高中二年级数学选修23《算法初步》单元教学设计

高中二年级数学选修2-3《算法初步》单元教学设计

一、单元教材分析与课程定位

本单元内容选自人教A版高中数学选修2-3第一章，其前承必修3中算法的基本思想与程序框图的初步认知，后启选修课程中的数据结构、人工智能初步以及大学理工科各专业必修的“程序设计基础”“计算思维导论”等课程。从学科本质看，算法不仅是数学知识体系中的工具性分支，更是现代公民必备的计算思维载体。本单元将数学推理与计算机科学逻辑深度融合，依托辗转相除法、秦九韶算法、进位制转换三大经典案例，系统建构算法的三种基本逻辑结构，并实现从自然语言、程序框图到伪代码乃至真实编程语言的思维跃迁。【非常重要】【核心素养锚点】

依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，本单元属于选择性必修课程中“数学探究与数学建模”的预备内容，承载着提升学生逻辑推理、数学抽象、直观想象、数学运算四大核心素养的重任。同时，作为连接数学与信息技术的典型跨学科模块，本单元还承担着培养数字化学习与创新能力的隐性任务。【热点】【课改风向标】

二、单元学情精准诊断

教学对象为高中二年级理科选考班学生。认知储备层面：学生已在必修3中接触过“算法的概念”“程序框图的基本符号”“顺序结构与条件结构”，但多数学生对“循环结构”仅停留在识记层面，无法独立完成循环体的设计与终止条件的判断，尤其对“循环变量”“累加器”“计数变量”的初始化与迭代存在思维断层。【难点1】逻辑思维层面：高二学生正处于形式运算思维向辩证运算思维过渡的关键期，具备一定的符号操作能力，但对“有限性”“确定性”“可行性”等算法特征的抽象概括仍显稚嫩。情感态度层面：部分学生认为算法是计算机学科内容，与数学考试关联度低，存在学习动机不足的问题。【基础】【需情境激发】

跨学科视野介入：本设计引入“不插电计算机科学”理念，借助纸牌游戏、手工模拟执行等低技术门槛活动，降低认知负荷；同时将Python语言片段作为验证工具嵌入课堂，而非讲授重点，避免加重学生负担。【重要】【教学机智】

三、单元教学目标体系建构

依据布卢姆教育目标分类学与逆向设计理论，本单元目标设定如下：

（一）知识与技能目标

1.能准确复述算法的五个基本特征（输入、输出、确定性、有限性、可行性），并能用自然语言、程序框图和伪代码三种方式描述给定简单问题的算法。【基础】【必达】

2.掌握辗转相除法与更相减损术的数学原理，能用手工演算与程序框图两种方式求两个正整数的最大公约数，并能比较二者的时间复杂度与空间复杂度。【重要】【高频考点】

3.理解秦九韶算法的递推模型，能将n次多项式求值问题转化为n次乘法和n次加法的迭代过程，突破直接代入计算的计算量瓶颈。【难点】【核心算法】

4.理解k进制数的位值表示原理，掌握“除k取余法”将十进制数转化为k进制数，以及“按权展开法”将k进制数转化为十进制数，能设计进位制转换的程序框图。【重要】

5.能读懂并修正简单的条件语句、循环语句（WHILE型与UNTIL型）伪代码，并能在Scratch或Python环境中运行验证。【拓展】【选学】

（二）过程与方法目标

1.通过对三个经典算法的“追根溯源”，经历“问题情境→数学建模→算法设计→框图表达→语句实现→优化反思”的完整问题解决流程。【非常重要】【学科大概念】

2.在辗转相除法的教学中，运用“具体数值演算→归纳通式→抽象模型”的认知策略，培养从特殊到一般的归纳推理能力。【基础】

3.在进位制教学中，运用类比思想，将“十进制位值原则”迁移至任意进制，实现知识结构化。【重要】

（三）情感态度与价值观目标

1.感受中国古代数学对世界算法文明的贡献（更相减损术、秦九韶算法），增强文化自信与民族自豪感。【热点】【课程思政】

2.体悟“算法优化”的工程思维，认识到解决问题策略的多样性，形成精益求精的科学态度。【隐性目标】

四、单元教学重难点聚焦

教学重点：程序框图的三种基本逻辑结构，尤其是循环结构的执行过程与设计方法；三个经典算法的数学原理与框图实现。【高频考点】【重中之重】

教学难点：循环结构中循环体与终止条件的匹配关系，尤其是循环变量初始值与循环终止临界值的确定；秦九韶算法中递推公式的建构过程；学生对算法“有限性”与“机械性”的深刻理解。【难点】

五、教学方法与整体策略

本单元采用“问题链驱动+模拟执行支架+跨学科整合”三维教学策略。宏观层面，以“大任务拆解”贯穿单元始终——设置“用计算机帮古人算题”作为单元总项目，拆解为“求最大公约数”“多项式快速求值”“进制转换器”三个子任务。微观层面，每课时均遵循“不插电认知→半符号化表达→符号化抽象”的认知阶梯，避免直接灌输程序框图语法。评价层面，引入“思维可视化工单”，要求学生在学案中绘制个人理解下的执行过程追踪表，将内隐思维外显。【非常重要】【创新点】

六、单元教学准备

教师准备：多媒体课件（含动态演示辗转相除法除式的几何意义）、Python解释器（仅用于课堂即时验证）、三色卡牌道具（用于模拟内存单元）、大型程序框图磁性贴片（供板演使用）。学生准备：预习学案（含三个古代数学问题情境）、直尺铅笔、不同颜色的荧光笔（用于在学案上区分不同变量变化轨迹）。【基础】

七、单元教学实施过程（核心篇幅）

本单元共计5课时，每课时45分钟。以下按课时顺序深度展开，每课时均包含“环节名称→师生活动全景描述→设计意图与核心素养落点→重要等级与考情标注”。

（一）第1课时：算法概念的深度解构与描述方法进阶

1.唤醒与冲突（8分钟）

教师展示两个生活化问题：问题A为“从10个同规格零件中找出1个次品（轻一些）”，问题B为“在2分钟内完成小组身高排序”。学生分组选择其一，用自然语言写下解决步骤。随后教师选取典型作品投影，引导学生归纳共同特征：步骤有序、结果确定、能终止。此时教师抛出认知冲突——若问题B中不限定“2分钟”且人数无限增加，步骤是否还成立？学生辨析后发现“有限性”是算法的本质特征，而非仅指操作次数少。【非常重要】【核心特征辨析】

1.概念建模（10分钟）

教师从学生归纳中提取算法五特征，并以“洗衣机说明书”作为反例——若步骤中写“若衣服未洗净则再洗一次”但未规定最多再洗几次，则违反了确定性还是有限性？通过辩论明确：确定性指每一步有唯一解释，有限性指必须在有限步内结束，二者独立且同等重要。此环节采用“特征匹配卡”活动，每组一套特征名称卡片，将教师展示的6个文本片段（包括1个非算法）贴到对应特征下。【高频考点】【特征判断】

1.描述方式转换训练（15分钟）

教师呈现“判断整数n（n＞2）是否为质数”的自然语言算法，要求学生独立转换为程序框图。巡堂发现典型问题：多数学生直接画出菱形判断框，却未包含循环结构。此时教师不直接纠错，而是展示一组预设的错误框图（含死循环、无初始值），让学生充当“代码审查员”诊断漏洞。通过修正错误，学生自然领悟到循环结构必须包含“初始化”“条件判断”“循环体”“迭代”四大要素。【难点1初步突破】

1.单元总项目发布与拆解（7分钟）

教师发布单元总任务：“2025年全球青少年计算思维挑战赛”要求参赛者用程序还原三项古代数学成就。今天起全班化身“算法考古队”，分别复原“欧几里得算法”“秦九韶算法”和“算盘进制转换器”。学生兴致高涨，教师顺势展示三张空白海报模板，为后续课时成果展示做准备。【热点】【项目式学习】

1.课时收束（5分钟）

学生填写“三色思维便签”：绿色（已掌握）、黄色（有疑惑）、红色（未理解）。教师快速统计，针对“循环体与循环变量的关系”布置分层作业：基础层完成课本练习第2题框图填空；挑战层查找生活中至少一个隐含循环结构的实例并尝试画框图。【基础】【差异化】

（二）第2课时：辗转相除法与更相减损术——算法效率意识的觉醒

1.历史情境导入（5分钟）

教师以《九章算术》“约分术”为引，讲述“以少减多，更相减损”的原文，并出示算筹图。学生现场用更相减损术手算24与15的最大公约数，迅速得到3。教师追问：“若两数相差悬殊，如2048与2，此方法需减多少次？”学生估算后大为惊讶，产生优化动机。【课程思政】【情感激发】

1.欧几里得算法建构（18分钟）

教师提供结构化学习单，包含四个阶梯：

（1）数值追踪：学生分组，每组领取一组大数（如8251与6105），手工执行辗转相除法，记录每一次除法的被除数、除数、余数，直到余数为0，观察并说出“最后的除数”与最大公约数的关系。【基础】

（2）通式归纳：教师引导学生在竖式除法算式上方标注a=b×q+r，并追问“为什么下一个算式要以b为被除数、r为除数？”学生通过举例发现公约数的传递性，即gcd(a,b)=gcd(b,r)。这是整个算法的数学内核，教师板书核心定理并强调其递归思想。【非常重要】【数学原理】

（3）框图实战：学生独立完成辗转相除法程序框图。此时普遍困难在于循环体的执行顺序——是先判断余数是否为0，还是先做除法？教师利用“单步执行”模拟法，邀请一位学生扮演CPU，三位学生分别扮演“被除数寄存器”“除数寄存器”“余数寄存器”，手举变量名牌，按框图箭头走动并更新手中数字。全班观察变量变化轨迹，直观捕捉到“先做除法，产生余数，再判断余数是否为0”的必然性，以及“若余数不为0，则用除数更新被除数，用余数更新除数”的迭代规则。这一模拟过程耗时6分钟，但效果远胜静态讲解。【难点2彻底瓦解】

（4）双算法对比：将更相减损术的框图并置展示，教师引导学生从“运算类型（除法/减法）”“收敛速度”“适用数域”三个维度制作比较表（口头汇报形式）。学生得出重要结论：辗转相除法效率高，但更相减损术可完全规避除法，适合手算；同时发现更相减损术必须处理两数相等特例，由此加深对算法“完备性”的理解。【高频考点】【比较思维】

1.算法优化意识萌芽（7分钟）

教师展示改良版辗转相除法——用减法代替除法，但每次减多次（即除法）。学生顿悟：算法是灵活的，可根据硬件特性调整。此时自然引出时间复杂度概念，不要求计算，只要求感性理解“步骤越少越快”。【重要】【计算思维】

1.巩固与迁移（10分钟）

学生独立完成课堂检测：求98与63的最大公约数，分别用两种算法并画出辗转相除法的程序框图。教师选取两份典型作品投影，一份条件判断框内写“r=0？”位置正确，一份错误地将判断框放在除法之前。全班辩论后明确循环结构先执行循环体、再判断条件的典型模式（对应DOWHILE型逻辑）。【热点】【易错点】

1.作业布置（5分钟）

基础：完成学案中“更相减损术”框图填空，并手工计算407与481的最大公约数。拓展：撰写一篇150字左右的短文，以“假如我是古希腊数学家”为题，描述发现辗转相除法的思维历程。【跨学科】【写作渗透】

（三）第3课时：秦九韶算法——从直接代入到递推的思维革命

1.认知冲突设计（8分钟）

教师出示问题：计算多项式f(x)=2x^5+3x^4-5x^3+2x^2+4x-1在x=3时的值。学生习惯直接代入，乘方运算耗费大量时间且容易算错。教师计时，请两位学生板演，其余在草稿纸上计算。2分钟后，大部分学生未完成。教师宣布“我能在10秒内口算答案”，随后在黑板上飞快写出秦九韶算法的递推过程，并口算得515。学生惊愕，求知欲瞬间点燃。【非常重要】【悬念导入】

1.递推关系可视化建构（15分钟）

教师将多项式按降幂排列，并在相邻两项之间画弧线，引导学生发现“从最内层括号开始逐层向外”的计算顺序。随后开展“手拉手”递推游戏：

（1）首位学生持有最高次项系数2，第二名持有次高次项系数3，依次类推至常数项-1。

（2）第一名学生计算v1=2×3+3=9，并将9传递给第二名学生。

（3）第二名学生计算v2=9×3+(-5)=22，传递给第三名学生。

（4）依次进行，最后一名学生报出最终值515。

全体学生起立模拟该过程，坐下即代表完成本步计算。课堂气氛活跃，在肢体运动中彻底理解递推公式v0=an；vk=vk-1*x+an-k。【难点3突破】【具身认知】

1.算法特征再审视（7分钟）

教师追问：“秦九韶算法减少了什么？”学生对比直接代入法，归纳出减少了乘法的次数，从n(n+1)/2次降至n次。教师点明：这是算法设计的重要原则——利用已经计算的结果，避免重复劳动。此即“动态规划”思想的雏形，为大学算法课程埋下伏笔。【重要】【前瞻性】

1.框图与伪代码实现（10分钟）

学生尝试画出秦九韶算法的程序框图。关键难点在于如何用循环结构表示递推过程。教师提供半成品框图——已画出循环结构外框，要求学生在循环体内补充一条赋值语句。经过小组讨论，学生认识到循环体内只需反复执行“v=v*x+系数”即可，循环次数为n次（最高次幂数）。随后展示对应的伪代码，学生阅读并指出循环变量i的作用是计数，而非直接参与运算。这一发现纠正了学生“循环变量必须参与算式”的误解。【高频考点】【递推赋值】

1.文化溯源与升华（5分钟）

教师出示《数书九章》书影及“正负开方术”原文节选，介绍秦九韶不仅是数学家，更是南宋官员，他在为百姓解决实际问题中发明此算法。学生默读史料，感受到古代知识分子的家国情怀。教师不做刻意煽情，但课堂氛围肃然起敬。【课程思政】【隐性价值】

（四）第4课时：进位制——从手指计数到机器码的统一模型

1.朴素经验唤醒（5分钟）

教师出示一组生活数字：一周有7天（七进制）、角度300度（六十进制）、计算机文件大小1024MB（二进制）。学生已具备生活经验，迅速说出不同进制名称。教师将十进制类比为“通用语言”，而其他进制是“方言”，核心在于“满几进一”。【基础】【概念起点】

1.二进制深度解构（12分钟）

为突破“用符号表示数量”这一抽象关卡，教师开展“二进制猜心术”游戏：请一位学生默想1~63中任意整数，教师出示六张写满数字的卡片，学生只需回答“这个数在不在卡片上”，教师即可“猜”出。这一魔术背后是二进制位权原理。学生在惊奇中主动拆解卡片，发现每张卡片对应一个二进制位（1,2,4,8,16,32），凡是含有该权值的数即列入卡片。此活动将抽象位权具象为“集合归属”，认知负荷骤降。【非常重要】【难点4突破】

1.十进制转k进制：除k取余法（12分钟）

教师以十进制89转二进制为例，带领学生列竖式除法，记录每次余数，直到商为0，将余数倒序排列。此时学生质疑：“为何要倒序？”教师不直接解释，而是让学生将89按二进制权值展开：89=64+16+8+1=1×2^6+0×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0，得到二进制1011001。而除k取余法倒序排列得到的正是这个序列。学生通过对比发现：第一次除法的余数恰好是最低位，最后一次余数是最高位。至此，不仅知其然，更知其所以然。【重要】【原理通透】

1.k进制转十进制：按权展开（6分钟）

此部分学生利用多项式概念极易迁移，教师仅需强调“位权”与底数的幂次关系。但针对非十进制加法，学生易犯“进位基数是k而非10”的错误。教师设置典型错例：二进制1011+111，学生误算为1122。经小组辩论明确：满二进一，因此1011+111=10010（而非1122）。【高频考点】【进位陷阱】

1.程序框图整合（8分钟）

学生分别绘制“十进制转二进制”与“二进制转十进制”的框图。前者需用到循环结构反复除k取余，且需存储每次余数，这引出数组或字符串拼接的初步需求。教师允许学生用“将余数连接在左侧”描述存储过程，不强制使用数组符号，保护学习信心。【基础】

1.单元项目阶段性展示（2分钟）

各小组在单元海报“进制转换器”板块填充已完成的框图设计稿，教师拍摄上传班级空间，形成可视化成长记录。【评价嵌入】

（五）第5课时：算法语句与综合建模——从框图到代码的平滑过渡

1.语言转译桥梁（10分钟）

教师展示Scratch积木块与Python代码片段，引导学生观察条件语句if-else、循环语句while与框图分支、循环结构的同构关系。学生分组，将上节课完成的二进制转换框图“翻译”成Python代码（教师提供代码模板填空）。此环节不要求独立编写完整代码，重点在于识读与匹配。【基础】【跨学科链接】

1.跨学科综合任务：设计一个猜数游戏（20分钟）

任务描述：计算机随机生成1~100间整数，玩家每猜一次，程序提示“大了”或“小了”，直至猜中，统计猜测次数。此任务综合运用循环结构、条件分支、输入输出语句。实施流程：

（1）学生4人组队，先在学案上用自然语言描述策略（二分法最优，但允许学生先提出随机猜或顺序猜）。【思维外显】

（2）组内轮流担任“计算机”和“玩家”，手工模拟游戏流程，记录变量变化。【模拟执行】

（3）集体绘制程序框图，重点讨论循环终止条件——究竟是“直到猜中”还是“当未猜中时继续”。教师顺势辨析WHILE型与UNTIL型循环在框图表示中的细微差异，这是多数教材未明示但极易混淆之处。【非常重要】【热点辨析】

（4）教师提供半成品Python代码，学生在关键条件表达式处填空。成功后运行调试，当屏幕上出现“恭喜你，猜了6次”时，全班自发鼓掌。【成就体验】

1.单元知识结构化梳理（10分钟）

教师不直接呈现总结，而是发放空白概念图模板，要求学生独立绘制本单元概念与算法案例之间的关联网络。优秀作品体现出“算法特征—逻辑结构—案例应用—优化思想”四阶结构，并能标注出“辗转相除与循环”“秦九韶与递推”“进位制与权”等纵向联系。【非常重要】【知识建构】

1.单元项目成果展评（5分钟）

各组将五课时积累的海报完善，张贴于教室四周。学生持便利贴进行“画廊漫步”，在别组作品上留言（一个优点+一个建议）。教师选取三组典型（基础扎实型、创意拓展型、严谨规范型）进行点评，强化本单元核心观念。【评价多元化】

八、单元板书系统设计

本单元采用“固定内容+动态生成”双区板书模式。固定区左侧始终展示算法五特征精简关键词及程序框图三种结构符号例；右侧动态区