)÷(-6)；(3)48÷(-8)。

学生尝试用倒数法则计算后，教师引导观察：这些题其实可以直接用符号法则——先定符号，再除绝对值。

师生共同归纳：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0数都得0。【非常重要】【高频考点】教师引导学生对比两条法则：第一条是“万能钥匙”，任何除法都适用；第二条是“快车道”，整除时尤其便捷。二者等价，可根据题目特征灵活选用。

4.即时诊断性练习

【基础巩固】计算：（1）（-18）÷6；（2）（-27）÷（-9）；（3）0÷（-100）；（4）（-3.5）÷0.7。

要求：每道题分别用两种法则计算，体会哪种更简便。小组内交换检查，重点看符号和倒数转化是否正确。【高频易错】第（4）题小数除法，必须将0.7化成分数7/10，再取倒数10/7，或者直接用符号法则先定负号，再算3.5÷0.7=5，最终-5。两种方法答案一致，体现运算的一致性。

环节三：技能内化，混合运算——从“单一”到“综合”的进阶

【时长】12分钟

【核心任务】掌握乘除混合运算的标准化程序，形成自动化技能。

1.例题示范：程序化书写建模

例1计算：（-36）÷9×（-2）

教师板演，分步讲解：

第1步（审题）：观察运算符号，发现既有除法又有乘法，属于乘除混合运算。【非常重要】运算顺序：从左到右。

第2步（转化）：将除法转化为乘法。（-36）×1/9×（-2）

第3步（定号）：负因数的个数为2个（偶数），结果为正。

第4步（算值）：36×1/9×2=8。

第5步（整合）：结果为8。

强调：乘除混合运算，必须先将所有除法转化为乘法，再运用乘法法则（多个有理数相乘）进行符号判定和绝对值计算。严禁跳步，严禁在转化不完全时直接约分。【难点】【必考规范】

例2计算：（-125）÷（-5）÷（-5）

此题陷阱在于连续除法，部分学生会误以为后两个-5可以“抵消”。严格按从左到右顺序：先算（-125）÷（-5）=25，再算25÷（-5）=-5。若先全部转化为乘法：(-125)×(-1/5)×(-1/5)，三个负号得负，125×1/5×1/5=5，结果为-5。对比验证，强化程序规范性。

1.变式训练：障碍全覆盖

题组1（含分数与小数）：（1）-2.5÷(-5/8)×(-4)；（2）1.2÷(-3/4)×(-0.5)

要求：小数化分数，除法变乘法，再计算。小组合作，抽代表板演，全班点评符号处理和约分技巧。【重要】【高频计算】

题组2（含带分数）：（-3又1/3）÷2又1/2÷(-1/3)

要求：带分数必须化为假分数，除法统一为乘法，三个或以上因数相乘时先定符号再算绝对值。【易错点】带分数化假分数环节错误率高，需单步强化。

题组3（含0的特殊情形）：（-48）÷[（-12）-（-4）]对比（-48）÷（-12）-（-48）÷（-4）

此题旨在区分除法分配律的“假象”。小学学过除法对加法分配律只在被除数一侧有效，除数一侧绝对不可分配。通过计算让学生直观感受：前者先算括号得-8，再算(-48)÷(-8)=6；后者先算两个除法得4和12，再相减得-8。结果不同，破除“除法也有分配律”的错误直觉。【非常重要】【难点爆破】

环节四：应用迁移，模型意识——从“算式”到“情境”的升华

【时长】7分钟

【核心任务】用有理数除法解决真实问题，培养数学建模素养。

1.情境问题串

问题1（基准问题）：某地气象资料显示，海拔每升高1km，气温下降6℃。若地面温度为5℃，测得高空某处温度为-25℃，问此处海拔是多少千米？

建模分析：温度变化总量：从5℃降到-25℃，下降了30℃。每1km下降6℃，所以高度=30÷6=5（km）。此处除法模型为“总变化量÷单位变化量”。【重要】【热点应用】

问题2（变式问题）：一瓶饮料，甲单独喝需12分钟喝完，乙单独喝需15分钟喝完，丙单独喝需20分钟喝完。若三人同时喝这瓶饮料，多少分钟能喝完？

引导：将整瓶饮料看作单位“1”，甲每分钟喝1/12，乙1/15，丙1/20，效率和=1/12+1/15+1/20=5/60+4/60+3/60=12/60=1/5。时间=总量÷效率和=1÷1/5=5（分钟）。此问题涉及分数除法，但核心模型仍是除法，为后续学习埋下伏笔。【拓展】【素养链接】

1.错例会诊与思维外显

展示课前预学及课中练习中的典型错题：

错例1：-3的倒数算成3或1/3，漏掉负号。

错例2：(-16)÷(-4)×(-2)=(-16)×(-1/4)×(-2)=16×1/4×2=8，漏掉符号导致结果正负错误。

错例3：0÷(-5)=0，正确；但(-5)÷0=0，严重错误。

以小组为单位，分析错因，提出规避策略，并编成顺口溜。如“除法变乘法，倒数别弄差；符号先看好，零作除数要爆炸”。【趣味强化】

（三）课后拓学与素养作业

【时长】课后15-20分钟

【设计理念】分层设计、跨界融合、反思提升。

1.基础性作业（必做）

【基础巩固】计算：

（1）(-48)÷6；（2）72÷(-8)；（3）(-3.6)÷0.9；（4）(-4/7)÷(-8/21)；

（5）(-35)÷(-7)×(-1/5)；（6）(-24)×(5/8)÷(-3/2)；（7）(-1)÷(-1/3)×3。

要求：书写规范，步骤完整。前4题单步除法，后3题混合运算。重点检查符号判定和除法转化环节。【高频考点全覆盖】

2.发展性作业（选做）

【思维进阶】（1）若a、b互为相反数，且c、d互为倒数，m的绝对值是2，求(a+b)÷cd+m的值。整合相反数、倒数、绝对值、除法四个知识点，属【综合压轴雏形】。

（2）规定一种新运算：a*b=a÷b-b÷a，计算：2*(-3)和(-4)*(-1/2)。定义新运算题，旨在考查除法法则的灵活迁移能力。【素养拔高】

3.反思性作业（全体）

完成《我的除法法则理解地图》。要求：不抄概念，用自己的话解释两条除法法则为什么是等价的；画一个“除法易错陷阱图”，标明自己曾经掉进去的坑以及填坑方法。此作业是【元认知训练】，旨在将隐性思维显性化。

七、板书设计逻辑图谱

板书是流动的生成史，而非静止的知识陈列。本节课板书采用“三区并置”结构：

主板书区（中央）：左侧书写“除法定义：逆运算”，中间核心位置用大括号呈现两条法则，右侧示范混合运算规范步骤。重点内容用红色粉笔标注【非常重要】的“倒数转化”和“0不能作除数”。

辅板书区（右侧）：动态生成学生预学中的典型错例，并当堂用红笔修正对比。

副板书区（左侧）：留存当堂练习中学生即兴创造的口诀、易错点关键词、小组得分等。

八、教学评价与反馈机制

教学全程嵌入“三阶评价”：

阶一，即时性评价。每个微环节后设置1-2道口令式检测题，学生举反馈卡（红绿双色）示意答案正误，教师当即获取全班掌握率，决定是否需插入微型补救教学。

阶二，表现性评价。小组合作环节，观察学生是否能用规范数学语言向同伴讲解“为什么除以一个数等于乘以它的倒数”，是否能在会诊中提出有价值的错因分析。优秀讲解员获得“转化大师”称号。

阶三，结果性评价。课后作业批改实行“二次计分制”：第一次根据结果正误给分；第二次根据订正质量和反思深度加分。尤其关注【高频考点】类题目的错误订正逻辑是否清晰。

九、课程资源与技术赋能

1.微课资源：录制“三分钟讲清算理——除法转化为什么不能跳步”，推送至班级空间，供课前预学或课后补救使用。视频中借助数轴动画演示：除以2相当于取一半，即乘以0.5，直观建立几何直观。

2.数字化工具：推荐使用MathPK小程序进行除法符号法则限时闯关游戏，系统随机生成题目，答对累积积分，实时显示班级正确率排行榜，激发计算兴趣。

3.纸质学具：设计“倒数卡牌”，正面写有理数，背面写倒数，供学困生课间游戏化记忆。

十、教学特色与创新突破

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