复变函数与积分变换：理论基础与工程方法 课件 第5章 留数理论与应用

CONTENTS目录第5章

留数理论与应用5.1复变函数中的孤立奇点5.2

留数5.3留数在定积分和工程技术中的应用MATLAB编程练习与演示5.45.5本章小结5.1

复变函数中的孤立奇点5.1.1解析函数的孤立奇点及分类5.1.2孤立奇点类别的判定方法5.1.3函数零点与极点的关系5.1.4无穷远点的孤立奇点5.1.1

解析函数的孤立奇点及分类（1）1.孤立奇点的概念什么是奇点？定义：函数f(z)在该点不解析（如：无定义、不可导、趋于无穷大）。直观理解：函数性质发生突变的点。孤立奇点与非孤立奇点类型直观几何特征孤立奇点奇点“独居”，四周没有其他奇点干扰。非孤立奇点奇点“扎堆”，被其他奇点无限逼近。5.1.1

解析函数的孤立奇点及分类（2）【例5.1】

试确定函数

中的奇点是否为孤立奇点。

解

为函数

的孤立奇点。因为在

的邻域内，

不存在其他奇点。

定义5.1（孤立奇点）

设

为函数

的奇点，若

在点

处的某个去心邻域

内解析，则称点

为函数

的孤立奇点。5.1.1

解析函数的孤立奇点及分类（3）【例5.2】

试确定函数

中的奇点是否为孤立奇点。解

(1)令

，可得

，则

为孤立奇点。(2)

也是该函数的奇点，但因在

的任何邻域中，总有形如

的奇点存在，故

是非孤立奇点。5.1.1

解析函数的孤立奇点及分类（4）2.孤立奇点的分类在孤立奇点

的去心邻域内，函数

可展开为洛朗级数分类依据：洛朗级数的主要部分点类型洛朗级数主要部分特征可去奇点不含负幂项极点含有限个负幂项本性奇点含无限多个负幂项孤立奇点分类表5.1.1

解析函数的孤立奇点及分类（5）2.孤立奇点的分类(1)可去奇点【例5.3】

试确定

是函数

的可去奇点。解

将函数f(z)展开成洛朗级数，有可见在

点处，洛朗级数的主要部分为0。故

是函数的可去奇点。设z0为孤立奇点，若f(z)在去心邻域0<|z-z0|<R内的洛朗级数不含负幂项：则称z0为f(z)的可去奇点。5.1.1

解析函数的孤立奇点及分类（6）(2)极点若函数f(z)在点z0

处洛朗级数的主要部分为有限多项，即则称z0为f(z)的m阶极点.若m=1则称为一阶极点,或简单极点.【例5.4】

试确定

是函数

的二阶极点。解

将函数f(z)展开成洛朗级数，有可见上式洛朗级数的主要部分有2项，且

的最高阶次为2，故

是函数的极点，且为二阶极点。5.1.1

解析函数的孤立奇点及分类（7）(3)本性奇点

若函数f(z)在点z0处洛朗级数的主要部分有无穷多项,则称z0为f(z)的本性奇点.5.1.2

孤立奇点类别的判定方法（1）1.孤立奇点类别的判别方法定理5.1(可去奇点的充分必要条件)

设函数f(z)在

内解析，则z0

是f(z)的可去奇点的充分必要条件是存在极限z0是f(z)的可去奇点的另一个充分必要条件是f(z)在孤立奇点z0的一个邻域内有界.定理5.2(极点的充分必要条件)

设函数f(z)在

内解析，则z0是f(z)的极点的充分必要条件是进一步地,z0是f(z)的m阶极点的充分必要条件是且5.1.2

孤立奇点类别的判定方法（2）定理5.3(本性奇点的充分必要条件)

设函数f(z)在

内解析，则z0是f(z)的本性奇点的充分必要条件是极限

既不为常数，也不为

。即极限

不存在。据函数f(z)极限

来判定奇点类型的准则为：5.1.2

孤立奇点类别的判定方法（3）【例5.6】

判定函数

在

点的奇点类型。解

由于根据奇点类型的判定准则,则z=0是f(z)的可去奇点.实际上,在z=0补充f(z)的定义使之满足f(z)=1,就可以消除z=0这个奇点.5.1.2

孤立奇点类别的判定方法（4）【例5.7】

判定函数

在z=1和z=2孤立奇点处奇点的类型.解在孤立奇点z=1和z=2处,函数f(z)的极限可分别表示为故z=1和z=2均为函数f(z)的极点.进一步地,由

，且知z=1为f(z)的一阶极点;由且知z=2为f(z)的二阶极点。【例5.8】

判定函数

在z=0孤立奇点处奇点的类型.5.1.2

孤立奇点类别的判定方法（5）2.孤立奇点的工程价值5.1.2

孤立奇点类别的判定方法（6）

核心本质：奇点是工程系统的“物理锚点”孤立奇点在四大工程领域的应用矩阵工程领域孤立奇点（极点/零点）对应概念工程实际作用与价值信号处理拉氏/z变换系统的极点→特征根决定系统的稳定性，是计算逆变换求时域响应的关键。交流电路复阻抗的极点/零点→谐振点/失谐点直观反映频率响应，指导低通、高通、带通滤波器的快速设计。控制工程传递函数的零极点分布决定系统的稳定度、响应速度与精度，用于绘制伯德图/奈奎斯特图。流体力学复势函数的孤立奇点建模流场基本单元：点源（鼓风）、点汇（抽风）、涡旋。5.1.3函数零点与极点的关系1.零点的概念定义5.2(零点)

若不恒为0的解析函数f(z)能表示成的形式,其中φ(z)在z0处解析,m为正整数,则z0为f(z)的m阶零点.若f(z)在z0处解析,则z0为f(z)的m阶零点的充分必要条件是5.1.3函数零点与极点的关系2.零点与极点的关系定理5.4(零点与极点的关系)若z0为f(z)的m阶零点,则z0为

的m阶极点.反之亦然.5.1.4无穷远点的孤立奇点（1）1.复平面上无穷远点的含义

复平面上无穷远点的概念是复变函数中扩充复平面的核心概念,直接关联到留数定理、整函数性质等关键内容.简单来说,复平面的无穷远点是一个人为引入的“虚拟点”,用来让复平面具备“闭合性”,它的本质是对有限复平面的扩充,而非传统意义上“在某个方向无限远处的点”.5.1.4无穷远点的孤立奇点（2）2.无穷远点的孤立奇点

定义5.3(无穷远点的孤立奇点)若函数f(z)在z=∞处的去心邻域R<|z|<+∞内解析,则无穷远点称为f(z)的孤立奇点.在R<|z|<+∞内,f(z)的洛朗级数展开式为（1）若上式不含正幂次项,则称z=∞是f(z)的可去奇点;（3）若上式含无穷多个正幂次项,则称z=∞是f(z)的本性奇点.（2）若上式含有限个正幂次项,且最高正幂次项为,则称z=∞是f(z)的m阶极点;5.1.4无穷远点的孤立奇点（3）定理5.5(无穷远点孤立奇点的分类准则)设函数f(z)在区域R<|z|<+∞内解析,则z=∞

是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的充分必要条件是:的极限存在且有限,极限为无穷或极限不存在且不为无穷.5.2

留数5.2.1留数的概念5.2.2留数定理5.2.3留数的计算5.2.4无穷远点奇点留数的概念5.2

留数

留数(residue)是复变函数中针对解析函数孤立奇点的一个重要概念,指函数在奇点邻域洛朗展开式中负一次幂项(z-z0)-1的系数.

留数的核心作用,是把复变函数中“沿闭合曲线积分”这个复杂难题,转化为“求奇点处的留数”这一简单操作,它是连接复积分与奇点性质的“桥梁”,在数学计算和工程应用两大领域都有着不可替代的作用.5.2.1

留数的概念1.留数的定义定义5.4(留数)设z0(≠∞)为函数f(z)的孤立奇点,圆周C:|z-z0|<r,若f(z)在0<|z-z0|≤r上解析,则称为f(z)在点z0的留数,记作5.2.1

留数的概念2.留数与洛朗级数的关系解析函数f(z)的洛朗级数展开式式中，,若n=-1,则有留数的定义实际上就是解析函数f(z)洛朗级数展开式中取n=-1项的系数,即其中,曲线C为解析函数f(z)的去心邻域内绕z0的闭曲线.5.2.1

留数的概念【例5.11】求函数

在孤立奇点z=0处的留数.解由于在0<|z|<+∞内,给定函数的洛朗级数为则留数为5.2.1

留数的概念留数概念的通俗解释:可将复平面想象成一块平整的地面，复变函数f(z)描述地面上的气流分布。奇点：类似气流场中的特殊点，可以看作“源”或“汇”。“源”持续向外吹风；

“汇”持续向内吸风；二者都会使周围形成环流。普通点（非奇点）：没有这种主动的气流驱动，气流平稳通过。留数：可类比为“源”或“汇”的功率大小，反映奇点对周围气流的驱动强弱。核心理解：留数刻画奇点处

的“驱动强度”留数决定了函数在奇点附近积分（环流）的大小，而留数定理可将复杂的围线积分转化为奇点留数求和。5.2.2

留数定理

定理5.6(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外处处解析,C

是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线,则有证明

把C内的孤立奇点zk,k=1,2,…,n用互不包含的正向闭曲线Ck围绕起来,则由复合闭路定理,有将上式两端除以2πi,再由留数的定义,有整理后可得5.2.2

留数定理

留数定理的通俗解释:结合前面对留数的理解，留数定理描述的是闭合曲线内“环流总量”的计算规则。

在复平面上画一条闭合曲线，若要计算曲线内部的总环流强度，不必逐点计算气流速度。

只需找出闭曲线内所有“源/汇”，即各奇点，并将它们的留数相加。

再乘以固定系数2πi，即可得到闭曲线上的总积分值。曲线内的奇点决定总环流，曲线外的奇点不影响曲线内的环流。5.2.3留数的计算留数计算法则的重要性留数计算法则主要体现在三个方面：针对性：针对不同类型的奇点采用相应的计算方法，简化洛朗级数系数c−1的求解。应用性：为留数定理的实际应用提供计算基础，打通“理论→实际”的链路。通用性：统一不同应用场景下的计算逻辑，计算方法只与奇点类型有关，具有良好的跨领域适用性。5.2.3留数的计算法则Ⅰ(简单极点的留数计算)若z0为f(z)的简单极点(一阶极点),则留数证明由于z0为f(z)的简单极点(一阶极点),由f(z)的洛朗级数展开,有上式两边同乘(z-z0)再取极限,得到5.2.3留数的计算5.2.3留数的计算法则Ⅱ(m阶极点的留数计算)若z0为f(z)的m阶极点,则留数5.2.3留数的计算法则Ⅲ(P/Q形函数的留数计算)设函数,P(z)与Q(z)在z0处解析.若,则z0为f(z)的一阶极点,且极点z0处的留数为5.2.4无穷远点奇点留数的概念1.无穷远点留数的概念定义5.5(无穷远点的留数)设z=∞为函数f(z)的孤立奇点,C

为正向圆周:|z|=r.

若f(z)在R<|z|<+∞内解析(R<r),则称为函数f(z)在点z=∞处的留数.记作Res[f(z),∞],即由上述定义可知5.2.4无穷远点奇点留数的概念法则Ⅳ

(无穷远点留数的计算)无穷远点留数的计算公式为【例5.16】设,求f(z)在无穷远点的留数Res[f(z),∞].解5.2.4无穷远点奇点留数的概念2.扩充复平面上留数定理定理5.7(扩充复平面上留数定理)若f(z)在扩充复平面上(包括无穷远点)只有有限个孤立奇点,设为z1,z2,…,zn,∞,则f(z)在各奇点的留数总和为0.即5.2.4无穷远点奇点留数的概念【例5.17】求函数

在其各有限奇点的留数之和.解函数f(z)的有限奇点共有5个,分别是z=2和

其中,z=2是三阶奇点,每个zk是二阶奇点.由于分别求出各有限奇点的留数十分烦琐,故采用定理5.7来计算.由定理5.7,有其中因此5.3

留数在定积分和工程技术中的应用5.3.1留数在定积分计算中的应用5.3.2留数在振动频率分析中的应用5.3.3留数在系统稳定性判定中的应用5.3.1

留数在定积分计算中的应用设z=eiθ,则有dz=ieiθdθ=izdθ,且设积分闭曲线为C:|z|=1,因此有式中,f(z)是关于z的有理函数,且在积分路径上没有奇点,满足留数定理的条件,因此积分

为积分路径所围成区域内所有孤立奇点留数之和的2πi倍,即式中,zk,k=1,2,…,n为积分路径所围成区域内函数f(z)的所有孤立奇点.【例5.18】计算解设,则有,则5.3.1

留数在定积分计算中的应用当设被积函数R(x)为有理分式,设

为有理函数,其中分母Q(z)在实轴上无零点,且分母Q(z)的阶次比分子P(z)的阶次至少高二次,设z1,z2,…,zn为R(z)在实轴上半平面内的所有极点,则有如下结论若R(x)为偶函数,则5.3.1

留数在定积分计算中的应用（5.26）（5.27）5.3.1

留数在定积分计算中的应用【例5.19】计算积分解经验证,该积分的被积函数满足式(5.26)的条件.求出

在实轴上半平面的全部奇点,得到求对应两个奇点的留数：将求得的两个留数代入式（5.26），得到5.3.1

留数在定积分计算中的应用当R(x)为有理函数,设,P(z)和Q(z)为互质多项式,且满足Q(z)的阶次高于P(z)的阶次,在实轴上Q(z)≠0.可以得到其中,f(z)=R(z)eiaz,zk,k=1,2,…,n

为f(z)在上半平面的奇点.5.3.1

留数在定积分计算中的应用【例5.20】计算积分解已知

是有理分式,分母在实轴上不为0,且分母的阶次比分子的阶次高2阶.求出

在实轴上半平面的全部奇点，得z1=ib(b>0),为一阶极点.求出极点对应的留数,有得5.3.2

留数在振动频率分析中的应用留数理论在振动频率分析中的主要作用，是求解受迫振动的稳态响应。基本思路：通过傅里叶变换/拉普拉斯变换，将时域振动方程转化为频域或复频域方程，再利用留数计算逆变换，得到系统的频率响应特性。说明：傅里叶变换和拉普拉斯变换将在后续章节系统介绍，本节不展开变换方法的推导，只突出留数在振动频率分析中的应用思路。5.3.2

留数在振动频率分析中的应用设单自由度受迫振动的微分方程为式中,m为质量,c为阻尼系数,k为刚度系数,设激励力

为简谐力,x(t)为位移响应.对上式微分方程两边做傅里叶变换,并经过整理,可以得到系统的传递函数,即输出信号与输入信号的傅里叶变换之比为：式中,Ω为频率变量,j为虚数单位的工程描述,与数学中的i等价.H(jΩ)中的jΩ是工程领域习惯用法,H(jΩ)表示为复变函数,而不表示j与Ω

相乘.设z=Ω,则可将系统传递函数改写为5.3.2

留数在振动频率分析中的应用令上式分母为0，可以求得传递函数的极点为令振动系统固有频率为阻尼比为则极点可简化为求出极点对应的留数，再利用留数定理可最终求解出振动系统时域响应

为5.3.2

留数在振动频率分析中的应用其中，为频率比，为相位差。当ζ≪1时,极点的实部很小,虚部接近Ωn,对应系统的共振频率,此时响应幅值达到最大.通过留数计算不同激励频率Ω0下的响应幅值和相位,可直接得到系统的幅频特性曲线和相频特性曲线,这是振动系统设计和故障诊断的重要依据.5.3.2

留数在振动频率分析中的应用【例5.21】试用MATLAB编程实现单自由度系统频率响应仿真.仿真得到的单自由度系统的幅频特性与相频特性曲线5.3.3留数在系统稳定性判定中的应用留数理论结合复变函数积分与辐角原理，可用于分析系统闭环极点的分布，是奈奎斯特稳定性判据的数学基础。对连续时间线性时不变系统，闭环稳定要求其全部闭环极点位于复平面左半平面，即极点实部均为负。

系统闭环特征方程为其中，G(s)H(s)为系统的开环传递函数。令F(s)=1+G(s)H(s)若F(s)在闭合回路C内有P个极点、Z个零点，则由辐角原理：5.3.3留数在系统稳定性判定中的应用其中：Z：闭合回路C内F(s)的零点个数P：闭合回路C内F(s)的极点个数对函数

有：若zk为F(s)的零点，则其在zk处的留数为1

若