数学教学论（第3版）课件 第一章1 数学观及其现代发展

主讲教师：第一章现代数学教育发展概况第一节数学观及其现代发展12数学观及其发展数学教育观及其发展CONTENT节目录数学观是人们对数学本质、规律和活动的各种认识的总和。数学观是在一定的历史条件下形成和演化的，与数学知识发展水平有密切关系，反映了特定时期人们对数学性质和特征的见解。数学观1.数学观及其发展1.数学观及其发展数学是从数数、测量等人类生活的实际需要中发展起来的。在数学成为一门有组织的、独立的和理性的学科以后，便逐渐从数学的内部，通过演绎的方式产生问题开展研究，只要满足系统内部的无矛盾性，就可以从一组公理出发来构建一个数学系统。这样得出的许多数学概念虽然很抽象，如群、环、域、纤维丛，理解起来也比较困难，但都是清楚的、明确的。中小学所涉及的数学大多数都是16世纪末之前的内容，主要以算术、代数、几何(平面几何、立体几何)和三角为主，一般也称为经典数学(古典数学)，以古希腊数学传统为代表。他们对数学看法的一个重大贡献是有意识地承认并强调:数学(数和图形)是思维的抽象，同实际事物或实际形象是截然不同的。他们认为，数学结果必须根据明白规定的公理用演绎法推出。柏拉图的数学观对整个数学发展影响深远，他认为数学的概念不依赖于经验，而自有其实在性。经典数学的数学观1.数学观及其发展归纳、观察和实验一直是人们获得知识的重要来源，为什么希腊人喜欢在数学中使用演绎推理而排斥其他一切方法?这是因为古希腊人(人们称之为有哲学思想的几何学家)喜欢推理和设想，他们关心的是获得真理，归纳、观察和实验及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，而演绎法在前提正确的条件下则可以给出绝对肯定的结果。在古希腊社会中，数学是哲学家所追求的真理总体的一部分，因而认为必须是演绎性的。经典数学的数学观1.数学观及其发展1.数学观及其发展公元5世纪，西罗马帝国开始瓦解，欧洲处在基督教神学思想统治下，数学只是为神学服务，占星术成为数学的一个分支，当时的数学家被称为巫师，数学成为占卜的工具，为王公大臣的决策提供“理论依据”。结果有一些人以占星术不科学为借口，把真正的数学内容也给否定了，数学不可能有所发展。文艺复兴、资产阶级工业革命促进了科学技术的发展，特别是力学的发展促进了数学的发展，微积分就是在解决力学问题的过程中创立的。17世纪，微积分和解析几何的创立标志着数学由常量数学时期进入了变量数学时期。牛顿、莱布尼茨以后，微积分成了研究数、形及运动变化的强有力工具。微积分的出现1.数学观及其发展数学经过两千多年的发展，近年来发生了前所未有的巨大变化，数学研究的范围要比我们看见的和摸得着的经验世界远远宏大。数学分工越来越细，每个分支都有不少难题，充满了吸引力。公理化时代，人们倾向于把数学分成专门的分支，每一个分支局限于从给定的一套定理发展出一套推论，使得许多数学家只在狭窄的范围内从事研究，他们当中有些人对于别的分支知之甚少，对于数学全貌则如“盲人摸象”，莫衷一是。这种过于专门化的倾向对于数学科学的健康发展是十分有害的。数学的公理化1.数学观及其发展19世纪中叶以来，随着非欧几何和非交换代数的诞生，以及一系列具有革命性意义的数学知识的发展，关于数学的基本观念、数学基础的本质和数学知识的性质，数学家的认识开始发生许多转变。现代数学的发展在各分支领域出现了前所未有的内在统一性。现代数学的发展1.数学观及其发展近50年来，由于计算机的出现，计算数学有了迅速的发展。计算机的高速计算使得许多过去无法求解的问题成为可解，从而大大扩展了数学的应用范围。例如，短期天气预报、高速运行器的控制，离开计算数学和计算机是不可能的。计算机模拟、计算辅助证明(如四色问题的证实)在人工智能中的应用，以及计算力学、计算物理、计算化学、计算几何、计算概率等新学科的诞生，使得计算数学雄风大振。计算数学的发展1.数学观及其发展1.数学观及其发展今天，人们已把计算作为与理论、实验鼎足而立的第三种科学方法而引入科学界。今天的数学研究已不再是仅仅靠一张纸、一支笔便可完成的，计算机对于数学家已经像显微镜对于医学家、望远镜对于天文学家一样不可缺少。计算机是数学家的实验室，数学实验已成为大学生的必修课。这预示着数学与其他科学更密切联系的时代已经到来，这种发展必将进一步影响和推动人类社会的进步。2.数学教育观及其发展数学教育观从根本上影响和制约了数学教育的各个方面，是教师、学生以及家庭社会对数学教育感知、认识的重要内容，也是指导、支配和评价数学教育活动及其功能的核心观念，反映了人们对数学教育及其相互关系的根本看法。对数学教育观的研究越来越受到人们的重视，并成为世界数学课程改革进程中常议常新的话题。数学教育观的历史嬗变2.数学教育观及其发展数学教育观有两大主流：一种是源于古希腊数学(更广义地为经典数学、纯粹数学)及其精神的人文主义的教育观；另一种则是主要源于现代数学(应用数学)经验主义、实用主义的科学主义的教育观。数学教育观的历史嬗变2.数学教育观及其发展古希腊是数学及其教育思想的重要源头之一。数学的心智训练、形式陶冶价值一直受到人文主义教育者关爱。在西塞罗，最早提出人文科学这一概念时数学原属于人文科学。柏拉图“理念世界”和“现实世界”的划分与数学密切相关。在柏拉图主义看来，数学的研究和学习并不是为了要有实用价值，而是为了最高形式的理性训练和对绝对理念的感悟和认识，以及对哲学研究有益。即使是改进的现代柏拉图主义仍然否认数学同感性世界的联系，片面强调心智在思维中的重要作用。数学教育观的历史嬗变2.数学教育观及其发展这种数学教育价值观的形成是一个特定时期历史文化的产物。这种独特的人文主义价值观，则源于当时社会对人的独特的理解。因为另一种生物意义上的“人”——奴隶是被排除在外的。奴隶创造物质财富，而又不被看成“人”，所以作为“自由的人”的所思所为是远离物质世界，而进入理念世界的。数学的研究与学习毫无例外的只能是与现实无关。数学教育观的历史嬗变2.数学教育观及其发展虽然自古埃及开始，数学一直从自然界、物理科学中获取主要的启示和课题，并服务于现实世界，但对现实世界、生活世界的关注在数学界一直受到鄙视。希腊亚历山大时期，数学家开始同哲学断交，同工程结盟，其代表性人物首推与牛顿、高斯并称为最伟大的三个数学家的之一的阿基米德(公元前287年一前212年)。他制造了天象仪、水泵、滑车、投石器、聚光镜，研究出浮力定律。不过他始终认为，这些发明只是“研究几何之余供消遣之用”。数学教育观的历史嬗变2.数学教育观及其发展18世纪微积分诞生以后，尽管数学在应用方面的成就层出不穷，但是19世纪著名数学家哈代的观点“数学如果要有用只能供人愉悦，应用数学是坏的数学，是外行们的事”至今仍有一定的影响力。数学教育观的历史嬗变2.数学教育观及其发展自19世纪以后，人文科学作为一个独立的知识领域，与自然科学相对立，数学与人文科学的鸿沟在19世纪以后开始显现，此后，人们开始认同数学是一门自然科学。这是因为数学在实践领域中越来越显示出巨大的实用功能，应用数学得到了空前的发展，更多的数学家在天文学、航海业、物理学等领域发挥重要作用。如人们所熟悉的大数学家高斯，担任过哥廷根天文台台长一职，并在物理学等方面卓有成就。在整个教育领域中，实用主义、进步主义的教育观逐步取代了古典人文教育观，并在国际教育舞台上占据了主导地位。数学教育观的历史嬗变2.数学教育观及其发展之所以如此，首先是因为数学教育具有巨大的经济价值，工业革命和生产力的发展需要大量的数学知识，工业化的进程迫切需要培养出具有一定应用数学知识的专门人才；其次是数学的发展，特别是计算机的广泛运用，为数学的应用提供了更为广阔的天地，数学的力量已成为现代人发挥本质力量，通向美好生活不可或缺的重要组成部分；再次，由于西方文化中心、功利主义的导向，使得数学知识的学习成为谋职、就业的必要准备。数学教育观的历史嬗变2.数学教育观及其发展数学教育的实用价值越来越受到人们的重视。特别是在美国，继“新数运动”“回到基础”以后，自20世纪80年代以来，加强数学应用教学，提高数学教学解决实际问题的能力成为课程改革中一个响亮的口号。这种价值观，正不断在世界范围内得到回应，数学教育中，功利主义、实用主义倾向排斥人文主义的教育功能的现象日益凸显，至于近年来人们日渐淡忘了数学中另一种更为重要的文化品格。数学中的文化价值则变成了少数“保守”的纯数学家、(数学)教育理论工作者和哲学家研究的内容。数学教育观的历史嬗变2.数学教育观及其发展20世纪以来，人文主义与科学主义教育观的冲突在数学教育中以独特的形式日益凸显。无论是“新数运动”，还是近年来国际上所进行的课程改革运动，如何选择适当的内容进入中小学课堂，一直是数学课程改革争论的焦点。从表层看，争论相对集中在如何处理平面几何教学；如何处理好数学的学科体系与儿童心理发展规律等问题上，从深层意义上看则是人文主义与科学主义数学教育价值观的对峙。数学教育观的历史嬗变2.数学观及其发展人文主义的数学教育价值观核心是重视纯数学，把数学逻辑的严密性、语言的抽象性和表达形式的优美性等奉为圭臬；认为数学是人类文化的核心，数学是一种理性精神，而理性精神只有通过逻辑和数学语言才能培养，平面几何的学习是最佳的载体，轻视甚至反对数学应用，倡导学生要学“真正(纯正)的数学”。科学主义的数学教育价值观核心是重视应用数学、问题解决、活动探究、数学与生活的联系，反对只在笔和纸上做毫无意义的形式化的数学符号游戏，认为学习数学的意义在于找到数学的现实意义，与现实无关的数学在基础教育中是没有意义的，因为基础教育不是培养数学家的教育，而是“大众教育”。2.数学教育观及其发展两种数学教育观的彼此对立往往是理论工作者人为所致。一些片面的观点、言论则让实践者无所适从。事实上，数学教育不仅具有科学价值，而且具有人文价值。“数学是科学与人文的共同基因”。当今必须从整体上来考察数学教育，从知识与能力、认知与情感、理性与非理性、内容与形式等方面综合建构数学教育的价值体系，充分发挥数学的教育价值，为学生完满人格的形成和素质全面和谐发展服务。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展在极端的科学主义教育者和人文主义教育者的思想中，始终把一对超然的中心地位留给一对超然的概念：事实与价值，并将其分离，倾力追求单一的确定性。当代数学教育观的重构极端的科学主义教育者极端的人文主义教育者2.数学教育观及其发展在极端的科学主义教育者的眼中，演绎法为数学知识提供了可靠的保证，数学是科学的工具，实际应用是数学研究、学习的目的和评价标准。数学的方法是绝对可靠的科学方法，可以成为对人类所有方面负责的唯一立足点。例如像笛卡儿这样的数学家、哲学家坚持认为，科学是唯一的知识、永恒的真理，并试图提出一个万能的方法，把所有的问题都转化成数学问题来解决。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展在极端的人文主义视野中，认为纯粹数学本身具有内在价值，是文化的核心，数学是科学的皇后，是人类知识的精华和完美的结晶，数学教育只需要为数学本身服务，以学习、交流和研究为目的，进而获得纯粹的超然美感和价值。这两种极端的观点都不能完整反映数学教育的价值。数学教育对提高公民科学文化素养、培养理性精神、形成完满人格具有重要的作用。这不仅反映了数学本身的特性，同时也是社会与个体多样化与多层次、个性化发展的需求。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展数学教育对提高公民科学文化素养、培养理性精神、形成完满人格具有重要的作用。这不仅反映了数学本身的特性，同时也是社会与个体多样化与多层次、个性化发展的需求。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展从数学的本身来看数学具有工具性、实用性的显性价值与文化性等隐性价值，这是综合建构当代数学教育的价值体系的必要前提。“数学分为精神上几乎相互对立的两个方面：一方面，它提供了几乎无穷无尽的方法以实施日常计算，这些计算现在往往用计算器、现金出纳机和计算机来完成；另一方面，数学要以提供极精密的语言，使我们以有条不紊的方式思考复杂的决策，而不是只凭轶事、猜测和雄辩。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展数学以严密的演绎思维、逻辑推理为手段，研究方式充分发挥了人的心智的功能，满足了人们求真、向善、唯美并乐于接受挑战的美好天性，从而又使数学具备了抽象的理性价值或者文化价值。同时，由数学的经验性和实践性衍生出来的数学应用的广泛性，直接决定了数学的科学价值或者说实用价值。从古埃及时代的土地测量，到当今的信息技术、数字化生存，数学的应用价值自始至终与人类文明的发展紧密相连，发挥着越来越重要的作用。现代科学技术的发展越来越依赖于对数学工具的充分应用，数学已成为一种现代技术，发展成为一种直接的数学技术，创造出巨大的经济效益。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展从教育的视角来看数学教育是联结“科学”与“人文”教育的桥梁。从其人文意义上看，数学不仅作为探索真理的事业，同时还造就一种独特的人格气质。在数学的探索过程中，数学家尊重事实、实事求是的求实精神，勇于坚持真理、勇于怀疑和自我否定的批判精神，勇于创新为真理而献身的精神蕴涵着极其丰富的文化教育价值。科学精神是整个人类文化精神的不可缺少的组成部分，它同艺术精神、道德精神等其他人文精神，不仅在追求真、善、美的最高境界上是相通的，而且不可分割地融合在一起。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展从教育的视角来看数学知识是其思想、精神的载体，数学的应用是多层次的。从表层意义上来讲,是知识的应用，以知识的传授为最基本的要求，任何人都不可否认知识的力量。从深层意义上来讲，是思想、精神和方法的运用，反映出深蕴其中的文化价值，影响人们的思维方式、智力发展、审美情趣和伦理道德。这也是数学教育隐性价值的重要体现。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展从数学教育改革的发展走势来看数学教育价值的多元化、综合化成为追求的目标。近年来，数学教育不断演变着的核心概念——“双基教学”“能力培养”“问题解决””四基“”四能“和”核心素养“，都只是从某一个侧面强调了数学教育的价值，这也表明了数学教育理论与实践中对数学的教育价值观的理解和认识的片面性、局限性。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展从数学教育改革的发展走势来看课程标准一方面从教学内容上改变了传统的以演绎体系为核心的数学，重视了数学中算法体系的构建，倡导算法的多样性以及与信息技术的整合，加强概率统计等内容，试图让学生从不同的侧面更好地认识数学的本质；另一方面，在知识呈现方式上更注重从学生的生活经验出发，创设问题情境；同时，从学习方式上倡导活动探究，重视知识的形成过程，这表明数学教育的科学价值和文化价值同时受到了重视。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展从数学教育改革的发展走势来看课程改革进步的一面值得充分肯定，但过多“实用”倾向，没有多少科学价值或文化价值的浅层次、重复性的“活动探究”，必然导致忽视(或削弱)对数学逻辑、理性等内在“文化”性的价值追求，这一点必须引起足够的重视。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展从数学教育改革的发展走势来看应对时代的挑战，合理重构当代数学教育价值体系，有助于正确把握数学教育改革的方向。当代数学教育必须以科学主义教育观重视知识、理论、方法、技能和应用为特征，密切联系生活，关注应用，培养学生用数学的意识和创新能力；同时在人文主义的影响下，不忽视社会的需求与个人的兴趣爱好，让学生在数学学习中体验到数学的美和本质力量，培养科学精神，陶冶情操，从而建立一种使人性、理智、情感和社会相互协调的教育价值体系。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展从数学教育改革的发展走势来看数学教育中尤其要明智地持有人性浓郁的数学观，重视数学的文化价值，缺乏这一点就会疏远学习者或阻碍其能力的培养。21世纪的数学教育的终极目标应放在人的培养上，强调从学生自身的体验和感悟出发，激发学生喜爱数学、学好数学并善用数学的思想、方法去探索自然和人类心灵两大世界，充分实现数学教育的科学价值和文化价值。当代数学教育观的重构2.数学教育观及其发展数学教师的素质是决定数学课程改革成功的一个至关重要的因素。作为数学教师素质结构的先导性成分，数学教师的数学观对其数学教育观有重要影响。由于社会进步、时代发展和数学课程改革的深化对高素质数学教师的普遍需求，数学教师的数学观和数学教育观日益成为数学教育研究的一项紧迫课题。在新的社会、文化和历史条件下，作为数学教师整体素质的一个重要组成部分，数学教师应该具有怎样的数学观和数学教育观，不仅是决定新一轮数学课程改革成败和培养什么样的数学人才的决定性因素之一!也是数学教师职业化的必然要求。数学教师的数学观和数学教育观2.数学教育观及其发展数学教师的理论知识结构主要包括数学的学科知识与教育学、心理学、教学论和教学法相关的教学知识，当然还有各学科的综合知识、实践知识等。数学教师的知识观也就是对上述领域知识的基本看法和观念。数学教师的知识结构与数学观2.数学教育观及其发展数学教师的数学知识及其观念与其他科学知识一起共同构成了数学教师的整体知识结构。数学教师除了要具备一定的数学史知识积淀，并对现代数学知识、方法有一个基本的了解之外，还要关注数学未来的发展。例如作为中学数学教师，不能仅仅满足于熟悉并掌握中学数学的知识和内容，还要对高等数学的基本知识和体系有一个通彻和整体的了解。要能建立不同知识之间的联系，能够形成统一的数学知识观。因此，必要的、优化的、关联的和动态的数学知识观就是一个优秀的数学教师必备的专业资质之一。数学教师的知识结构与数学观2.数学教育观及其发展除了基本的数学知识结构之外，一个决定数学教师素质极为重要的因素就是数学教师对数学本质的认识。这是因为如果教师对数学本质的认识仅仅停留在关于数学的素朴理解上，无论是对于数学研究工作，还是数学教育的实践而言，都是远远不够的。从理论与实践的关系看，具体的、实际的数学研究和数学教育活动应该被视为数学与数学教育的实践性活动，而关于数学的观念就构成了从事数学教育实践性活动必要的理论基础。没有理论指导的实践将是盲目的，而现实情形又确实表明我们在以往的数学教育实践中对这个问题是忽视的。数学教师的知识结构与数学观2.数学教育观及其发展早在20世纪70年代，罗宾逊就有一个判断:“过去一百年中，数理逻辑和数学基础的技术方面的进展是惊人的，很难设想这些领域中的任何未来进展能够不利用这些进展中的某些结果……相形之下，人们对于数学的本质属性的理解的发展却是徘徊不前的，含混的”。时至今日，在数学界和数学教育界，情况大致是类似的。对数学本质理解的这种滞后性及其对数学教育的负面和不良影响，我们的估计还不够充分，因而更应该有一个清楚的认识。数学教师的知识结构与数学观2.数学教育观及其发展对数学教学活动的认识离不开对数学的认识。从静态来看，数学是一个严密的知识体系从动态来看，数学是数学家探索、发现的创造过程，是一个由问题、方法、语言、命题及理论等多种元素组成的复合体。数学既不像有些数学家所认为的是与经验无关的纯逻辑体系，也不完全是经验的总结。在数学哲学史上，对数学性质进行概括、研究都要兼顾到经验性和演绎性这两个方面。数学教师的数学观与数学教学观2.数学教育观及其发展在许多人的思想观念中，数学只是用纸和笔所做的符号游戏。数学(教育）界一直流传着阿基米德专心于沙地上的几何图形而不顾生命之危的动人故事。这给人们的印象是：“数学研究只需要用极少数的工具:或许只要一堆沙子，再加上一个非凡的头脑。”长期以来，人们对数学教学的认识就是概念、定理、公式和解题。数学活动只是高度的抽象思维活动，“有些数学家甚至认为，一个孤独的人借助卓越的柏拉图式的智力资源，在黑屋子里也能搞数学。”确实，数学与物理、化学和生物等自然科学有着很大的差别。数学不需要大量的实验设备，所需要的主要是“思想实验”。数学教师的数学观与数学教学观2.数学教育观及其发展传统的数学教学认为，如果数学需要实验也只不过是纸上谈兵，教学过程中，学生的数学活动只是“智力活动”，或更为直接地说是解题活动。数学家在纸上做数学，数学教师在黑板上讲数学，而学生则每天在课堂上听数学和在纸上做题目。H.弗赖登塔尔早就提出:“要实现真正的数学教育，必须从根本上用不同的方式组织教学，否则是不可能的。在传统的课堂里，再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动。”数学教师的数学观与数学教学观2.数学教育观及其发展数学不仅促进了逻辑思维能力的发展，而且要通过数学的活动，让学生成为数学学习过程中积极的参与者、探索者，真正成为学习的主人，培养学生的自主意识、创新精神。数学知识的创生与发展是个体参与下的“探究一建构”过程，学生数学知识的增长不再是接受“权威者”既定的知识、“旁观者”的知识，而是个体直接身临其境参与、体验、生成的知识。需要指出的是，要完成上述观念的转变，需要教师具备相应的数学知识基础。比如，如果中学数学教师的数学知识结构仅局限在中学数学的范围内，那么就很难体味数学观的上述转变。此外，还要充分认识到数学教师数学观是由多种成分、多种因素构成的一个综合体。数学教师的数学观与数学教学观2.数学教育观及其发展20世纪以来，数学教学深受希尔伯特形式主义数学哲学的影响，认为数学是由一组自明的公理，依照严密的逻辑规则推演出来的命题体系。曾经盛行一时的布尔巴基学派，主张数学是由一些结构的叠加和组合所构成。数学无关乎内容，只关注它的形式。于是，形式化演绎成为数学教学的主流诉求这种观念也渗入了中国的数学教学。例如，把逻辑思维能力的培养当做整个数学教学的核心，甚至认为“数学应用是实用主义和短视行为”。数学教师的角色转变和观念更新2.数学教育观及其发展1996年，姜伯驹院士在数学与力学教学指导委员会上说:“20世纪下半叶数学的一个最大进展是它的广泛应用，‘谁用得好，谁就赢了’”。事实上，今日之数学已经从幕后走到台前，成为能够直接创造经济效益的数学技术。这些观念的传播，以及“数学建模”的推广，渐渐走出了数学绝对主义的误区。数学教师的角色转变和观念更新2.数学教育观及其发展进入21世纪，国家教育经费有了大幅度增加，学校里使用多媒体技术辅助教学已经蔚然成风。数学教师使用“几何画板”制作课件成为教学的基本功之一，张景中院士自主开发的“超级画板”教学软件、GeoGebra（GGB）、图形计算器、科学计算器以及人工智能大模型在教学中的运用越来越广泛。面对课程改革的要求，数学教师应该树立新的数学教育观念，并对自身角色有一个重新定位和转变。数学教师的角色转变和观念更新2.数学教育观及其发展(1)数学教学观、