高三数学简单线性规划的应用

4．3简单线性规划应用第1页一、线性规划问题普通地，求线性目标函数在线性约束条件下①________或②________问题即为线性规划问题．二、线性规划处理常见问题(1)③________问题．(2)④________问题．(3)⑤________问题．(4)⑥________问题．第2页三、线性规划问题求解步骤1．依据线性约束条件画出⑦________，即不等式或不等式组所确定平面区域；2．设z＝0，画出直线l0，平行移动l0，以确定⑧________位置；3．解相关方程组，求出最优解对应点⑨________，再代入目标函数求出目标函数⑩________.第3页四、简单线性规划问题应用题求解步骤1．⑪________——设未知数，写出约束条件与目标函数，将实际应用问题转化为数学上线性规划问题；2．⑫________——解这个线性规划问题；3．⑬________——依据应用题提出问题作答．答案：①最大值②最小值③资源配置④环境优化⑤产品配方⑥合理下料⑦可行域⑧最优解所对应点⑨坐标⑩最值⑪转化⑫求解⑬作答第4页1.线性规划理论和方法主要在哪几类问题中得到应用？线性规划问题常见类型有哪些？(1)线性规划理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定条件下，怎样使用它们来完成最多任务；二是给定一项任务，怎样合理安排和规划，能以最少人力、物力、资金等资源来完成该项任务．第5页(2)线性规划问题常见类型有：①物资调运问题比如已知A1、A2两煤矿每年产量，煤需经B1、B2两个车站运往外地，B1、B2两车站运输能力是有限，且已知A1、A2两煤矿运往B1、B2两车站运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？第6页②产品安排问题比如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位甲种或乙种产品所需A、B、C三种材料数量、此厂每个月所能提供三种材料限制、每生产一个单位甲种或乙种产品所赢利润额都是已知，这个厂每个月应怎样安排产品生产，才能使每个月取得总利润最大？③下料问题比如要把一批长钢管截成两种规格短钢管，怎样下料能使损耗最小？第7页2．在利用线性规划求解相关应用问题时，有时候需要依据实际情况，最优解要求是整数．那么，怎样才能正确地得出整数解？在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接依据约束条件得到不一定是整数解，通常处理方法有两种：(1)利用约束条件画出图形，假如得出是非整数解，进行适当地调整，能够找与所求出最优解(非整数解)靠近整数解进行验证；第8页(2)在直线附近找出与此直线距离最近整点，依据求出结果给出最优解整数解；(3)我们也能够利用枚举法验证求最优整数解，或者利用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应详细情况详细分析.第9页合理配餐、配料能做到物有所值、物有超值，经济而又实惠．[例1]某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每盒最少有8个单位蛋白质和10个单位淀粉，应怎样配制盒饭，才既科学又使费用最少？第10页解析：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元，则z＝0.5x＋0.4y，作出不等式组所表示平面区域以下列图所表示．第11页第12页[变式训练1]某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A，C，D，E和最新发觉Z，甲种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1mg,1mg,4mg,4mg,5mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3mg,2mg,1mg,3mg,2mg.若此人天天摄入维生素A至多19mg，维生素C至多13mg，维生素D至多24mg，维生素E最少12mg，那么他天天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素需要量，并能取得最大量维生素Z?第13页第14页作出不等式组表示平面区域如图所表示，作出5x＋2y＝0.把直线向右上方平移，直线经过可行域上点M时，z＝5x＋2y取得最大值．第15页第16页日常生产生活中，对所支配资料能做到科学合理重组与配置，能够提升劳动效率创造最大经济效益．[例2]某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1t产品需要电力、煤、劳动力及产值．以下表所表示：品种电力(千度)煤(吨)劳动力(人)产值(千元)甲4357乙6639第17页该厂劳动力满员150人，依据限额天天用电不超出180千度，用煤天天不得超出150t，问天天生产这两种产品各多少时，才能创造最大经济效益？第18页第19页第20页[变式训练2](图表信息题)北京华欣企业计划在今年内同时出售“夜莺牌多功效”电子琴和“OK智能型”洗衣机，因为这两种产品市场需求量非常大，有多少就能销售多少，所以该企业要依据实际情况(如资金、劳动力)确定产品月供给量，以使得总利润到达最大．已知对这两种产品有直接限制原因是资金和劳动力，经过调查，得到关于这两种产品相关数据以下表：第21页资金单位产品所需资金(百元)月资金供给量(百元)电子琴洗衣机成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68试问：怎样确定两种产品月供给量，才能使总利润到达最大，最大利润是多少？第22页分析：先设出月供给电子琴和洗衣机数量，建立约束条件和目标函数后，再利用图像直观解题．第23页第24页第25页充分利用线性规划知识能够处理生活中节约用材问题，在当前经济危机情况下，更应大力提倡节约能源，提倡合理有效地配置，创造最正确效益．[例3]某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2m2，每张可做A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3m2，每张可做A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个．问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省(“用料最省”是指所用钢板总面积最小)．第26页第27页第28页[变式训练3]某厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一个有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要两种木料，生产一张圆桌和一个衣柜所需木料以下表所表示．每生产一张桌子可赢利润6元，生产一个衣柜可赢利润10元，该厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使取得利润最多？产品木料(单位：m3)第一个第二种圆桌0.180.08衣柜0.090.28第29页第30页第31页在现有资源，条件不变情况下，合理地调度，往往也能起到节约运费、节约成本功效．第32页[例4]已知A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台和8台，支持D市18台，E市10台．从A市调一台机器到D、E两市运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市运费分别为400元和500元．(1)若从A、B两市各调x台到D市，当三市28台机器全部调完成后，求总运费P(x)关于x函数表示式，并求P(x)最大值和最小值．(2)若从A市调x台到D市，从B市调y台到D市．当28台机器全部调完成后，用x、y表示总运费P，并求P最大值和最小值.第33页解析：第一步，列表、分析条件：表1供方运费需方ABC需量D20030040018E80070050010供量10108第34页第二步，确定目标函数．(1)设从A市、B市中调x台到D市，调运预想方案如表2：表2供方运费需方ABC需量D200x300x400·(18－2x)18E800·(10－x)700·(10－x)500·(2x－10)10供量10108第35页于是，总运费为P(x)＝200x＋300x＋400(18－2x)＋800(10－x)＋700(10－x)＋500(2x－10)＝17200－800x，其中，0≤x≤10,0≤18－2x≤8⇒5≤x≤9，∴P(x)max＝P(5)＝13200(元)，P(x)min＝P(9)＝10000(元)．第36页(2)设从A市、B市分别调x台、y台到D市，调运预想方案如表3：表3供方运费需方ABC需量D200x300y400·(18－x－y)18E800·(10－x)700·(10－y)500·(x＋y－10)10供量10108第37页于是，总运费为：P＝200x＋300y＋400(18－x－y)＋800(10－x)＋700(10－y)＋500(x＋y－10)＝17200－100(5x＋3y)，其中0≤x≤10,0≤y≤10,0≤18－x－y≤8.第38页第三步，求出最优点．在xOy平面上，作出上述不等式可行域以下列图中阴影部分．其中l1：x＋y＝18，l2：x＋y＝10.能够发觉，当x＝10，y＝8时，Pmin＝9800；当x＝0，y＝10时，Pmax＝14200.第39页[变式训练4]甲、乙两地生产某种产品，它们可调出数量分别为300t,950t，A、B、C三地需要该产品数量分别为200t、450t,400t．甲地运往A、B、C三地费用分别为6元/t、3元/t、5元/t，乙地运往A、B、C三地费用分别为5元/t、9元/t、6元/t.怎样调运才能使总运费最省？第40页解析：设甲地生产某种产品运往A、B、C三地数量分别为xt、yt、(300－x－y)t，则乙地生产产品运往A、B、C三地数量分别为(200－x)t、(450－y)t、[400－(300－x－y)]t，总运费z＝6x＋3y＋5(300－x－y)＋5(200－x)＋9(450－y)＋6(100＋x＋y)＝2x－5y＋7150，第41页作出可行域，以下列图所表示．由图可知当7150－z取最大值时，z值最小，即过点(0,300)时，zmin＝5650元，即甲地产品全部运往B地，乙地产品运往A、B、C三地分别为200t、150t、400t时总运费最省为5650元．第42页最优整数解问题，就是在有些线性规划问题中，变量x，y要求取整数，所以其最优解也必须为整点，解答这类问题能够先处理普通线性规划问题(不考虑整数)，再在可行域内适当调整，从而确定最优整数解即可．第43页[例5]某运输企业有7辆载重量为6吨A型卡车与4辆载重量为10吨B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某高速公路中，该企业承包了天天最少搬运360吨土任务．已知每辆卡车天天往返次数：A型卡车为8次，B型卡车为6次；每辆卡车天天往返成本费用情况；A型卡车160元，B型卡车252元．试问，A型卡车与B型卡车天天各出动多少辆时企业成本费用最低？第44页解析：设天天出动A型卡车数为x，则0≤x≤7；天天出动B型卡车数为y，则0≤y≤4.因为天天出车驾驶员最多9名，则x＋y≤9，天天要完成搬运任务为48x＋60y≥360，天天企业所花成本费用为z＝160x＋252y.本题即求满足不等式组

第45页第46页结合图形可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数点只有P1(3,4)，P2(4,4)，P3(4,3)，P4(5,2)，P5(5,3)，D(5,4)，P6(6,2)，P7(6,3)，P8(7,1)，C(7,2)10个点．作直线l：160x＋252y＝0.把l向上方作平行移动，可发觉它与上述10个点中最先接触到点是P4(5,2)，所以在点P4(5,2)上，得到z值最小，zmin＝160×5＋252×2＝1304.答：当企业天天出动A型卡车5辆，B型卡车2辆时，企业成本费用最低．第47页[变式训练5]要将两种大小不一样钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板块数以下表所表示：今需A、B、C三种